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Topos Uranos
Deutsch

Die Sprache der Aussagenlogik

Zusammenfassung

Diese Lektion baut von Grund auf die Sprache auf, in der alle Formeln des Kurses geschrieben werden. Sie führt zunächst das Unentbehrliche über Mengen ein (Elementbeziehung, durch Aufzählung und durch Aussonderung angegebene Mengen, Inklusion und Vereinigung) und wendet es auf Zeichenketten an: ihre Länge, ihre Verkettung und ihre Präfixe sowie die Anzahl der Zeichenketten, die sich mit zwei Zeichen schreiben lassen. Über dem Alphabet aus zwei Zeichen, dem Kreis und der Scheibe, definiert sie die Grundsprache: unendlich viele Variablen, eine einzige Bildungsregel und eine Abschlussklausel, aus der sich ein Prinzip zum Beweis von Eigenschaften aller Formeln ergibt. Danach zeigt sie, wie man entscheidet, ob eine Zeichenkette eine Formel ist, formuliert die eindeutige Lesbarkeit und baut schließlich auf der Grundsprache die Metasprache auf, mit der von nun an gearbeitet wird: Metavariablen, den mit Klammern geschriebenen Peirce-Pfeil und die offiziellen Abkürzungen der übrigen Junktoren, mit ihrer Lesart im Deutschen.

Lernziele

  1. Mengen von Zeichenketten durch Aufzählung und durch Aussonderung beschreiben und Elementbeziehungen, Inklusionen und Vereinigungen zwischen ihnen entscheiden.
  2. Die Zeichenketten einer gegebenen Länge und die von beschränkter Länge über einem Alphabet aus zwei Zeichen zählen.
  3. Entscheiden, ob eine Zeichenkette aus Kreisen und Scheiben eine Formel ist, und, wenn sie es ist, rekonstruieren, wie sie gebildet wurde.
  4. Mit dem Abschlussprinzip beweisen, dass alle Formeln eine Eigenschaft haben, und solche Eigenschaften nutzen, um Zeichenketten auszuschließen.
  5. Die Objektsprache von der Metasprache unterscheiden, eine Abkürzung bis zur Zeichenkette der Grundsprache auflösen und die Formeln auf Deutsch lesen.

Was man von Mengen braucht

Eine formale Sprache ist vor allem eine Sammlung von Zeichenketten; wenn dem so ist, braucht man, um präzise über sie zu sprechen, ein Vokabular für Sammlungen. Dieses Vokabular ist das der Mengen, aus dem diese Lektion nur entnimmt, was der Kurs verwenden wird. Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, ihren Elementen, die durch diese bestimmt ist: Zwei Mengen mit denselben Elementen sind dieselbe Menge. Dass ein Objekt aa Element der Menge AA ist, schreibt man a∈Aa \in A und liest „aa ist Element von AA“; dass es dies nicht ist, schreibt man a∉Aa \notin A.

Eine Menge kann auf zwei Arten angegeben werden. Durch Aufzählung, indem man ihre Elemente einzeln zwischen geschweiften Klammern nennt, wobei weder die Reihenfolge noch Wiederholungen eine Rolle spielen; und durch Aussonderung, indem man die Bedingung angibt, die ihre Elemente und nur sie erfüllen, mit einem Doppelpunkt, der als „für die gilt“ gelesen wird. So bilden die natürlichen Zahlen kleiner als 55 die Menge

{1,2,3,4}={n∈N:n<5}\{1, 2, 3, 4\} = \{ n \in \mathbb{N} : n < 5 \}

Eine Variante der Aussonderung, die im Folgenden sehr häufig vorkommt, beschreibt die Elemente durch ihre Form: {2n:n∈N}\{ 2n : n \in \mathbb{N} \} ist die Menge der Zahlen der Form 2n2n mit natürlichem nn, also die der geraden Zahlen. Eine durch Aufzählung angegebene Menge ist notwendig endlich; durch Aussonderung lassen sich auch unendliche Mengen angeben, etwa die der geraden Zahlen.

Man sagt, AA sei in BB enthalten, und schreibt A⊆BA \subseteq B, wenn jedes Element von AA Element von BB ist. Daraus folgt, dass zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn jede in der anderen enthalten ist, denn dann haben sie dieselben Elemente; und dies ist in der Tat der übliche Weg, eine Mengengleichheit zu beweisen: man zeigt beide Inklusionen. Schließlich ist die Vereinigung A∪BA \cup B die Menge der Objekte, die zu AA, zu BB oder zu beiden gehören; folglich ist jede der beiden Mengen in ihrer Vereinigung enthalten.

BeispielElementbeziehung, Inklusion und Vereinigung

Seien A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={2,4,6,8}B = \{2, 4, 6, 8\} und P={2n:n∈N}P = \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}. Es gilt 2∈A2 \in A und 4∉A4 \notin A; außerdem ist B⊆PB \subseteq P, weil jedes Element von BB das Doppelte einer natürlichen Zahl ist, während AA nicht in PP enthalten ist, weil 1∈A1 \in A und 1∉P1 \notin P. Die Vereinigung von AA und BB ist {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}: Die 22, die in beiden liegt, erscheint nur einmal.