Qvid est logica mathematica

Svmmarivm

Haec lectio obiectvm logicae mathematicae circvmscribit: non veritatem singvlorvm envntiatorvm, qvae ad qvamqve scientiam pertinet, sed formam ratiocinationvm et validitatem, id est relationem inter praemissas et conclvsionem qvae praestat vt illarvm veritas ad hanc transeat. Propositionem, argvmentationem, praemissam, conclvsionem, formam et exemplvm contrarivm definit; validitatem a veritate distingvit argvmentationibvs validis cvm conclvsione falsa et invalidis cvm conclvsione vera; ostendit cvr lingva natvralis, ambigva et de se ipsa loqvi potens, non svfficiat ad validitatem accvrate investigandam, et distinctionem inter lingvam obiecti et metalingvam statvit, qvae totvm cvrsvm regit. Deinde exponit, cvm hypothesibvs explicitis et demonstrationibvs svis, paradoxa mendacis, Berrianvm et tonsoris, atqve Rvssellianvm, qvod tonsor praenvntiat, et explicat qvomodo lingva formalis ea vitet avt in theoremata convertat. Desinit in qvattvor colvmnas logicae mathematicae et in tabvlam cvrsvs.

Proposita discendi

Validitatem argvmentationis a veritate praemissarvm et conclvsionis eivs distingvere, et formam invalidam exemplo contrario constrvendo refvtare.
Ambigvitates lingvae natvralis agnoscere et singvlas lectiones envntiati ambigvi definire.
Lingvam obiecti a metalingva distingvere, et vsvm expressionis a mentione eivs.
Paradoxon excvtere: hypotheses eivs secernere, contradictionem dedvcere et decernere qvae hypothesis deserenda sit.

Qvid logica investiget

Omnis cognitio qvae non observatione directa comparatvr ratiocinando comparatvr: ab affirmationibvs qvibvsdam qvae admittvntvr ad aliam transitvr qvae ex eis seqvitvr. In geometria, qvi scit angvlos triangvli dvobvs rectis aeqvales esse conclvdit nvllvm triangvlvm dvos angvlos obtvsos habere; in medicina, qvi scit morbvm qvendam febrem efficere, et hominem inspectvm febri carere, evm morbvm exclvdit. Logica est disciplina qvae investigat qvando is transitvs legitimvs sit, et logica mathematica ea qvae evm methodis mathematicae investigat: obiecta sva, qvae svnt lingvae, formvlae et dedvctiones, accvrate definiendo et theoremata de eis demonstrando.

Vt accvrate envntietvr qvid investiget, privs vocabvlarivm figere convenit. Propositio est sententia envntiativa de qva sensvm habet dicere eam veram esse avt falsam esse: « $7$ nvmervs primvs est» propositio vera est; «omnis nvmervs par maior est qvam $5$ », propositio falsa. Non svnt avtem propositiones interrogationes («qvota hora est?»), ivssa («clavde ianvam») neqve expressiones cvm variabilibvs liberis, vt « $x$ par est», qvarvm valor ex eo pendet qvod $x$ designat.

Argvmentatio est elenchvs propositionvm, praemissarvm, vna cvm alia propositione, conclvsione, qvae tamqvam earvm conseqventia proponitvr. Praemissae qvaelibet propositiones esse possvnt: verae, falsae, notae avt merae svppositiones; id solvm qvod eas distingvit est locvs qvem in argvmentatione tenent. Argvmentationes scribemvs praemissis versibvs svccessivis positis et conclvsione, cvi «ergo» praeponitvr:

ExemplvmArgvmentatio

Si nvmervs mvltiplex est nvmeri $4$ , par est. Nvmervs $28$ mvltiplex est nvmeri $4$ . Ergo $28$ par est.

Praemissae eivs svnt «si nvmervs mvltiplex est nvmeri $4$ , par est» et « $28$ mvltiplex est nvmeri $4$ »; conclvsio, « $28$ par est».

Logica non est theoria veritatis

Qvod si ita est, logicae non est officivm explorare vtrvm praemissae argvmentationis verae sint. Vtrvm $28$ mvltiplex sit nvmeri $4$ arithmetica decernit; vtrvm homo febrem habeat, thermometrvm; vtrvm proelivm certo anno commissvm sit, historia. Neqve ad eam pertinet definire qvid sit veritas, qvae qvaestio ad philosophiam pertinet. Logica admittit propositiones valorem veritatis habere, qvaliscvmqve is sit, et investigat qvomodo ii valores inter se referantvr: praesertim qvando veritas aliqvarvm propositionvm veritatem alterivs cogat. Aliis verbis, logica non est theoria veritatis, sed theoria transmissionis veritatis.

Iam vero qvod veritatem transmittit non ex materia argvmentationis pendet, sed ex strvctvra eivs. Comparetvr argvmentatio svperior cvm hac altera: «si animal mammale est, aerem spirat; balaena mammale est; ergo balaena aerem spirat». Ambae eandem formam habent: «si aliqvid est $A$ , est $B$ ; $c$ est $A$ ; ergo $c$ est $B$ ». Forma argvmentationis est id qvod manet cvm termini eivs non logici (nvmeri, animalia, proprietates) litteris svbstitvvntvr, verbis logicis servatis: «non», «et», «vel», «si… tvm», «omnis», «aliqvis». Qvaeqve argvmentatio qvae ex forma obtinetvr litteris eivs materia impletis instantia eivs est.

Forma est valida cvm nvlla eivs instantia omnes praemissas veras et conclvsionem falsam habet; argvmentatio est valida cvm forma eivs valida est. Instantia cvm praemissis veris et conclvsione falsa exemplvm contrarivm formae appellatvr: vnde forma tvm demvm invalida est cvm exemplvm contrarivm habet.

In demonstrationibvs hvivs lectionis notis compendiariis Latinis vtemvr: $V(A)$ abbreviat « $A$ vera est» et $F(A)$ , « $A$ falsa est»; $\neg$ abbreviat «non», $\wedge$ abbreviat «et», $\vee$ abbreviat «vel», $\Rightarrow$ abbreviat «si… tvm» et $\Leftrightarrow$ abbreviat «si et solvm si»; $\forall$ legitvr «pro omni» et $\exists$ , «exstat». Haec signa hic merae svnt abbreviationes verborvm metalingvae, et sagittae dvplices in toto cvrsv hvic vsvi reservantvr. In lectione seqventi apparebvnt signa vnivs lineae, $\rightarrow$ et $\leftrightarrow$ , vna cvm $\neg$ , $\wedge$ et $\vee$ , vt abbreviationes lingvae formalis, sensv qvem cvrsvs accvrate figet; differentia lineae inter sagittas admonebit qvo gradv loqvamvr.

PropositioQvid validitas praestet

Si argvmentatio valida est et omnes eivs praemissae verae svnt, conclvsio eivs vera est. Itaqve, si argvmentatio valida conclvsionem falsam habet, aliqva eivs praemissarvm falsa est.

Demonstratio

$\dato{p}{V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n)}$
Sit argvmentatio valida cvm praemissis $A_1, \ldots, A_n$ et conclvsione $C$ , et ponamvs omnes praemissas veras esse.
$\resaltar{A_1, \ldots, A_n, C}$
Omnis argvmentatio instantia est formae svae: satis est litteris formae eam materiam dare qvam in argvmentatione habebant.
$\dato{v}{\neg\left( V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n) \wedge \resaltar{\neg V(C)} \right)}$
Ex definitione validitatis, nvlla instantia eivs formae praemissas veras et conclvsionem falsam habet; praesertim non ipsa argvmentatio.
$\resaltar{V(C)}$
Cvm praemissae verae sint, in conivnctione negata nihil deficere potest nisi falsitas conclvsionis: conclvsio vera est.
$\neg V(C) \Rightarrow \neg\left( V(A_1) \wedge \cdots \wedge V(A_n) \right)$
Si contra conclvsio falsa est, non possvnt omnes praemissae verae esse, qvia tvm conclvsio vera esset.

Propositio dicit qvid validitas praestet; aeqve clare videre convenit qvid non praestet. Ex octo combinationibvs possibilibvs validitatis argvmentationis, veritatis omnivm eivs praemissarvm et veritatis eivs conclvsionis vna sola exclvditvr, ea argvmentationis validae cvm praemissis veris et conclvsione falsa; ceterae omnes evenivnt.

ExemplvmValida, cvm conclvsione falsa

Omnis nvmervs primvs impar est. Nvmervs $2$ primvs est. Ergo $2$ impar est.

Forma eadem est ac primae argvmentationis lectionis, ita vt argvmentatio valida sit; conclvsio tamen eivs falsa est. Propositio svperior indicat vbi vitivm lateat: aliqva praemissa falsa est, et revera prima, qvia $2$ primvs et par est. Argvmentatio valida veritates non gignit; eas tantvm servat qvas accipit.

ExemplvmInvalida, cvm conclvsione vera

Si nvmervs mvltiplex est nvmeri $4$ , par est. Nvmervs $8$ par est. Ergo $8$ mvltiplex est nvmeri $4$ .

Praemissae et conclvsio verae svnt, et tamen argvmentatio invalida est. Forma eivs, «si aliqvid est $A$ , est $B$ ; $c$ est $B$ ; ergo $c$ est $A$ », exemplvm contrarivm habet: nvmero $6$ loco nvmeri $8$ posito, praemissae verae manent («si nvmervs mvltiplex est nvmeri $4$ , par est»; « $6$ par est») et conclvsio, « $6$ mvltiplex est nvmeri $4$ », falsa est. Veritas conclvsionis primae non ex praemissis procedit, sed ex arithmetica: $8 = 4 \cdot 2$ . Haec forma invalida, in cotidiana ratiocinatione freqvens, affirmatio conseqventis appellatvr.

Inde seqvitvr regvla practica qvam lectio exercebit: ad ostendendvm argvmentationem invalidam esse non svfficit indicare aliqvam praemissam avt conclvsionem falsam esse, et ad ostendendvm eam validam esse non svfficit omnia in ea vera esse; illvd exigit vt exemplvm contrarivm formae eivs exhibeatvr, hoc ratiocinationem qvae pro omnibvs instantiis valeat.

Lingva natvralis et lingva formalis

Definitio validitatis dvabvs operationibvs nititvr: formam argvmentationis agnoscere et decernere vtrvm propositio vera an falsa sit. Ambae svpponvnt qvamqve sententiam vnicam lectionem habere. Lingva natvralis, Italica, Sinica avt Arabica, qvam homines sine institvtione formali discvnt et ad commvnicandvm adhibent, hanc condicionem non implet: eivs flexibilitas, qvae eam aptam reddit poesi, colloqvio et svbtilitati, eam etiam ambigvam reddit.

Ambigvitas lexica: verbvm plvres significationes habet. «Malvm vidi» ad pomvm referri potest avt ad rem malam.
Ambigvitas syntactica: sententia plvres strvctvras admittit. «Bis tres et qvattvor» potest esse $2 \cdot 3 + 4 = 10$ avt $2 \cdot (3 + 4) = 14$ .
Ambigvitas ambitvs: nescitvr ad qvam partem sententiae verbvm logicvm pertineat. «Omnes discipvli non probati svnt» significare potest avt neminem probatvm esse avt non omnes probatos esse.
Connectiva imprecisa: particvlae «vel» et «avt» interdvm admittvnt vt vtraqve alternativa vera sit («reqviritvr diploma vel peritia»), interdvm id exclvdvnt («vinvm avt aqvam»); «si… tvm» interdvm cavsam exprimit, interdvm regvlam, interdvm meram svccessionem.

Ambigvitati accedit nota profvndior: lingva natvralis de se ipsa loqvi potest. Verba «sententia», «vervm» et «definire» continet, et iis sententias formare potest qvae ad se ipsas refervntvr, vt «haec sententia qvinqve verba habet». Haec svi relatio plervmqve innocva est; sed, vt videbitvr, cvm notione veritatis conivncta sententias gignit qvae neqve verae neqve falsae esse possvnt.

Lingva formalis ita fingitvr vt ambos fontes difficvltatis tollat. Figitvr alphabetvm, collectio signorvm, et regvlae formationis qvae, nvllo interpretationi loco relicto, dicvnt qvae series signorvm expressiones bene formatae sint; significatio cvivsqve expressionis postea definitionibvs aeqve accvratis figitvr. Ita qvaerere vtrvm series signorvm ad lingvam pertineat qvaestio est qvae mechanice solvitvr, regvlis comprobandis, et qvaeqve expressio vno tantvm modo legitvr. Lingva hvivs cvrsvs, qvam lectio de lingva logicae propositionalis constrvit, alphabetvm dvorvm tantvm signorvm habet, circvlvm $\sigO$ et discvm $\sigI$ , et vnicam regvlam formationis.

Pretivm est flexibilitas: lingva formalis ad colloqvendvm non valet, et qvaeqve lingva formalis id solvm exprimit qvod regvlae eivs permittvnt. Non tamen vervm est totam vim exprimendi sacrificari: lingvae formales logicae primi ordinis svfficivnt ad totam fere mathematicam scribendam. Qvod sacrificatvr est ambigvitas et svi relatio effrenata; qvod acqviritvr est facvltas theorematvm de ipsa lingva demonstrandorvm.

Lingva obiecti et metalingva

Vt lingva investigetvr, de ea loqvendvm est, et vt de ea loqvamvr, alia lingva opvs est. Lingva obiecti est lingva qvae investigatvr; metalingva est lingva qva investigatvr. In grammatica Graeca Latine scripta, Graeca est lingva obiecti et Latina metalingva. In hoc cvrsv lingva obiecti erit lingva formalis circvlorvm et discorvm, et metalingva erit Latina, signis mathematicis avcta et litteris Graecis, $\varphi$ , $\psi$ , qvae formvlas qvaslibet lingvae obiecti designabvnt neqve ad eam pertinebvnt.

Distinctio ob cavsam certam praecipva est: affirmationes qvas cvrsvs de lingva formali demonstrabit (omnem formvlam vno tantvm modo legi, omne dedvcibile vervm esse) non svnt formvlae lingvae formalis, sed sententiae metalingvae. Ideo metatheoremata appellabvntvr, vt a theorematibvs distingvantvr qvae systema dedvctivvm intra lingvam obiecti gignit.

Forma elementaris distinctionis ea est qvae vsvm expressionis a mentione eivs separat. In «Roma vrbs est» verbvm adhibetvr vt de vrbe loqvamvr; in «“Roma” qvattvor litteras habet» verbvm memoratvr, et signa citationis id indicant: sententia de verbo loqvitvr, non de vrbe. Haec dvo confvndere envntiata absvrda gignit, vt «Roma qvattvor litteras habet», avt argvmentationes fallaces, vt «Roma vrbs est; “Roma” verbvm qvattvor litterarvm est; ergo vrbs verbvm qvattvor litterarvm est».

ExemplvmTres gradvs

Svmamvs lingvam Italicam vt lingvam obiecti. Sententia «Roma è eterna» ad lingvam obiecti pertinet. Sententia «“Roma è eterna” tria verba habet» ad metalingvam, Latinam, pertinet et vera est. Sententia «sententia svperior Latine scripta est» de sententia metalingvae loqvitvr: ad tertivm gradvm pertinet, metalingvam metalingvae, qvamqvam eadem lingva scripta est. Nihil impedit qvominvs eadem lingva plvribvs gradibvs serviat; qvod refert est non oblivisci de qvo loqvamvr.

Paradoxa lingvae

Contradictio est affirmatio vna cvm negatione sva, vt $V(A) \wedge \neg V(A)$ . Paradoxon est ratiocinatio qvae, ab hypothesibvs probabilibvs profecta et per gradvs qvi validi videntvr progrediens, ad contradictionem pervenit. Ex propositione de eo qvod validitas praestat, si gradvs revera validi svnt, aliqva hypothesis falsa est: paradoxon solvere est invenire qvae. Cavendvm est ne paradoxon cvm ambigvitate confvndatvr, qvae nihil est nisi mvltitvdo lectionvm, neve cvm eo qvod tantvm mirvm est.

Mendax

Paradoxon hvivs generis antiqvissimvm Evbvlidi Milesio tribvitvr, saecvlo qvarto ante aeram nostram. Forma sva accvrata non de mentiendo loqvitvr, qvod fallendi consilivm svpponit, sed de falsitate: sit $m$ sententia «sententia $m$ falsa est». Ad contradictionem obtinendam dvae hypotheses svfficivnt, qvas explicite scribere convenit.

Bivalentia (B): omnis propositio vera avt falsa est, nec vtrvmqve; falsam esse idem valet ac non veram esse.
Schema veritatis (T): sententia vera est si et solvm si qvod dicit ita se habet. Exempli gratia, «nix alba est» vera est si et solvm si nix alba est.

TheoremaParadoxon mendacis

Hypotheses bivalentiae et schematis veritatis, ad sententiam $m$ adhibitae, ad contradictionem dvcvnt: nvllo modo sententiae $m$ valor veritatis tribvi potest qvi eas servet. In figvra sententia $m$ se ipsam monstrat, et sagittae dvas possibilitates percvrrvnt.

Demonstratio

$\dato{B}{F(m) \Leftrightarrow \neg V(m)}$
Ex bivalentia, $m$ vera avt falsa est, nec vtrvmqve: falsam esse est non veram esse.
$\dato{T}{V(m) \Leftrightarrow \resaltar{F(m)}}$
Qvod $m$ dicit est $m$ falsam esse. Ex schemate veritatis, $m$ vera est tvm demvm cvm qvod dicit ita se habet.
$V(m) \Leftrightarrow \resaltar{\neg V(m)}$
Ambabvs aeqvivalentiis conexis, veritas sententiae $m$ negationi svae aeqvivalet.
$V(m) \Rightarrow \neg V(m), \quad \resaltar{\neg V(m)}$
Si $m$ vera esset, ex aeqvivalentia a sinistra ad dextram lecta vera non esset: svppositio se ipsam refvtat, et $m$ vera non est.
$\resaltar{V(m) \wedge \neg V(m)}$
Tvm vero, ex aeqvivalentia a dextra ad sinistram lecta, $m$ vera est: simvl habentvr affirmatio et negatio eivs.

Theorema non dicit logicam contradictoriam esse, sed dvas hypotheses simvl svstineri non posse pro lingva qvae sententiam $m$ continet. Tres igitvr exitvs svnt: bivalentiam deserere et sententias sine valore veritatis admittere; schema veritatis restringere; avt impedire ne lingva sententiam $m$ formet. Tertivs est Alfredi Tarski, anno 1933: praedicatvm «vera est» lingvae alicvivs non ad eam lingvam pertinet, sed ad metalingvam eivs. In tali lingva $m$ non est sententia bene formata, et paradoxon envntiari non potest.

Paradoxon Berrianvm

A Bertrando Rvssell anno 1906 editvm, qvi id Georgio Berry, bibliothecario Oxoniensi, tribvit, hoc paradoxon non verbo «vervm» vtitvr, sed verbo «definire». Dicitvr locvtio Latina nvmervm natvralem definire cvm evm ita describit vt sine ambigvitate agnosci possit: «minimvs nvmervs primvs maior qvam decem» definit $11$ . Consideremvs locvtionem «minimvs ex omnibvs nvmeris natvralibvs qvi definiri non possvnt pavcioribvs qvam viginti verbis», qvae legenda est provt scripta est, et appellemvs $b$ nvmervm qvem definire se profitetvr. Nvmeri natvrales in hoc cvrsv svnt $1, 2, 3, \ldots$

TheoremaParadoxon Berrianvm

Si vocabvlarivm Latinvm finitvm est et relatio «locvtio nvmervm definit» bene determinata est, ad contradictionem pervenitvr: nvmervs $b$ exstat, et simvl potest et non potest pavcioribvs qvam viginti verbis definiri. In figvra locvtiones breves ad nvmeros qvos definivnt mittvntvr, qvi pavci svnt; primvs nvmervs qvi liber manet est $b$ .

Demonstratio

$\dato{N}{N \leq k + k^2 + \cdots + k^{19}}$
Sit $k$ nvmervs verborvm lexici. Locvtiones vnivs verbi svnt svmmvm $k$ ; dvorvm, svmmvm $k^2$ ; et sic vsqve ad eas vndeviginti. Locvtiones pavciorvm qvam viginti verborvm svnt igitvr nvmero finito $N$ .
$\dato{D}{D = \{ d_1, \ldots, d_r \}, \quad r \leq N}$
Qvaeqve locvtio svmmvm vnvm nvmervm definit. Sit $D$ classis natvralivm qvos aliqva locvtio pavciorvm qvam viginti verborvm definit: svmmvm $N$ elementa habet.
$(\exists n \leq N + 1)\,(n \notin D), \quad \resaltar{b \notin D}$
Inter $N + 1$ nvmeros $1, 2, \ldots, N + 1$ aliqvis est qvi in $D$ non est. Eos ordine percvrrendo, primvs qvi in $D$ non est minimvs est natvralis qvi pavcioribvs qvam viginti verbis definiri non potest: omnes priores in $D$ svnt.
$13 < 20, \quad \resaltar{b \in D}$
Sed locvtio «minimvs ex omnibvs nvmeris natvralibvs qvi definiri non possvnt pavcioribvs qvam viginti verbis» tredecim verba habet, et ipsvm $b$ definit.
$\resaltar{b \in D \wedge b \notin D}$
Simvl habentvr affirmatio et negatio eivs.

Expositio vvlgaris, qvae tantvm animadvertit locvtionem pavciora qvam viginti verba habere, dimidiam partem argvmenti omittit: nvmervm $b$ exstare, qvod finitvdinem vocabvlarii et electionem primi nvmeri deficientis exigit. Hypothesis qvae deficit secvnda est: «definire» non est relatio accvrata lingvae Latinae, qvia locvtio qvae $b$ definit ipso verbo «definire» vtitvr, et sensvs eivs ex eo pendet qvae locvtiones pro definitionibvs habeantvr. In lingva formali $L$ definiri potest qvid significet «definibilis in $L$ », sed ea notio in metalingva tantvm exprimitvr; locvtio qvae $b$ definit ad $L$ non pertinet, et contradictio evanescit: $b$ in $L$ pavcis signis definibilis non est, qvamqvam in metalingva est.

Tonsor et classis Rvssellii

Paradoxon tonsoris sic fere narratvr: in vico est tonsor, vir vici, qvi omnes viros vici radit qvi se ipsi non radvnt, et eos solos. Raditne tonsor se ipsvm? Verba «et eos solos» necessaria svnt: tonsor qvi omnes raderet qvi se ipsi non radvnt, sine restrictione, etiam se ipsvm sine vlla contradictione radere posset. Paradoxon casvs particvlaris est lemmatis generalis, formae diagonalis, qvod semel demonstrare convenit.

LemmaLemma diagonale

Sit $D$ collectio obiectorvm et $R$ relatio inter ea, ita vt pro qvoqve pari $x$ , $y$ obiectorvm ex $D$ affirmatio $R(x, y)$ vera avt falsa sit. Tvm nvllvm exstat obiectvm $b$ ex $D$ tale vt pro omni $x$ ex $D$ valeat $R(b, x)$ si et solvm si non valet $R(x, x)$ . In figvra qvisqve ordo est obiectvm $x$ et qvaeqve colvmna obiectvm $y$ , et cellvla impletvr cvm $R(x, y)$ valet; ordo qvem pro $b$ qvaerimvs diagonalem invertere deberet, ideoqve ab vnoqvoqve ordine in cellvla eivs diagonali differt.

Demonstratio

$\dato{b}{(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)}$
Ponamvs tale $b$ in $D$ exstare.
$R(b, \resaltar{b}) \Leftrightarrow \neg R(\resaltar{b}, \resaltar{b})$
Condicio pro omni $x$ ex $D$ valet, et $b$ vnvm ex eis est: svmere possvmvs $x = b$ .
$R(b, b) \Rightarrow \resaltar{\neg R(b, b)}$
Si $R(b, b)$ valet, ex aeqvivalentia non valet: contradictio.
$\neg R(b, b) \Rightarrow \resaltar{R(b, b)}$
Si $R(b, b)$ non valet, ex aeqvivalentia valet: item contradictio.
$\neg (\exists b \in D)\,(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
Cvm altervter casvs evenire debeat, svppositio svstineri non potest: nvllvm tale $b$ exstat.

CorollarivmTonsor non exstat

In nvllo vico est vir vici qvi omnes viros vici radat qvi se ipsi non radvnt, et eos solos.

Demonstratio

$(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
Sit $D$ collectio virorvm vici et $R(x, y)$ relatio « $x$ radit $y$ ». Tonsor $b$ vir vici est, ita vt in $D$ sit; evm talem tonsorem esse qvalis descriptvs est significat evm qvemqve virvm vici radere tvm demvm cvm is vir se ipse non radit.
$\resaltar{\neg (\exists b \in D)}\,(\forall x \in D)\,\left( R(b, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)$
Ex lemmate diagonali nvllvs vir vici eam condicionem implet: tonsor descriptvs non exstat. Fabvla non est paradoxon, sed demonstratio protagonistam eivs fieri non posse.

Conclvsio tonsoris innocva est: nemo affirmaverat talem tonsorem exstare. Non idem accidit versioni eivs in theoria classivm. Anno 1902 Rvssell Gottlobo Frege scripsit systema eivs, qvod arithmeticam in logica fvndare volebat, seqvens principivm comprehensionis admittere: pro omni proprietate est classis cvivs elementa svnt exacte obiecta qvae eam habent. Ad proprietatem non pertinendi ad se ipsvm adhibitvm, principivm affirmat exstare classem

Z = \{ x : x \notin x \}

CorollarivmParadoxon Rvssellianvm

Principivm comprehensionis, sine restrictionibvs, contradictorivm est.

Demonstratio

$\dato{Z}{(\forall x \in D)\,\left( x \in Z \Leftrightarrow x \notin x \right)}$
Sit $D$ collectio omnivm classivm et $R(x, y)$ relatio « $y$ ad $x$ pertinet». Principivm comprehensionis, ad proprietatem $x \notin x$ adhibitvm, affirmat classem $Z$ exstare cvivs elementa svnt classes qvae ad se ipsas non pertinent.
$(\forall x \in D)\,\left( \resaltar{R(Z, x)} \Leftrightarrow \resaltar{\neg R(x, x)} \right)$
Relatione electa, condicio classis $Z$ exacte ea est lemmatis diagonalis, cvm $Z$ loco $b$ : $x \in Z$ est $R(Z, x)$ , et $x \notin x$ est $\neg R(x, x)$ .
$\resaltar{Z \in Z \Leftrightarrow Z \notin Z}$
Classis $Z$ classis est, ita vt in $D$ sit; ex lemmate diagonali talis $Z$ non exstat, et svmpto $x = Z$ aeqvivalentia impossibilis obtinetvr. At principivm affirmat eam exstare. Principivm igitvr contradictionem implicat.

Contra atqve in tonsore, hic exsistentia classis $Z$ non erat svppositio fabvlae, sed principivm theoriae. Paradoxon Rvssellianvm non solvitvr declarando $Z$ non exstare, sed theoriam reformando: theoria axiomatica classivm Zermelonis, anni 1908, proprietate tantvm svbclasses classis iam datae formare permittit, et ea restrictione contradictio non dedvcitvr.

Qvod non est paradoxon

Interdvm «paradoxon classis vacvae» appellata est animadversio classem vacvam exstare qvamqvam elementa non habet, qvasi obiectvm exsistens ex obiectis exsistentibvs constare deberet. Nvlla in eo contradictio est: classis non constat ex elementis svis vt mvrvs ex lateribvs svis, sed ab eis determinatvr, et collectio elementorvm classis potest nvllvm habere, sicvt arca vacva arca manet. Qvod res mira est eam paradoxam non facit; paradoxon contradictionem dedvcendam exigit, et hic nvlla dedvcitvr.

Qvomodo lingva formalis ea tractet

Ex iis qvae dicta svnt seqvitvr lingvam formalem paradoxa non arte magica vitare, sed dvobvs modis certis. Primvs est qvod ei deesse possvnt instrvmenta qvae ea gignvnt. Lingva logicae propositionalis, qvam hic cvrsvs constrvit, neqve sententias habet qvae ad se ipsas referantvr neqve praedicatvm veritatis: in ea sententia mendacis scribi non potest, et semantica eivs cviqve formvlae, in qvaqve attribvtione valorvm variabilibvs, vnicvm valorem veritatis tribvit. Secvndvs est qvod in lingvis ditioribvs paradoxon in theorema convertitvr: ratiocinatio mendacis, cvm rigore facta, demonstrat veritatem lingvae satis expressivae in eadem lingva definibilem non esse (Tarski); ea tonsoris et Rvssellii demonstrat qvasdam collectiones classes non esse; et argvmenta Berriano cognata in corde svnt theorematvm de incompletvdine Kvrti Gödel, anni 1931. Ita qvod in lingva natvrali perplexitas est, in lingva formali informatio est.

Qvattvor colvmnae logicae mathematicae

Logica mathematica exevnte saecvlo vndevicesimo et inevnte vicesimo nata est, cvm Frege, Peano, Rvssell et David Hilbert, vt responsvm qvaestioni certae: qvibvs fvndamentis mathematica nitatvr et vtrvm ea fvndamenta a contradictione libera sint. Hodie in qvattvor magnos ramos dividitvr, qvi inter se assidve implicantvr.

Theoria demonstrationis: demonstrationes formales vt obiecta mathematica investigat, id est vt series finitas formvlarvm qvae regvlas explicitas seqvvntvr; qvaerit qvid in systemate demonstrari possit, vtrvm systema consistens sit et qvomodo demonstrationes aliae in alias transformentvr. Vnitas de dedvctione hvivs cvrsvs primvs cvm ea contactvs est.
Theoria exemplarivm: relationem investigat inter lingvam formalem et strvctvras qvae eam interpretantvr, exemplaria eivs; qvaerit qvae strvctvrae classi formvlarvm satisfaciant et qvae proprietates strvctvrarvm in lingva data exprimi possint. Vnitas de semantica, cvm attribvtionibvs valorvm veritatis, eivs forma elementarissima est.
Theoria classivm: classes axiomatibvs accvratis investigat, vt ea Zermelonis et Fraenkelii, in qva tota fere mathematica scribi potest; nata est magna ex parte ex necessitate paradoxi Rvsselliani vitandi.
Theoria compvtabilitatis: investigat qvae problemata ratione mechanica solvi possint et qvae non. Logica propositionalis decidibilis est, vt cvrsvs ostendet: exstat ratio qvae nvmero finito gradvvm decernit vtrvm formvla valida sit; logica praedicatorvm contra non est.

Nvlla colvmna penitvs investigatvr qvin ceterae tangantvr: completvdo, effectvm praecipvvm hvivs cvrsvs, simvl theorema est theoriae demonstrationis et theoriae exemplarivm, et decidibilitas qvae ex ea obtinetvr ad compvtabilitatem pertinet.

Tabvla cvrsvs

Cvrsvs pro simplicissima logicae lingva, propositionali, totvm iter theoriae logicae percvrrit, qvattvor vnitatibvs.

Lingva: syntaxis. Lingva obiecti constrvitvr cvm alphabeto dvorvm signorvm et regvla formationis, demonstratvr qvamqve formvlam vno tantvm modo legi, discitvr per indvctionem demonstrare, et envntiata argvmentationesqve lingvae natvralis in lingvam formalem vertvntvr, notando qvid versio servet et qvid amittat.
Dedvctio: systema axiomatvm et regvlarvm inferendi figitvr, et definitvr qvid significet formvlam $\varphi$ ex classe formvlarvm $\Gamma$ dedvci, qvod scribitvr $\Gamma \vdash \varphi$ . Est facies syntactica validitatis: signa secvndvm regvlas tractare, significatione eorvm neglecta.
Semantica: cviqve formvlae valor veritatis in qvaqve attribvtione tribvitvr, et definitvr qvid significet $\varphi$ ex $\Gamma$ conseqvi, qvod scribitvr $\Gamma \models \varphi$ : omnis attribvtio qvae formvlas classis $\Gamma$ veras reddit $\varphi$ veram reddit. Est facies semantica validitatis, definitio hvivs lectionis accvrata facta.
Metatheoria: demonstratvr ambas facies congrvere. Firmitas dicit omne dedvcibile conseqventiam esse, et completvdo omnem conseqventiam dedvcibilem esse. Postea investigantvr compactitas et methodvs mechanica, resolvtio, ad decernendvm vtrvm classi formvlarvm satisfieri possit.

Qvod si ita est, cvrsvs primvm exemplvm perfectvm est theoriae mathematicae cvivs obiectvm est ipsa ratiocinatio; et omnes eivs affirmationes de lingva formali ervnt, vt in hac lectione visvm est, sententiae metalingvae rigore mathematicae demonstratae.

Problemata solvta

Problemata seqventia, difficvltate crescente, distinctiones lectionis exercent: argvmentationem refvtare cvivs sententiae omnes verae svnt, lectiones envntiati ambigvi separare, expressiones lingvae obiecti et metalingvae digerere, et dvas ratiocinationes specie paradoxas excvtere vt decernatvr vtrvm paradoxa sint.

Problema solvtvm 1Omnia vera, et tamen invalida

Ostendere argvmentationem seqventem invalidam esse, qvamqvam praemissae et conclvsio eivs verae svnt: «omnis mvltiplex nvmeri $6$ par est; nvmervs $12$ par est; ergo $12$ mvltiplex est nvmeri $6$ ».

Solvtio

$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(12), \quad S(12)$
Abbreviamvs « $x$ mvltiplex est nvmeri $6$ » per $S(x)$ et « $x$ par est» per $P(x)$ . Praemissae et conclvsio verae svnt, qvia $12 = 6 \cdot 2$ .
$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(\resaltar{c}), \quad S(\resaltar{c})$
Forma obtinetvr nomine $12$ littera $c$ svbstitvto: dvae praemissae et conclvsio.
$(\forall x)\,(S(x) \Rightarrow P(x)), \quad P(\resaltar{4})$
Qvaerimvs instantiam cvm praemissis veris: prima a $c$ non pendet, secvnda nvmervm parem postvlat. Svmimvs $c = 4$ .
$\neg S(\resaltar{4})$
Conclvsio hvivs instantiae falsa est, qvia $4$ mvltiplex nvmeri $6$ non est.
$\resaltar{12 = 6 \cdot 2}$
Forma exemplvm contrarivm habet: invalida est, et argvmentatio qvoqve. Veritas conclvsionis eivs ex arithmetica procedit, non ex praemissis.

Problema solvtvm 2Ambigvitas ambitvs

Sit $L$ elenchvs nvmerorvm $4$ , $6$ , $7$ . Ostendere sententiam «omnes nvmeri elenchi $L$ non svnt primi» dvas lectiones habere, et hoc elencho alteram veram, alteram falsam esse.

Solvtio

$\dato{a}{\neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \neg Q(7)}$
Abbreviamvs « $x$ primvs est» per $Q(x)$ . Prima lectio: negatio ad qvemqve nvmervm pertinet, et sententia dicit nvllvm primvm esse.
$\dato{n}{\neg\left( Q(4) \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)}$
Secvnda lectio: negatio ad totam affirmationem pertinet, et sententia dicit non omnes primos esse.
$Q(7), \quad \neg\left( \neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \resaltar{\neg Q(7)} \right)$
Cvm $7$ primvs sit, vltimvs terminvs primae lectionis falsvs est, et cvm eo tota conivnctio: prima lectio falsa est.
$\neg Q(4), \quad \neg\left( \resaltar{Q(4)} \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)$
Cvm $4$ primvs non sit, conivnctio secvndae lectionis falsa est, et negatio eivs vera: secvnda lectio vera est.
$\resaltar{\neg Q(4) \wedge \neg Q(6) \wedge \neg Q(7)} \Rightarrow \neg\left( Q(4) \wedge Q(6) \wedge Q(7) \right)$
Dvae lectiones non aeqvivalent: prima secvndam implicat, sed non contra, et hic elenchvs id ostendit. In mathematica secvnda scribitvr «non omnes nvmeri elenchi $L$ primi svnt», prima avtem «nvllvs nvmervs elenchi $L$ primvs est».

Problema solvtvm 3Lingva obiecti et metalingva

Svmamvs vt lingvam obiecti series signorvm $\sigO$ et $\sigI$ , et vt metalingvam Latinam, cvm litteris Graecis qvae series qvaslibet designant. Vnamqvamqve expressionvm seqventivm digerere et, vbi opvs est, decernere vtrvm vera sit: (a) $\sigO\sigO\sigI$ ; (b) « $\sigO\sigO\sigI$ tria signa habet»; (c) «pro omni serie $\varphi$ , series $\sigI\varphi$ a disco incipit»; (d) « $\sigO\sigO\sigI$ vera est».

Solvtio

$\resaltar{\sigO\sigO\sigI}$
Expressio (a) ad lingvam obiecti pertinet: series signorvm est, non sententia Latina, neqve vera neqve falsa est; de ea loqvimvr, sed ipsa nihil affirmat.
$\sigO \; \sigO \; \sigI \quad (3)$
Expressio (b) sententia metalingvae est qvae seriem (a) memorat et signa eivs nvmerat: vera est.
$\resaltar{\sigI}\varphi$
Expressio (c) sententia metalingvae est. Littera $\varphi$ non est signvm lingvae obiecti, sed variabilis metalingvae qvae series eivs percvrrit; sententia vera est, qvia $\sigI\varphi$ ex constrvctione a disco incipit.
$v_2 = \sigO\sigO\sigI$
Expressio (d) ad metalingvam pertinet, sed nondvm valorem veritatis habet: series $\sigO\sigO\sigI$ variabilis erit lingvae cvrsvs, et variabilis neqve vera neqve falsa per se est, sed tantvm cvm attribvtio, in vnitate de semantica, ei valorem dat. In lectione seqventi appellabitvr $v_2$ .

Problema solvtvm 4Epimenides non est mendax

In tabvla nigra scripta est sententia $e$ , fortasse cvm aliis: «omnis sententia in hac tabvla scripta falsa est». Bivalentia et schemate veritatis admissis, demonstrare $e$ falsam esse et in tabvla aliam sententiam veram esse; et dedvcere paradoxon esse si et solvm si nvlla alia sententia tabvlae vera est, vt accidit si $e$ vnica est.

Solvtio

$\dato{T}{V(e) \Leftrightarrow (\forall x \in O)\,F(x)}$
Sit $O$ classis sententiarvm tabvlae; $e$ vna ex eis est. Ex schemate veritatis, $e$ vera est si et solvm si omnes sententiae classis $O$ falsae svnt.
$V(e) \Rightarrow \resaltar{F(e)} \Rightarrow \neg V(e)$
Si $e$ vera esset, omnes sententiae classis $O$ falsae essent, et $e$ in $O$ est: $e$ falsa esset, et ex bivalentia vera non esset. Svppositio se ipsam refvtat.
$\resaltar{F(e)}$
Ergo $e$ vera non est; ex bivalentia falsa est.
$(\exists x \in O)\,\left( x \neq e \wedge V(x) \right)$
Ex schemate veritatis, $e$ falsam esse significat non omnes sententias classis $O$ falsas esse: aliqva vera est, nec est $e$ , qvae falsa est.
$\neg (\exists x \in O)\,\left( x \neq e \wedge V(x) \right) \Rightarrow \resaltar{V(e) \wedge \neg V(e)}$
Si in tabvla alia sententia vera est, omnia cohaerent: $e$ simpliciter falsa est. Si contra nvlla alia vera est, nvllvm $x$ ab $e$ diversvm in $O$ vervm est, et contradictio obtinetvr, vt in mendace; qvod praesertim accidit cvm $e$ vnica sententia tabvlae est. Vtrvm paradoxon appareat pendet igitvr ex re empirica: ex eo qvod in tabvla scriptvm est.

Problema solvtvm 5Heterologicvm

Adiectivvm avtologicvm est si sibi ipsi convenit («polysyllabvm» polysyllabvm est; «Latinvm» verbvm Latinvm est) et heterologicvm si non («monosyllabvm» monosyllabvm non est; «Graecvm» verbvm Graecvm non est). Demonstrare, si «heterologicvm» adiectivvm est et relatio «convenire» pro omnibvs adiectivis bene determinata est, ad contradictionem perveniri; et decernere qvae hypothesis deserenda sit.

Solvtio

$\dato{R}{R(x, x)}$
Sit $D$ collectio adiectivorvm Latinorvm et $R(x, y)$ relatio «adiectivvm $x$ verbo $y$ convenit». Adiectivvm $x$ avtologicvm est si $R(x, x)$ et heterologicvm si $\neg R(x, x)$ .
$\dato{h}{(\forall x \in D)\,\left( R(h, x) \Leftrightarrow \neg R(x, x) \right)}$
Sit $h$ adiectivvm «heterologicvm». Ex definitione sva adiectivo convenit tvm demvm cvm id adiectivvm sibi ipsi non convenit.
$R(\resaltar{h}, \resaltar{h}) \Leftrightarrow \neg R(\resaltar{h}, \resaltar{h})$
Si $h$ adiectivvm est, in $D$ est, et condicio eivs ea est lemmatis diagonalis. Svmpto $x = h$ , aeqvivalentia impossibilis obtinetvr.
$h \in D \Rightarrow \resaltar{h \notin D}$
Ex lemmate diagonali nvllvm obiectvm ex $D$ condicionem adiectivi $h$ implet. Si $h$ in $D$ est, contradictio est.
$\resaltar{h \notin D}$
Hypothesis qvae deficit secvnda est: «convenire» non est relatio accvrata pro adiectivis qvae, vt «heterologicvm», ipsa eadem relatione definivntvr. In lingva formali relatio $R$ in metalingva definiretvr, et adiectivvm $h$ ad lingvam obiecti non pertineret, ita vt condicio $h \in D$ falsa esset neqve contradictio esset.

Problemata proposita

Dvo prima problemata validitatem et ambigvitatem exercent; tertivm, vsvm et mentionem; dvo vltima postvlant vt novvm paradoxon excvtiatvr et lemma diagonale extra lingvisticam adhibeatvr. Qvodqve indicivm habet, qvod aperire convenit non nisi postqvam problema temptatvm est.

Problema propositvm 1Dvae formae similes

Considerentvr dvae formae seqventes: (a) «si $p$ , tvm $q$ ; non $q$ ; ergo non $p$ »; (b) «si $p$ , tvm $q$ ; non $p$ ; ergo non $q$ ». Decernere vtra valida sit et vtra non; pro invalida exemplvm contrarivm constrvere envntiatis de nvmeris, et pro valida explicare cvr nvlla instantia exemplvm contrarivm esse possit.

Indicivm

Pro forma (b) qvaere implicationem veram inter proprietates nvmerorvm, vt «si $n$ mvltiplex est nvmeri $4$ , par est», et nvmervm qvi primam proprietatem non habeat, secvndam habeat. Pro forma (a) pone praemissas veras esse et te ipsvm interroga qvid accideret si $p$ vera esset.

Responsvm

Forma (a), modvs tollens appellata, valida est: si praemissae verae svnt et $p$ vera esset, etiam $q$ vera esset, contra secvndam praemissam. Forma (b), negatio antecedentis, invalida est: «si $6$ mvltiplex est nvmeri $4$ , $6$ par est; $6$ mvltiplex non est nvmeri $4$ ; ergo $6$ par non est» praemissas veras et conclvsionem falsam habet.

Problema propositvm 2Syngrapha, docvmentvm et visvm

Edictvm dicit: «ad intrandvm opvs est syngrapha vel docvmento nationali et viso». Dvas eivs lectiones scribere litteris $p$ (syngrapha), $d$ (docvmentvm nationale) et $v$ (visvm), et hominem describere qvem altera lectio intrare sinit, altera non.

Indicivm

Dvbivm est vtrvm visvm docvmentvm nationale tantvm comitetvr an vtrvmvis docvmentorvm. Tempta cvm homine qvi vnicvm docvmentvm habet.

Responsvm

Lectiones svnt $p \vee (d \wedge v)$ et $(p \vee d) \wedge v$ . Homo cvm syngrapha et sine viso ex prima intrare potest, ex altera non.

Problema propositvm 3Signa citationis

Decernere vtrvm qvaeqve sententia de vrbe an de verbo loqvatvr, et vtrvm vera an falsa sit: (a) «Roma qvattvor litteras habet»; (b) «“Roma” qvattvor litteras habet»; (c) «“Roma” capvt Italiae est»; (d) «sententia “Roma capvt Italiae est” verbvm “Roma” continet».

Indicivm

Signa citationis expressionem in nomen eivs expressionis convertvnt. Te ipsvm interroga, in qvoqve casv, qvod obiectvm svbiectvm sententiae designet: vrbem, verbvm an sententiam.

Responsvm

(a) De vrbe loqvitvr et falsa est, qvia vrbs litteras non habet. (b) De verbo loqvitvr et vera est. (c) De verbo loqvitvr et falsa est, qvia verbvm capvt non est. (d) De sententia et de verbo loqvitvr, et vera est.

Problema propositvm 4Dvo latera chartvlae

In altero latere chartvlae scripta est sententia $A$ : «sententia $B$ vera est»; in altero, sententia $B$ : «sententia $A$ falsa est». Bivalentia et schemate veritatis admissis, demonstrare nvllo modo valores veritatis sententiis $A$ et $B$ tribvi posse. Qvid accidit si $B$ contra dicit «sententia $A$ vera est»?

Indicivm

Scribe schema veritatis pro qvaqve sententia, et aeqvivalentias conecte donec vnam obtineas qvae $V(A)$ cvm se ipsa conivngat. In varietate idem fac et comproba qvae attribvtiones ei satisfaciant.

Responsvm

In prima versione obtinetvr $V(A) \Leftrightarrow \neg V(A)$ , vt in mendace, qvamqvam nvlla sententia de se ipsa loqvitvr. In varietate $V(A) \Leftrightarrow V(B)$ dvas attribvtiones admittit, ambas veras avt ambas falsas: contradictio non est, sed nihil inter eas decernit.

Solvtio explicata

Solvtio

$\dato{A}{V(A) \Leftrightarrow V(B)}$
Ex schemate veritatis, $A$ vera est tvm demvm cvm $B$ vera est.
$\dato{B}{V(B) \Leftrightarrow F(A) \Leftrightarrow \neg V(A)}$
Ex schemate veritatis, $B$ vera est tvm demvm cvm $A$ falsa est; ex bivalentia, falsam esse est non veram esse.
$V(A) \Leftrightarrow \resaltar{\neg V(A)}$
Ambabvs aeqvivalentiis conexis, veritas sententiae $A$ negationi svae aeqvivalet, et ratiocinamvr vt in mendace: si $A$ vera est, vera non est, et si vera non est, vera est.
$V(A) \Leftrightarrow V(B) \Leftrightarrow V(A)$
In varietate schema veritatis pro $B$ dat $V(B) \Leftrightarrow V(A)$ , qvae cvm prima aeqvivalentia tantvm exigit vt ambae evndem valorem habeant: dvae attribvtiones cohaerentes svnt et nvlla contradictio.

Problema propositvm 5Diagonalis Cantoris

Sit $s_1, s_2, s_3, \ldots$ elenchvs qvilibet seriervm infinitarvm ex zeris et vnitatibvs constantivm, et scribamvs $s_x(y)$ pro termino loco $y$ posito seriei $s_x$ . Demonstrare, lemmate diagonali adhibito, seriem $d$ definitam per $d(y) = 1$ cvm $s_y(y) = 0$ , et $d(y) = 0$ cvm $s_y(y) = 1$ , in elencho non inveniri. Dedvcere nvllvm elenchvm nvmeratvm omnes series ex zeris et vnitatibvs continere.

Indicivm

Svme vt collectionem $D$ nvmeros natvrales et vt relationem $R(x, y)$ affirmationem $s_x(y) = 1$ . Qvam condicionem impleret nvmervs $b$ talis vt $s_b = d$ ?

Responsvm

Si esset $d = s_b$ , nvmervs $b$ impleret $R(b, y) \Leftrightarrow \neg R(y, y)$ pro omni $y$ , qvod lemma diagonale vetat. Ergo $d$ ab vnaqvaqve $s_b$ saltem in termino loco $b$ posito differt, et nvllvs elenchvs omnes series continet.

Solvtio explicata

Solvtio

$\dato{R}{R(x, y) \Leftrightarrow s_x(y) = 1}$
Sit $D$ classis nvmerorvm natvralivm et $R(x, y)$ affirmatio terminvm loco $y$ positvm seriei $s_x$ valere $1$ .
$\dato{d}{d(y) = 1 \Leftrightarrow \neg\left( s_y(y) = 1 \right)}$
Ex definitione sva, $d(y)$ valet $1$ tvm demvm cvm $s_y(y)$ non valet $1$ .
$(\forall y \in D)\,\left( R(\resaltar{b}, y) \Leftrightarrow \neg R(y, y) \right)$
Ponamvs $d$ in elencho loco $b$ inveniri, id est $d = s_b$ . Tvm pro omni $y$ affirmatio $R(b, y)$ aeqvivalet affirmationi $d(y) = 1$ , qvae aeqvivalet formvlae $\neg R(y, y)$ .
$d(b) \neq s_b(b)$
Ex lemmate diagonali nvllvm $b$ eam condicionem implet: series $d$ in elencho non invenitvr. Nominatim a $s_b$ in termino loco $b$ posito differt.
$(\forall b \in \mathbb{N})\,(d \neq s_b)$
Cvm elenchvs qvilibet esset, nvllvs elenchvs nvmeratvs omnes series ex zeris et vnitatibvs continet: cviqve elencho deest saltem series sva diagonalis.