لغة منطق القضايا

ما نحتاج إليه من المجموعات

اللغة الصورية هي، قبل كل شيء، تجمّعٌ من سلاسل الرموز؛ وإذا كان الأمر كذلك، فإن الحديث عنها بدقة يحتاج إلى مفردات للتجمّعات. وهذه المفردات هي مفردات المجموعات، التي لا يأخذ منها هذا الدرس إلا ما ستستعمله الدورة. المجموعة تجمّعٌ من الأشياء، تسمّى عناصرها، وهي تتحدّد بها: فالمجموعتان اللتان لهما العناصر نفسها هما المجموعة نفسها. وكون الشيء $a$ عنصرًا في المجموعة $A$ يُكتب $a \in A$ ويُقرأ «$a$ ينتمي إلى $A$»؛ وكونه ليس كذلك يُكتب $a \notin A$.

يمكن أن تُعطى المجموعة بطريقتين. بالسرد، أي بتسمية عناصرها واحدًا واحدًا بين قوسين معقوصين، دون أن يهمّ الترتيب ولا التكرار؛ وبالصفة، أي بصياغة الشرط الذي تحقّقه عناصرها وحدها، مع نقطتين رأسيتين تُقرآن «بحيث». وهكذا تكوّن الأعداد الطبيعية الأصغر من $5$ المجموعة

وثمة ضرب من التعريف بالصفة، كثير الورود فيما يلي، يصف العناصر بالهيئة التي لها: $\{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$ هي مجموعة الأعداد التي على الهيئة $2n$ حيث $n$ عدد طبيعي، أي مجموعة الأعداد الزوجية. والمجموعة المعطاة بالسرد منتهية بالضرورة؛ أما بالصفة فيمكن أن تُعطى أيضًا مجموعات غير منتهية، كمجموعة الأعداد الزوجية.

يقال إن $A$ محتواة في $B$، ويُكتب $A \subseteq B$، إذا كان كل عنصر من $A$ عنصرًا من $B$. ويلزم عن ذلك أن المجموعتين متساويتان إذا وفقط إذا كانت كلٌّ منهما محتواة في الأخرى، لأن لهما حينئذ العناصر نفسها؛ وهذه في الواقع هي الطريقة المعتادة لإثبات تساوي مجموعتين: إثبات الاحتواءين. وأخيرًا، الاتحاد $A \cup B$ هو مجموعة الأشياء التي تنتمي إلى $A$ أو إلى $B$ أو إليهما معًا؛ ومن ثمّ فكلٌّ من المجموعتين محتواة في اتحادهما.