Formalisation du langage naturel

De l’énoncé à la formule

La leçon sur le langage de la logique propositionnelle a construit un langage sans signification : des chaînes de cercles et de disques, une règle de formation et quelques abréviations. La leçon sur l’induction sur les formules a démontré que chaque formule se lit d’une seule façon. Or ce langage a été construit dans un but : représenter la forme des énoncés avec lesquels nous raisonnons dans la vie quotidienne, dans les sciences, dans le droit et en mathématiques, de sorte que la correction d’un raisonnement puisse être étudiée dans la forme elle-même, indépendamment de son objet. Cette leçon jette le pont entre ces deux mondes. Ce n’est pas un pont mécanique : la langue naturelle est riche, ambiguë et dépendante du contexte, et le langage formel est pauvre, précis et rigide. Il s’ensuit que formaliser, c’est interpréter, et que toute formalisation doit être justifiée.

Un énoncé, au sens de cette leçon, est une phrase déclarative qui, dans son contexte, est vraie ou fausse : « L’eau bout à cent degrés au niveau de la mer », « Anne est arrivée en retard », « $7$ est premier ». Les questions, les ordres et les souhaits (« Anne est-elle arrivée ? », « Ferme la porte », « Pourvu qu’il pleuve ») ne sont pas des énoncés. Un énoncé est composé lorsqu’il contient d’autres énoncés unis par des particules comme « non », « et », « ou », « si… alors » ; il est atomique lorsqu’il ne se décompose pas ainsi. La logique propositionnelle n’analyse pas l’intérieur des énoncés atomiques : pour elle, « Anne est arrivée en retard » est une pièce indivisible, qui ne peut être que vraie ou fausse.

La convention des lettres

Les formules de la langue de base sont des chaînes de cercles et de disques ; la $n$-ième variable est $v_n = \sigO^{n}\sigI$, c’est-à-dire $n$ cercles suivis d’un disque. Écrire de telles chaînes est aussi sûr que fastidieux, et pour formaliser il convient de disposer de noms brefs. Nous adoptons la convention suivante, qui vaut dans cette leçon et dans le reste du cours sauf avis contraire :

S’il en est ainsi, les lettres latines $p$, $q$, $r$, $s$ et $t$ sont des noms de cinq variables déterminées, de même que $7$ est le nom d’un nombre déterminé : $p$ ne varie pas, mais désigne toujours la chaîne $\sigO\sigI$. Les lettres grecques $\varphi$, $\psi$, $\chi$ et $\theta$, en revanche, restent des métavariables, comme dans la leçon sur le langage : elles désignent des formules quelconques, et un énoncé écrit avec elles, comme $(\varphi \downarrow \psi)$, est un schéma qui couvre une infinité de formules. Il s’ensuit une différence qui compte : $(p \downarrow q)$ est une seule formule, la chaîne $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$ ; $(\varphi \downarrow \psi)$ est une forme de formules, dont $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ et $(q \downarrow (p \downarrow r))$ sont des cas. Certains textes emploient $p$ et $q$ comme métavariables ; pas ici, car pour formaliser nous avons besoin que deux lettres distinctes désignent à coup sûr des variables distinctes, et une métavariable n’offre pas cette garantie : rien n’empêche $\varphi$ et $\psi$ de désigner la même formule.

Le dictionnaire d’une formalisation

Formaliser un énoncé consiste en trois opérations : identifier ses énoncés atomiques, assigner à chacun une variable et reconstruire l’énoncé composé avec les connecteurs. L’assignation de la deuxième opération s’appelle le dictionnaire de la formalisation, et elle doit toujours être déclarée, car sans elle la formule ne dit rien. Le dictionnaire obéit à deux règles : le même énoncé atomique reçoit toujours la même variable, et des énoncés atomiques distincts reçoivent des variables distinctes. La première garantit que la formule enregistre les répétitions du texte ; la seconde, qu’elle n’invente pas d’identités que le texte n’affirme pas.