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Topos Uranos
Español

El lenguaje de la lógica proposicional

Resumen

Esta clase construye, desde cero, el lenguaje en que se escribirán todas las fórmulas del curso. Introduce primero lo indispensable de los conjuntos (pertenencia, conjuntos dados por extensión y por comprensión, inclusión y unión) y lo aplica a las cadenas de signos: su longitud, su concatenación y sus prefijos, y el recuento de las cadenas que pueden escribirse con dos signos. Sobre el alfabeto de dos signos, el círculo y el disco, define la lengua base: infinitas variables, una sola regla de formación y una cláusula de cierre, de la que se deduce un principio para demostrar propiedades de todas las fórmulas. Muestra después cómo decidir si una cadena es una fórmula, enuncia la lectura única y, por último, construye sobre la lengua base el metalenguaje con que se trabajará en adelante: metavariables, la negación conjunta escrita con paréntesis y las abreviaturas oficiales de los demás conectores, con su lectura en español.

Objetivos de aprendizaje

  1. Describir conjuntos de cadenas por extensión y por comprensión, y decidir relaciones de pertenencia, de inclusión y de unión entre ellos.
  2. Contar las cadenas de una longitud dada y las de longitud acotada sobre un alfabeto de dos signos.
  3. Decidir si una cadena de círculos y discos es una fórmula y, cuando lo es, reconstruir el modo en que se formó.
  4. Demostrar que todas las fórmulas tienen una propiedad mediante el principio del cierre, y usar esas propiedades para descartar cadenas.
  5. Distinguir el lenguaje objeto del metalenguaje, desplegar una abreviatura hasta la cadena de la lengua base y leer las fórmulas en español.

Lo que se necesita de los conjuntos

Un lenguaje formal es, ante todo, una colección de cadenas de signos: si esto es así, para hablar de él con precisión se necesita un vocabulario para las colecciones. Ese vocabulario es el de los conjuntos, del que esta clase toma solo lo que el curso usará. Un conjunto es una colección de objetos, llamados sus elementos, que queda determinada por ellos: dos conjuntos con los mismos elementos son el mismo conjunto. Que un objeto aa sea elemento del conjunto AA se escribe a∈Aa \in A y se lee «aa pertenece a AA»; que no lo sea se escribe a∉Aa \notin A.

Un conjunto puede darse de dos maneras. Por extensión, nombrando uno por uno sus elementos entre llaves, sin que importen el orden ni las repeticiones; y por comprensión, enunciando la condición que cumplen sus elementos y solo ellos, con dos puntos que se leen «tales que». Así, los naturales menores que 55 forman el conjunto

{1,2,3,4}={n∈N:n<5}\{1, 2, 3, 4\} = \{ n \in \mathbb{N} : n < 5 \}

Una variante de la comprensión, muy frecuente en lo que sigue, describe los elementos por la forma que tienen: {2n:n∈N}\{ 2n : n \in \mathbb{N} \} es el conjunto de los números de la forma 2n2n con nn natural, es decir, el de los pares. Un conjunto dado por extensión es necesariamente finito; por comprensión pueden darse también conjuntos infinitos, como el de los pares.

Se dice que AA está incluido en BB, y se escribe A⊆BA \subseteq B, cuando todo elemento de AA es elemento de BB. De ello se sigue que dos conjuntos son iguales si y solo si cada uno está incluido en el otro, porque entonces tienen los mismos elementos; y este es, en efecto, el modo habitual de demostrar una igualdad de conjuntos: probar las dos inclusiones. Por último, la unión A∪BA \cup B es el conjunto de los objetos que pertenecen a AA, a BB o a ambos; de donde cada uno de los dos conjuntos está incluido en su unión.

EjemploPertenencia, inclusión y unión

Sean A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={2,4,6,8}B = \{2, 4, 6, 8\} y P={2n:n∈N}P = \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}. Se tiene 2∈A2 \in A y 4∉A4 \notin A; además, B⊆PB \subseteq P, porque cada elemento de BB es el doble de un natural, mientras que AA no está incluido en PP, porque 1∈A1 \in A y 1∉P1 \notin P. La unión de AA y BB es {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}: el 22, que está en ambos, figura una sola vez.