Il linguaggio della logica proposizionale

Ciò che serve degli insiemi

Un linguaggio formale è, anzitutto, una collezione di stringhe di simboli: se le cose stanno così, per parlarne con precisione serve un vocabolario per le collezioni. Quel vocabolario è quello degli insiemi, dal quale questa lezione prende solo ciò che il corso userà. Un insieme è una collezione di oggetti, detti suoi elementi, che risulta determinata da essi: due insiemi con gli stessi elementi sono lo stesso insieme. Che un oggetto $a$ sia elemento dell’insieme $A$ si scrive $a \in A$ e si legge «$a$ appartiene ad $A$»; che non lo sia si scrive $a \notin A$.

Un insieme si può dare in due modi. Per elencazione, nominando uno per uno i suoi elementi tra parentesi graffe, senza che contino l’ordine né le ripetizioni; e per comprensione, enunciando la condizione che soddisfano i suoi elementi e soltanto essi, con due punti che si leggono «tali che». Così, i naturali minori di $5$ formano l’insieme

Una variante della comprensione, molto frequente in ciò che segue, descrive gli elementi mediante la forma che hanno: $\{ 2n : n \in \mathbb{N} \}$ è l’insieme dei numeri della forma $2n$ con $n$ naturale, cioè quello dei pari. Un insieme dato per elencazione è necessariamente finito; per comprensione si possono dare anche insiemi infiniti, come quello dei pari.

Si dice che $A$ è incluso in $B$, e si scrive $A \subseteq B$, quando ogni elemento di $A$ è elemento di $B$. Ne segue che due insiemi sono uguali se e solo se ciascuno è incluso nell’altro, perché allora hanno gli stessi elementi; e questo è, in effetti, il modo abituale di dimostrare un’uguaglianza di insiemi: provare le due inclusioni. Infine, l’unione $A \cup B$ è l’insieme degli oggetti che appartengono ad $A$, a $B$ o a entrambi; donde ciascuno dei due insiemi è incluso nella loro unione.