Formalización del lenguaje natural

Del enunciado a la fórmula

La clase sobre el lenguaje de la lógica proposicional construyó un lenguaje sin significado: cadenas de círculos y discos, una regla de formación y unas abreviaturas. La clase sobre la inducción sobre las fórmulas demostró que cada fórmula se lee de un único modo. Ahora bien, ese lenguaje se construyó para algo: para representar la forma de los enunciados con que razonamos en la vida cotidiana, en las ciencias, en el derecho y en la matemática, de modo que la corrección de un razonamiento pueda estudiarse en la forma misma, con independencia de su asunto. Esta clase tiende el puente entre ambos mundos. No es un puente mecánico: la lengua natural es rica, ambigua y dependiente del contexto, y el lenguaje formal es pobre, preciso y rígido. De ello se sigue que formalizar es interpretar, y que toda formalización debe justificarse.

Un enunciado, en el sentido de esta clase, es una oración declarativa que, en su contexto, es verdadera o falsa: «El agua hierve a cien grados al nivel del mar», «Ana llegó tarde», «$7$ es primo». Las preguntas, las órdenes y los deseos («¿Llegó Ana?», «Cierra la puerta», «Ojalá llueva») no son enunciados. Un enunciado es compuesto cuando contiene otros enunciados unidos por partículas como «no», «y», «o», «si… entonces»; es atómico cuando no se descompone así. La lógica proposicional no analiza el interior de los enunciados atómicos: para ella, «Ana llegó tarde» es una pieza indivisible, que solo puede ser verdadera o falsa.

El convenio de las letras

Las fórmulas de la lengua base son cadenas de círculos y discos; la $n$-ésima variable es $v_n = \sigO^{n}\sigI$, es decir, $n$ círculos seguidos de un disco. Escribir cadenas así es tan seguro como fatigoso, y para formalizar conviene disponer de nombres breves. Adoptamos el siguiente convenio, que rige en esta clase y en el resto del curso salvo aviso expreso:

Si esto es así, las letras latinas $p$, $q$, $r$, $s$ y $t$ son nombres de cinco variables determinadas, del mismo modo que $7$ es el nombre de un número determinado: $p$ no varía, sino que designa siempre la cadena $\sigO\sigI$. Las letras griegas $\varphi$, $\psi$, $\chi$ y $\theta$, en cambio, siguen siendo metavariables, como en la clase sobre el lenguaje: designan fórmulas cualesquiera, y un enunciado escrito con ellas, como $(\varphi \downarrow \psi)$, es un esquema que abarca infinitas fórmulas. De ello se sigue una diferencia que importa: $(p \downarrow q)$ es una sola fórmula, la cadena $\sigI\sigO\sigI\sigO\sigO\sigI$; $(\varphi \downarrow \psi)$ es una forma de fórmulas, de la que $(p \downarrow q)$, $(p \downarrow p)$ y $(q \downarrow (p \downarrow r))$ son casos. Algunos textos usan $p$ y $q$ como metavariables; aquí no, porque al formalizar necesitamos que dos letras distintas designen con seguridad variables distintas, y una metavariable no ofrece esa garantía: nada impide que $\varphi$ y $\psi$ designen la misma fórmula.

El diccionario de una formalización

Formalizar un enunciado consiste en tres operaciones: identificar sus enunciados atómicos, asignar a cada uno una variable y reconstruir el enunciado compuesto con los conectores. La asignación de la segunda operación se llama diccionario de la formalización, y debe declararse siempre, porque sin ella la fórmula no dice nada. El diccionario obedece a dos reglas: el mismo enunciado atómico recibe siempre la misma variable, y enunciados atómicos distintos reciben variables distintas. La primera garantiza que la fórmula registre las repeticiones del texto; la segunda, que no invente identidades que el texto no afirma.