Qué es la lógica matemática

Qué estudia la lógica

Todo conocimiento que no se obtiene por observación directa se obtiene razonando: de ciertas afirmaciones que se aceptan se pasa a otra que se sigue de ellas. Un geómetra que sabe que los ángulos de un triángulo suman dos rectos concluye que ningún triángulo tiene dos ángulos obtusos; un médico que sabe que cierta enfermedad produce fiebre, y que su paciente no la tiene, descarta esa enfermedad. La lógica es la disciplina que estudia cuándo ese paso es legítimo, y la lógica matemática es la que lo estudia con los métodos de la matemática: definiendo con exactitud sus objetos, que son lenguajes, fórmulas y deducciones, y demostrando teoremas sobre ellos.

Para enunciar con precisión qué estudia, conviene fijar primero el vocabulario. Una proposición es una oración declarativa de la que tiene sentido decir que es verdadera o que es falsa: «$7$ es un número primo» es una proposición verdadera; «todo número par es mayor que $5$», una proposición falsa. No son proposiciones, en cambio, las preguntas («¿qué hora es?»), las órdenes («cierra la puerta») ni las expresiones con variables libres, como «$x$ es par», cuyo valor depende de lo que designe $x$.

Un argumento es una lista de proposiciones, las premisas, junto con otra proposición, la conclusión, que se presenta como consecuencia de ellas. Las premisas pueden ser cualesquiera proposiciones: verdaderas, falsas, conocidas o meras suposiciones; lo único que las distingue es el lugar que ocupan en el argumento. Escribiremos los argumentos con las premisas en líneas sucesivas y la conclusión precedida de «por tanto»:

La lógica no es una teoría de la verdad

Si esto es así, la lógica no tiene por oficio averiguar si las premisas de un argumento son verdaderas. Que $28$ sea múltiplo de $4$ lo decide la aritmética; que un paciente tenga fiebre, el termómetro; que una batalla haya ocurrido en cierto año, la historia. Tampoco le corresponde definir qué es la verdad, cuestión que pertenece a la filosofía. La lógica admite que las proposiciones tienen un valor de verdad, sea cual sea, y estudia cómo se relacionan esos valores entre sí: en particular, cuándo la verdad de unas proposiciones obliga a la verdad de otra. Dicho de otro modo, la lógica no es una teoría de la verdad, sino una teoría de la transmisión de la verdad.

Ahora bien, lo que transmite la verdad no depende del tema del argumento, sino de su estructura. Compárese el argumento anterior con este otro: «si un animal es un mamífero, respira aire; la ballena es un mamífero; por tanto, la ballena respira aire». Ambos tienen la misma forma: «si algo es $A$, es $B$; $c$ es $A$; por tanto, $c$ es $B$». La forma de un argumento es lo que queda al reemplazar sus términos no lógicos (números, animales, propiedades) por letras, conservando las palabras lógicas: «no», «y», «o», «si… entonces», «todo», «algún». Cada argumento que se obtiene de una forma al dar contenido a sus letras es una instancia de ella.

Una forma es válida cuando ninguna de sus instancias tiene todas las premisas verdaderas y la conclusión falsa; un argumento es válido cuando su forma lo es. Una instancia con premisas verdaderas y conclusión falsa se llama contraejemplo de la forma: de donde una forma es inválida exactamente cuando tiene un contraejemplo.

En las demostraciones de esta clase usaremos una taquigrafía del español: $V(A)$ abrevia «$A$ es verdadera» y $F(A)$, «$A$ es falsa»; $\neg$ abrevia «no», $\wedge$ abrevia «y», $\vee$ abrevia «o», $\rightarrow$ abrevia «si… entonces» y $\leftrightarrow$ abrevia «si y solo si»; $\forall$ se lee «para todo» y $\exists$, «existe». Estos signos son aquí meras abreviaturas de palabras; en la clase siguiente reaparecerán como signos de un lenguaje formal, con un sentido que el curso fijará con exactitud.

La proposición dice lo que la validez garantiza; conviene ver con igual claridad lo que no garantiza. De las cuatro combinaciones posibles entre la validez y la verdad de la conclusión, solo una queda excluida, la del argumento válido con premisas verdaderas y conclusión falsa; las demás ocurren todas.

De ello se sigue la regla práctica que la clase ejercitará: para mostrar que un argumento es inválido no basta señalar que alguna premisa o la conclusión es falsa, y para mostrar que es válido no basta que todo en él sea verdadero; lo primero exige exhibir un contraejemplo de su forma, y lo segundo, un razonamiento que valga para todas las instancias.

Lenguaje natural y lenguaje formal

La definición de validez descansa sobre dos operaciones: reconocer la forma de un argumento y decidir si una proposición es verdadera o falsa. Ambas suponen que cada oración tiene una sola lectura. El lenguaje natural, el español, el chino o el árabe, que los seres humanos aprenden sin instrucción formal y usan para comunicarse, no cumple esa condición: su flexibilidad, que lo hace apto para la poesía, la conversación y el matiz, lo hace también ambiguo.

• Ambigüedad léxica: una palabra tiene varios significados. «Me senté en el banco» puede referirse a un asiento o a una institución financiera.
• Ambigüedad sintáctica: una oración admite varias estructuras. «El doble de tres más cuatro» puede ser $2 \cdot 3 + 4 = 10$ o $2 \cdot (3 + 4) = 14$.
• Ambigüedad de alcance: no se sabe a qué parte de la oración afecta una palabra lógica. «Todos los alumnos no aprobaron» puede significar que ninguno aprobó o que no todos aprobaron.
• Conectores imprecisos: la «o» unas veces admite que ambas alternativas se cumplan («se pide título o experiencia») y otras lo excluye («café o té»); el «si… entonces» unas veces expresa causa, otras una regla, otras una mera sucesión.

A la ambigüedad se suma un rasgo más profundo: el lenguaje natural puede hablar de sí mismo. Contiene las palabras «oración», «verdadero» y «definir», y con ellas puede formar oraciones que se refieren a sí mismas, como «esta oración tiene cinco palabras». Esta autorreferencia es, en general, inofensiva; pero, como se verá, combinada con la noción de verdad produce oraciones que no pueden ser ni verdaderas ni falsas.

Un lenguaje formal se diseña para eliminar ambas fuentes de dificultad. Se fija un alfabeto, una colección de signos, y unas reglas de formación que dicen, sin dejar lugar a interpretación, qué sucesiones de signos son expresiones bien formadas; el significado de cada expresión se fija después mediante definiciones igualmente precisas. Así, preguntar si una sucesión de signos pertenece al lenguaje es una cuestión que se resuelve mecánicamente, comprobando reglas, y cada expresión se lee de una sola manera. El lenguaje de este curso, que la clase sobre el lenguaje de la lógica proposicional construye, tiene un alfabeto de solo dos signos, el círculo $\sigO$ y el disco $\sigI$, y una sola regla de formación.

El precio es la flexibilidad: un lenguaje formal no sirve para conversar, y cada lenguaje formal expresa solo lo que sus reglas permiten. No es cierto, sin embargo, que se sacrifique todo el poder expresivo: los lenguajes formales de la lógica de primer orden bastan para escribir casi toda la matemática. Lo que se sacrifica es la ambigüedad y la autorreferencia descontrolada; lo que se gana es la posibilidad de demostrar teoremas sobre el propio lenguaje.

Lenguaje objeto y metalenguaje

Para estudiar un lenguaje hay que hablar de él, y para hablar de él se necesita otro lenguaje. El lenguaje objeto es el lenguaje que se estudia; el metalenguaje es el lenguaje en que se lo estudia. En una gramática latina escrita en español, el latín es el lenguaje objeto y el español el metalenguaje. En este curso, el lenguaje objeto será el lenguaje formal de círculos y discos, y el metalenguaje será el español, enriquecido con signos matemáticos y con letras griegas, $\varphi$, $\psi$, que designarán fórmulas cualesquiera del lenguaje objeto sin pertenecer a él.

La distinción es central por una razón precisa: las afirmaciones que el curso demostrará sobre el lenguaje formal (que toda fórmula se lee de una sola manera, que todo lo deducible es verdadero) no son fórmulas del lenguaje formal, sino oraciones del metalenguaje. Por eso se llamarán metateoremas, para distinguirlas de los teoremas que el sistema deductivo produce dentro del lenguaje objeto.

Una forma elemental de la distinción es la que separa el uso de una expresión de su mención. En «Roma es una ciudad» se usa la palabra para hablar de la ciudad; en «“Roma” tiene cuatro letras» se menciona la palabra, y las comillas lo indican: la oración habla de la palabra, no de la ciudad. Confundir ambas cosas produce enunciados absurdos, como «Roma tiene cuatro letras», o argumentos falaces, como «Roma es una ciudad; “Roma” es una palabra de cuatro letras; por tanto, una ciudad es una palabra de cuatro letras».

Las paradojas del lenguaje

Una contradicción es una afirmación junto con su negación, como $V(A) \wedge \neg V(A)$. Una paradoja es un razonamiento que, partiendo de hipótesis que parecen aceptables y avanzando por pasos que parecen válidos, llega a una contradicción. Por la proposición sobre lo que la validez garantiza, si los pasos son de verdad válidos, alguna hipótesis es falsa: resolver una paradoja consiste en encontrar cuál. Conviene no confundir la paradoja con la ambigüedad, que es solo la multiplicidad de lecturas, ni con lo meramente sorprendente.

El mentiroso

La paradoja más antigua de este género se atribuye a Eubúlides de Mileto, en el siglo IV antes de nuestra era. En su forma precisa no habla de mentir, que supone la intención de engañar, sino de falsedad: sea $m$ la oración «la oración $m$ es falsa». Para obtener la contradicción bastan dos hipótesis, que conviene escribir explícitamente.

• Bivalencia (B): toda proposición es verdadera o falsa, y no ambas cosas; ser falsa equivale a no ser verdadera.
• Esquema de la verdad (T): una oración es verdadera si y solo si lo que dice es el caso. Por ejemplo, «la nieve es blanca» es verdadera si y solo si la nieve es blanca.

El teorema no dice que la lógica sea contradictoria, sino que las dos hipótesis no pueden sostenerse a la vez para un lenguaje que contiene la oración $m$. Hay, por tanto, tres salidas: abandonar la bivalencia y admitir oraciones sin valor de verdad; restringir el esquema de la verdad; o impedir que el lenguaje forme la oración $m$. La tercera es la de Alfred Tarski, en 1933: el predicado «es verdadera» de un lenguaje no pertenece a ese lenguaje, sino a su metalenguaje. En un lenguaje así, $m$ no es una oración bien formada, y la paradoja no puede enunciarse.

La paradoja de Berry

Publicada por Bertrand Russell en 1906, que la atribuyó a George Berry, bibliotecario de Oxford, esta paradoja no usa la palabra «verdadero», sino la palabra «definir». Se dice que una frase del español define un número natural cuando lo describe de modo que se lo puede identificar sin ambigüedad: «el menor número primo mayor que diez» define el $11$. Consideremos la frase «el menor número natural que no puede definirse con menos de veinte palabras», que debe leerse tal como está escrita, y llamemos $b$ al número que pretende definir. Los números naturales, en este curso, son $1, 2, 3, \ldots$

La exposición corriente, que se limita a observar que la frase tiene menos de veinte palabras, omite la mitad del argumento: que el número $b$ existe, lo que exige la finitud del vocabulario y la elección del primero que falta. La hipótesis que falla es la segunda: «definir» no es una relación precisa del español, porque la frase que define a $b$ usa la propia palabra «definir», y su sentido depende de cuáles frases cuentan como definiciones. En un lenguaje formal $L$ puede precisarse qué significa «definible en $L$», pero esa noción solo se expresa en el metalenguaje; la frase que define a $b$ no pertenece a $L$, y la contradicción desaparece: $b$ no es definible en $L$ con pocos signos, aunque sí lo sea en el metalenguaje.

El barbero y el conjunto de Russell

La paradoja del barbero se suele contar así: en un pueblo hay un barbero, hombre del pueblo, que afeita a todos los hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos, y solo a ellos. ¿Se afeita el barbero a sí mismo? Las dos palabras «solo a ellos» son esenciales: un barbero que afeitara a todos los que no se afeitan a sí mismos, sin la restricción, podría afeitarse también a sí mismo sin contradicción alguna. La paradoja es un caso particular de un lema general, de forma diagonal, que conviene demostrar una sola vez.

La conclusión del barbero es inofensiva: nadie había afirmado que tal barbero existiera. No ocurre lo mismo con su versión en la teoría de conjuntos. En 1902, Russell escribió a Gottlob Frege que su sistema, que pretendía fundar la aritmética en la lógica, admitía el siguiente principio de comprensión: para toda propiedad hay un conjunto cuyos elementos son exactamente los objetos que la tienen. Aplicado a la propiedad de no pertenecer a sí mismo, el principio afirma que existe el conjunto

A diferencia del barbero, aquí la existencia de $Z$ no era una suposición de un relato, sino un principio de la teoría. La paradoja de Russell no se resuelve declarando que $Z$ no existe, sino reformando la teoría: la teoría axiomática de conjuntos de Zermelo, de 1908, solo permite formar, con una propiedad, subconjuntos de un conjunto ya dado, y con esa restricción la contradicción no se deduce.

Lo que no es una paradoja

Se ha llamado a veces «paradoja del conjunto vacío» a la observación de que el conjunto vacío existe aunque no tiene elementos, como si un objeto existente debiera estar hecho de objetos existentes. No hay en ello contradicción alguna: un conjunto no está hecho de sus elementos como un muro de sus ladrillos, sino que queda determinado por ellos, y la colección de los elementos de un conjunto puede no tener ninguno, como una caja vacía sigue siendo una caja. Que un hecho sorprenda no lo hace paradójico; la paradoja exige deducir una contradicción, y aquí no se deduce ninguna.

Cómo las trata un lenguaje formal

De lo anterior se sigue que un lenguaje formal no evita las paradojas por arte de magia, sino de dos maneras precisas. La primera es que puede carecer de los recursos que las producen. El lenguaje de la lógica proposicional, que construye este curso, no tiene oraciones que se refieran a sí mismas ni un predicado de verdad: en él no se puede escribir la oración del mentiroso, y su semántica asigna a cada fórmula, sin excepción, un único valor de verdad. La segunda es que, en lenguajes más ricos, la paradoja se convierte en teorema: el razonamiento del mentiroso, hecho con rigor, demuestra que la verdad de un lenguaje suficientemente expresivo no es definible en ese mismo lenguaje (Tarski); el del barbero y de Russell demuestra que ciertas colecciones no son conjuntos; y argumentos emparentados con el de Berry están en el corazón de los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel, de 1931. Así, lo que en el lenguaje natural es una perplejidad, en un lenguaje formal es información.

Los cuatro pilares de la lógica matemática

La lógica matemática nació a fines del siglo XIX y comienzos del XX, con Frege, Peano, Russell y David Hilbert, como respuesta a una pregunta precisa: sobre qué fundamentos descansa la matemática y si esos fundamentos están libres de contradicción. Hoy se la divide en cuatro grandes ramas, que se entrelazan constantemente.

• Teoría de la demostración: estudia las demostraciones formales como objetos matemáticos, es decir, como sucesiones finitas de fórmulas que siguen reglas explícitas; pregunta qué puede demostrarse en un sistema, si un sistema es consistente y cómo se transforman unas demostraciones en otras. La unidad de deducción de este curso es un primer contacto con ella.
• Teoría de modelos: estudia la relación entre un lenguaje formal y las estructuras que lo interpretan, sus modelos; pregunta qué estructuras satisfacen un conjunto de fórmulas y qué propiedades de las estructuras pueden expresarse en un lenguaje dado. La unidad de semántica, con sus asignaciones de valores de verdad, es su versión más elemental.
• Teoría de conjuntos: estudia los conjuntos con axiomas precisos, como la de Zermelo y Fraenkel, en la que puede escribirse casi toda la matemática; nació, en buena parte, de la necesidad de evitar la paradoja de Russell.
• Teoría de la computabilidad: estudia qué problemas pueden resolverse mediante un procedimiento mecánico y cuáles no. La lógica proposicional es decidible, como verá el curso: existe un procedimiento que decide en un número finito de pasos si una fórmula es válida; la lógica de predicados, en cambio, no lo es.

Ningún pilar se estudia en profundidad sin tocar los demás: la completitud, resultado central de este curso, es a la vez un teorema de la teoría de la demostración y de la teoría de modelos, y la decidibilidad que se obtiene de ella pertenece a la computabilidad.

El mapa del curso

El curso recorre, para el lenguaje más sencillo de la lógica, el proposicional, el camino completo de una teoría lógica, en cuatro unidades.

1. Lenguaje: la sintaxis. Se construye el lenguaje objeto con su alfabeto de dos signos y su regla de formación, se demuestra que cada fórmula se lee de una sola manera, se aprende a demostrar por inducción y se traducen al lenguaje formal enunciados y argumentos del lenguaje natural, señalando lo que la traducción conserva y lo que pierde.
2. Deducción: se fija un sistema de axiomas y una regla de inferencia, y se define qué significa que una fórmula $\varphi$ se deduzca de un conjunto de fórmulas $\Gamma$, lo que se escribe $\Gamma \vdash \varphi$. Es la cara sintáctica de la validez: manipular signos según reglas, sin atender a su significado.
3. Semántica: se asigna a cada fórmula un valor de verdad en cada asignación, y se define qué significa que $\varphi$ sea consecuencia de $\Gamma$, lo que se escribe $\Gamma \models \varphi$: toda asignación que hace verdaderas las fórmulas de $\Gamma$ hace verdadera a $\varphi$. Es la cara semántica de la validez, la definición de esta clase hecha precisa.
4. Metateoría: se demuestra que ambas caras coinciden. La corrección dice que todo lo deducible es consecuencia, y la completitud, que toda consecuencia es deducible. Se estudian después la compacidad y un método mecánico, la resolución, para decidir si un conjunto de fórmulas puede satisfacerse.

Si esto es así, el curso es el primer ejemplo completo de una teoría matemática cuyo objeto es el razonamiento mismo; y todas sus afirmaciones sobre el lenguaje formal serán, como se ha visto en esta clase, oraciones del metalenguaje demostradas con el rigor de la matemática.

Problemas resueltos

Los problemas siguientes ejercitan, en dificultad creciente, las distinciones de la clase: refutar un argumento cuyas oraciones son todas verdaderas, separar las lecturas de un enunciado ambiguo, clasificar expresiones del lenguaje objeto y del metalenguaje, y analizar dos razonamientos de apariencia paradójica para decidir si lo son.

Problemas propuestos

Los dos primeros problemas ejercitan la validez y la ambigüedad; el tercero, el uso y la mención; los dos últimos piden analizar una paradoja nueva y aplicar el lema diagonal fuera de la lingüística. Cada uno tiene una pista, que conviene abrir solo después de haberlo intentado.