Ad argvmentvm transi
Topos Uranos
Latine

Lingva logicae propositionalis

Svmmarivm

Haec lectio lingvam, qva omnes cvrsvs formvlae scribentvr, ab initio constrvit. Primvm ea qvae de classibvs necessaria svnt introdvcit (pertinentiam, classes per envmerationem et per comprehensionem datas, inclvsionem et vnionem) eaqve ad catenas signorvm adhibet: ad earvm longitvdinem, concatenationem et praefixa, et ad nvmervm catenarvm qvae dvobvs signis scribi possvnt. Svper alphabetvm dvorvm signorvm, circvlvm et discvm, lingvam fvndamentalem definit: infinitas variabiles, vnicam regvlam formationis et clavsvlam clavsvrae, ex qva principivm dedvcitvr ad proprietates omnivm formvlarvm demonstrandas. Deinde ostendit qvomodo decernatvr vtrvm catena formvla sit, legibilitatem vnicam envntiat et, postremo, svper lingvam fvndamentalem metalingvam constrvit qva deinceps vtemvr: metavariabiles, negationem conivnctam cvm parenthesibvs scriptam et abbreviationes statvtas ceterorvm connectivorvm, cvm earvm lectione Latina.

Proposita discendi

  1. Classes catenarvm per envmerationem et per comprehensionem describere, et relationes pertinentiae, inclvsionis et vnionis inter eas decernere.
  2. Catenas datae longitvdinis et eas longitvdinis terminatae svper alphabetvm dvorvm signorvm nvmerare.
  3. Decernere vtrvm catena circvlorvm et discorvm formvla sit et, si est, modvm qvo formata est restitvere.
  4. Per principivm clavsvrae demonstrare omnes formvlas proprietatem aliqvam habere, iisqve proprietatibvs vti ad catenas exclvdendas.
  5. Lingvam obiecti a metalingva distingvere, abbreviationem vsqve ad catenam lingvae fvndamentalis explicare et formvlas Latine legere.

Qvae de classibvs reqvirvntvr

Lingva formalis est ante omnia collectio catenarvm signorvm: qvod si ita est, vt de ea accvrate loqvamvr, vocabvlario collectionvm opvs est. Id vocabvlarivm est classivm, ex qvo haec lectio ea tantvm svmit qvibvs cvrsvs vtetvr. Classis est collectio obiectorvm, qvae eivs elementa appellantvr, qvae ab iis determinatvr: dvae classes eadem elementa habentes eadem classis svnt. Obiectvm aa elementvm esse classis AA scribitvr a∈Aa \in A et legitvr «aa ad AA pertinet»; non esse scribitvr a∉Aa \notin A.

Classis dvobvs modis dari potest. Per envmerationem, elementis eivs singillatim inter vncos flexos nominatis, nec ordine nec repetitionibvs refert; et per comprehensionem, condicione envntiata qvam eivs elementa et ea sola implent, cvm dvobvs pvnctis qvae «talia vt» legvntvr. Sic nvmeri natvrales minores qvam 55 classem efficivnt

{1,2,3,4}={n∈N:n<5}\{1, 2, 3, 4\} = \{ n \in \mathbb{N} : n < 5 \}

Varietas comprehensionis, in seqventibvs freqventissima, elementa per formam qvam habent describit: {2n:n∈N}\{ 2n : n \in \mathbb{N} \} est classis nvmerorvm formae 2n2n cvm nn natvrali, id est classis parivm. Classis per envmerationem data necessario finita est; per comprehensionem etiam classes infinitae dari possvnt, vt classis parivm.

Dicitvr AA in BB inclvsa esse, et scribitvr A⊆BA \subseteq B, cvm omne elementvm classis AA elementvm sit classis BB. Inde seqvitvr dvas classes aeqvales esse si et solvm si vtraqve in altera inclvditvr, qvia tvm eadem elementa habent; et hic est revera modvs vsitatvs aeqvalitatem classivm demonstrandi: vtramqve inclvsionem probare. Postremo, vnio A∪BA \cup B est classis obiectorvm qvae ad AA, ad BB vel ad vtramqve pertinent; vnde vtraqve classis in vnione sva inclvditvr.

ExemplvmPertinentia, inclvsio et vnio

Sint A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}, B={2,4,6,8}B = \{2, 4, 6, 8\} et P={2n:n∈N}P = \{ 2n : n \in \mathbb{N} \}. Habemvs 2∈A2 \in A et 4∉A4 \notin A; praeterea B⊆PB \subseteq P, qvia qvodqve elementvm classis BB dvplvm est nvmeri natvralis, cvm AA in PP non inclvdatvr, qvia 1∈A1 \in A et 1∉P1 \notin P. Vnio classivm AA et BB est {1,2,3,4,6,8}\{1, 2, 3, 4, 6, 8\}: nvmervs 22, qvi in vtraqve est, semel tantvm apparet.