자연어의 형식화

진술에서 논리식으로

명제 논리의 언어 수업에서는 의미가 없는 언어를 구성했다. 원과 원판의 기호열, 하나의 형성 규칙, 그리고 몇 가지 약어이다. 논리식에 관한 귀납법 수업에서는 모든 논리식이 단 한 가지 방식으로 읽힘을 증명했다. 그런데 이 언어는 어떤 목적을 위해 만들어졌다. 일상생활, 과학, 법, 수학에서 우리가 추론할 때 쓰는 진술의 형식을 나타내어, 추론의 올바름을 그 주제와 상관없이 형식 자체에서 연구할 수 있게 하려는 것이다. 이 수업은 두 세계 사이에 다리를 놓는다. 그것은 기계적인 다리가 아니다. 자연 언어는 풍부하고 모호하며 맥락에 의존하고, 형식 언어는 빈약하고 정확하며 경직되어 있다. 이로부터 형식화한다는 것은 해석한다는 것이며, 모든 형식화는 정당화되어야 한다는 결론이 나온다.

이 수업에서 말하는 진술은 그 맥락에서 참이거나 거짓인 평서문이다. 예를 들어 “해수면에서 물은 백 도에서 끓는다”, “영희가 지각했다”, “$7$은 소수이다”가 그렇다. 질문, 명령, 소망(“영희가 지각했니?”, “문을 닫아라”, “비가 오면 좋겠다”)은 진술이 아니다. 진술은 “~지 않다”, “그리고”, “또는”, “~이면” 같은 말로 이어진 다른 진술을 포함할 때 복합적이고, 그렇게 분해되지 않을 때 원자적이다. 명제 논리는 원자적 진술의 내부를 분석하지 않는다. 명제 논리에게 “영희가 지각했다”는 나눌 수 없는 한 조각이며, 참이거나 거짓일 수밖에 없다.

문자의 규약

기본 언어의 논리식은 원과 원판의 기호열이다. $n$번째 변항은 $v_n = \sigO^{n}\sigI$, 곧 원 $n$개 뒤에 원판 하나가 오는 것이다. 이런 기호열을 쓰는 일은 확실한 만큼 고되므로, 형식화할 때에는 짧은 이름이 있으면 편리하다. 그래서 다음 규약을 채택한다. 이 규약은 따로 밝히지 않는 한 이 수업과 강좌의 나머지 부분에서 유효하다.

그렇다면 라틴 문자 $p$, $q$, $r$, $s$, $t$는 정해진 다섯 변항의 이름이다. $7$이 정해진 수의 이름인 것과 마찬가지로, $p$는 변하지 않으며 언제나 기호열 $\sigO\sigI$을 지시한다. 반면 그리스 문자 $\varphi$, $\psi$, $\chi$, $\theta$는 언어 수업에서처럼 여전히 메타변항이다. 이것들은 임의의 논리식을 나타내며, 이것들로 쓴 표현, 예를 들어 $(\varphi \downarrow \psi)$는 무한히 많은 논리식을 아우르는 도식이다. 이로부터 중요한 차이가 나온다. $(p \downarrow q)$는 단 하나의 논리식, 곧 기호열 $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$이다. $(\varphi \downarrow \psi)$는 논리식의 한 형태이며, $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$, $(q \downarrow (p \downarrow r))$은 그 사례이다. $p$와 $q$를 메타변항으로 쓰는 책도 있지만, 여기서는 그렇게 하지 않는다. 형식화할 때에는 서로 다른 두 문자가 확실히 서로 다른 변항을 지시해야 하는데, 메타변항은 그런 보장을 주지 않기 때문이다. $\varphi$와 $\psi$가 같은 논리식을 나타내는 것을 막는 것은 아무것도 없다.

형식화의 사전

진술을 형식화하는 일은 세 가지 작업으로 이루어진다. 원자적 진술을 찾아내고, 각각에 변항을 배정하고, 연결사로 복합적 진술을 재구성하는 것이다. 둘째 작업의 배정을 형식화의 사전이라 하며, 언제나 밝혀야 한다. 사전이 없으면 논리식은 아무것도 말하지 않기 때문이다. 사전은 두 규칙을 따른다. 같은 원자적 진술에는 언제나 같은 변항을 배정하고, 서로 다른 원자적 진술에는 서로 다른 변항을 배정한다. 첫째 규칙은 논리식이 텍스트의 반복을 기록하도록 보장하고, 둘째 규칙은 텍스트가 주장하지 않는 동일성을 논리식이 지어내지 않도록 보장한다.