Plano de estudos de Lógica Matemática I

Propósito

Todos os cursos de matemática exigem demonstrar, e todos os de filosofia exigem argumentar; ora, nenhum deles faz do próprio raciocínio o seu objeto, e todos dão por entendido o que significa que uma conclusão se siga de umas premissas. Este curso toma essa pergunta como o seu assunto. O seu propósito é construir, para a linguagem mais simples da lógica, a primeira teoria matemática completa cujo objeto é o raciocínio, com as suas quatro peças à vista: uma linguagem, cujas fórmulas se reconhecem e se leem sem ambiguidade; um cálculo, que produz deduções sem atender ao significado dos símbolos; um significado, que atribui a cada fórmula o seu valor de verdade sob cada valoração das suas variáveis; e a demonstração de que o cálculo e o significado coincidem.

Se isto é assim, o curso não é uma coleção de regras para manipular símbolos, mas uma teoria com um resultado central, o teorema da completude, que tudo o que vem antes prepara. Para um conjunto de fórmulas $\Gamma$ e uma fórmula $\varphi$, a dedutibilidade $\Gamma \vdash \varphi$ diz que existe uma sequência finita de fórmulas, construída com axiomas e regras, que termina em $\varphi$; a consequência semântica $\Gamma \models \varphi$ diz que toda valoração que torna verdadeiras as fórmulas de $\Gamma$ torna verdadeira $\varphi$. Ambas as relações nascem de ideias opostas, uma sintática e existencial, a outra semântica e universal; o curso demonstra, no entanto, que $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$. Daí se segue que cada pergunta sobre o que se segue de umas premissas pode ser respondida pelo lado que for mais fácil: exibindo uma dedução, percorrendo uma tabela ou, como ensina a última aula de conteúdo, refutando por resolução.

Público e conhecimentos prévios

O curso dirige-se a quem começa estudos de matemática, de informática ou de filosofia, e a quem, em qualquer etapa da sua formação, queira saber com exatidão o que é uma demonstração e por que se pode confiar nela: estudantes que se iniciam na matemática universitária e tropeçam nas demonstrações, estudantes de informática que precisam da lógica dos circuitos, dos programas e dos problemas de satisfatibilidade, e estudantes de filosofia que querem passar da lógica dos argumentos à sua teoria.

É um curso de nível 1, sem pré-requisitos e autocontido. Não pressupõe ter estudado lógica, nem conhecer a teoria dos conjuntos, nem ter demonstrado alguma vez um teorema. O que usa dos conjuntos (pertinência, inclusão, união, conjuntos de fórmulas), das funções (uma valoração é uma função das variáveis em $\{0, 1\}$), das cadeias de símbolos e da indução, ensina-o no lugar em que precisa dele: os conjuntos e as cadeias, na aula da unidade 1 sobre a linguagem, e a indução, na aula seguinte, antes de usá-la. Pressupõe apenas duas coisas: ler com atenção, porque numa linguagem formal um símbolo acrescentado ou omitido muda a cadeia, e a aritmética elementar dos números naturais, que neste curso, como no resto do site, começam em $1$.

Aonde conduz

Do anterior se segue o lugar do curso no site. Não tem pré-requisitos e é meta de três programas de estudo, Matemática, Informática e Filosofia, porque nos três o raciocínio é ao mesmo tempo instrumento e objeto. Tem três cursos complementares, que podem ser seguidos antes, em paralelo ou depois, em qualquer ordem. Lógica Aristotélica estuda a lógica dos termos e o silogismo, cuja validade depende de palavras como “todo” e “algum”, que este curso deixa de fora, e mostra a partir de que tradição se chegou ao cálculo. Álgebra e Geometria I ergue um edifício dedutivo a partir dos axiomas de Peano, e põe em prática, sobre os números, o método axiomático e a indução que este curso estuda como objeto; o seu plano recomenda ter estudado antes este curso, ou estudá-lo em paralelo. Programação em C++ I, por último, leva à prática o que aqui é teoria: decidir se uma cadeia está bem formada, percorrer uma tabela-verdade, calcular uma forma normal ou buscar uma refutação são procedimentos que podem ser escritos como programas.

Ora, o curso deixa aberta uma pergunta de expressão: a sua linguagem não pode dizer “todo” nem “algum”, e a formalização dos argumentos do português perde, desde a unidade 1, os quantificadores. Portanto, a sua continuação prevista é a Lógica Matemática II, dedicada à lógica de predicados, que percorrerá o mesmo caminho com quantificadores e variáveis que percorrem objetos: conservará a correção, a completude e a compacidade, com métodos que este curso antecipa, mas nela a consequência deixará de ser decidível.

Objetivos de aprendizagem globais

Os objetivos seguintes descrevem o que quem completar o curso deve ser capaz de fazer. Cada um é formulado como um desempenho observável, de modo que possa ser verificado com uma tarefa concreta; cada aula de conteúdo declara, por sua vez, os seus próprios objetivos, que servem a um ou a vários dos globais, e a aula de encerramento mostra em que unidades e aulas se trabalha cada um. Os sete objetivos são numerados para que possam ser citados.

1. Objetivo 1. Distinguir a linguagem-objeto da metalinguagem, e decidir com as regras de formação se uma cadeia é uma fórmula.
2. Objetivo 2. Formalizar enunciados e argumentos da linguagem natural, indicando o que a formalização conserva e o que perde.
3. Objetivo 3. Construir deduções no sistema do curso (os axiomas de Łukasiewicz, o modus ponens e a substituição da dupla negação), combinando axiomas, regras primitivas e regras derivadas.
4. Objetivo 4. Demonstrar metateoremas por indução sobre os números naturais, sobre a complexidade das fórmulas e sobre o comprimento das deduções.
5. Objetivo 5. Decidir validade, satisfatibilidade, consequência e equivalência semânticas, com tabelas-verdade e com equivalências.
6. Objetivo 6. Transformar fórmulas em formas normais e exprimir com elas funções de verdade e circuitos.
7. Objetivo 7. Explicar e aplicar a correção, a completude e a compacidade, e decidir a insatisfatibilidade por resolução.

Os objetivos 3 e 7 têm cada um a sua unidade, a dedução e a metateoria; os objetivos 5 e 6 repartem entre si a unidade de semântica, o primeiro na sua primeira metade, o segundo na segunda. O objetivo 2 tem uma aula própria, a da formalização, e exercita-se depois cada vez que um problema é proposto em palavras. Os objetivos 1 e 4, em contrapartida, são transversais: a distinção entre o que se diz dentro da linguagem e o que se diz sobre ela percorre as quatro unidades, e a indução é a forma de todas as demonstrações importantes do curso, desde a leitura única das fórmulas até a correção do sistema e o lema de Kalmár. Daí se segue que o seu êxito não pode ser atribuído a uma só aula, e que convém cultivá-los ao longo do curso inteiro.

O sistema do curso e as suas decisões

Um curso de lógica proposicional pode ser construído de muitas maneiras, e os textos habituais diferem na linguagem, nos conectivos primitivos e no sistema dedutivo. Este curso toma três decisões que convém conhecer desde o início, porque explicam o que, à primeira vista, pode parecer estranho.

Uma língua de círculos e discos

A linguagem do curso tem um alfabeto de apenas dois símbolos, o círculo $\sigO$ e o disco $\sigI$. A $n$-ésima variável é a cadeia de $n$ círculos seguidos de um disco, $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$, de modo que $v_{1} = \sigO\sigI$ e $v_{2} = \sigO\sigO\sigI$; e há uma só regra de formação: se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas, também o é $\sigI\varphi\psi$, que se abrevia $(\varphi \downarrow \psi)$ e se lê “nem $\varphi$ nem $\psi$”. A negação conjunta $\downarrow$ é, portanto, o único conectivo primitivo, e todos os demais são abreviaturas definidas uma só vez: $\neg\varphi$ é $(\varphi \downarrow \varphi)$, a disjunção $(\varphi \vee \psi)$ é $\neg(\varphi \downarrow \psi)$, e a partir delas definem-se a conjunção, a implicação, o bicondicional e a disjunção exclusiva. Qualquer outra forma de escrevê-las é um teorema, que se demonstra, e não uma definição.

A escolha tem um preço, a legibilidade, que o curso paga na metalinguagem: ninguém escreve no dia a dia cadeias de círculos e discos, mas os seus nomes abreviados, desdobráveis a qualquer momento até a cadeia que designam. Ora, ela rende muitas vezes. Dois símbolos bastam para infinitas variáveis, de modo que toda fórmula é uma cadeia finita sobre um alfabeto de dois elementos. O conectivo escreve-se diante dos seus argumentos, e por isso não são necessários parênteses: a leitura única demonstra-se com um argumento de peso, que atribui $+1$ a cada variável e $-1$ a cada disco conectivo. E como toda fórmula composta é uma negação conjunta, cada demonstração por indução sobre a complexidade tem um só caso composto, o que abrevia todas as das unidades seguintes. Que um só conectivo baste para exprimir qualquer outro não se supõe: a unidade de semântica demonstra-o.

Uma segunda regra primitiva

O sistema dedutivo parte do de Jan Łukasiewicz: três esquemas de axiomas, escritos com a negação e a implicação, e o modus ponens como regra única. Esses esquemas foram formulados para linguagens cujos conectivos primitivos são a negação e a implicação; na língua de círculos e discos, uma fórmula como $(v_{1} \downarrow v_{2})$ não é nem uma coisa nem outra, e para os axiomas é opaca. A primeira aula da unidade de dedução demonstra, com uma marca que todos os axiomas têm, que o modus ponens conserva e que a fórmula não tem, que o sistema de Łukasiewicz não deduz $((v_{1} \downarrow v_{2}) \rightarrow \neg v_{1})$.

Se isto é assim, o sistema deve ser completado, e o remédio natural parece ser demonstrar a dupla negação, $\varphi \dashv\vdash \neg\neg\varphi$, que a segunda aula deduz dos três esquemas. A marca mostra que isso não basta: os teoremas da dupla negação conservam-na e, no entanto, nem mesmo com eles se troca $v_{1}$ por $\neg\neg v_{1}$ dentro de uma negação conjunta. Portanto, depois de demonstrar a dupla negação, a segunda aula acrescenta uma segunda regra primitiva, a substituição da dupla negação: de uma fórmula $\chi$ infere-se a que resulta de substituir nela uma ocorrência de uma subfórmula $\theta$ por $\neg\neg\theta$, ou uma de $\neg\neg\theta$ por $\theta$. O sistema do curso consta, então, dos três esquemas de Łukasiewicz, do modus ponens e desta regra.

Outros sistemas para a negação conjunta obtêm o mesmo com esquemas de axiomas feitos sob medida. O curso prefere uma regra por duas razões: é ainda mais simples que o modus ponens, porque toma uma só linha e muda uma só ocorrência, e não tem nada de artificioso, porque exprime o que a dupla negação já diz, que $\theta$ e $\neg\neg\theta$ são intercambiáveis, estendido a todo lugar de uma fórmula. É, além disso, correta, porque conserva o valor de verdade de cada linha, e conserva o teorema da dedução, com um caso a mais na sua demonstração. Que com ela baste para deduzir tudo o que deve ser deduzido é o teorema da completude da última unidade.

A compacidade antes da completude forte

A completude admite três graus: a fraca diz que toda tautologia é um teorema; a finita, que toda consequência de um conjunto finito de premissas se deduz dele; a forte, que o mesmo vale para um conjunto qualquer, também infinito. O método do curso, o lema de Kalmár, trabalha com as variáveis, em número finito, de uma fórmula e com premissas finitas, e por isso alcança os dois primeiros graus e não o terceiro. Para chegar a ele basta que, se $\Gamma \models \varphi$, alguma parte finita $\Gamma_{0}$ de $\Gamma$ já cumpra $\Gamma_{0} \models \varphi$; ora, isso é precisamente o que afirma o teorema da compacidade.

Muitos textos demonstram primeiro a completude forte por outro método e deduzem dela a compacidade. Neste curso, em contrapartida, a completude forte é o que se busca, e obter a compacidade a partir dela seria circular. Donde a ordem se inverte: a aula sobre a compacidade demonstra-a dentro da semântica, sem mencionar dedução alguma, fixando um a um os valores de $v_{1}, v_{2}, \ldots$, e só depois, em três linhas, obtém a completude forte, isto é, $\Gamma \models \varphi \Rightarrow \Gamma \vdash \varphi$ para todo conjunto $\Gamma$.

Conteúdos

O curso organiza-se em seis unidades: esta apresentação, quatro unidades de conteúdo e um encerramento. Cada unidade de conteúdo abre-se com uma aula de introdução, que apresenta as suas aulas, o seu lugar no curso, o que dá por sabido e o problema que resolve, e começa com uma avaliação de entrada; fecha-se com uma aula de síntese, que reconstrói a cadeia dedutiva da unidade, liga-a ao resto do curso, repete numa avaliação de saída as destrezas da de entrada e propõe seis desafios de dificuldade superior à dos problemas das aulas.

Unidade 0. Apresentação do curso

Consta desta aula, que fixa o propósito, os objetivos globais, as decisões, os conteúdos, a dedicação e o desenho do curso.

Unidade 1. Linguagem

O seu objetivo é construir a linguagem que o curso estuda, demonstrar que cada fórmula se lê de uma só maneira e ligá-la aos argumentos do português.

1. Linguagem: introdução.
2. O que é a lógica matemática: a validade diante da verdade, o contraexemplo, os paradoxos e a distinção entre linguagem-objeto e metalinguagem.
3. A linguagem da lógica proposicional: conjuntos e cadeias, a língua de círculos e discos, a sua regra de formação e as suas abreviaturas.
4. Indução sobre os números naturais e sobre as fórmulas: indução simples, forte e estrutural, o lema do peso, a leitura única e as definições por recursão.
5. Formalização da linguagem natural: o dicionário, a tradução de enunciados e argumentos, e o que o condicional material perde.
6. Linguagem: síntese e desafios.

Unidade 2. Dedução

O seu objetivo é dar à linguagem um cálculo, o sistema do curso, e derivar nele, uma só vez cada uma, as formas de raciocinar que a matemática usa sem nomeá-las.

1. Dedução: introdução.
2. Sistemas dedutivos formais: o sistema de Łukasiewicz, a dedução com premissas, o teorema da dedução e a marca que mostra o seu limite.
3. Quatro técnicas de dedução: o silogismo hipotético, o intercâmbio de premissas, a dupla negação, a contraposição e a substituição da dupla negação.
4. As simetrias dos conectivos: o lema fundamental da negação conjunta, a substituição de equivalentes, as formas equivalentes da disjunção e da conjunção e as suas cinco simetrias.
5. As técnicas da lógica clássica: as regras de cada conectivo, o terceiro excluído, a prova por casos e a redução ao absurdo, com premissas.
6. Leis de De Morgan e leis distributivas: as suas demonstrações em ambos os sentidos e a substituição de equivalentes dentro de outras fórmulas.
7. Dedução: síntese e desafios.

Unidade 3. Semântica

O seu objetivo é dar às fórmulas um significado, decidir com ele a validade e a consequência, e reduzir toda fórmula a formas normais.

1. Semântica: introdução.
2. Semântica da lógica proposicional: valorações e a sua extensão por recursão, o lema da coincidência, as tabelas-verdade, a validade e a satisfatibilidade.
3. Consequência e equivalência semânticas: a consequência a partir de conjuntos, o teorema da dedução semântico, a substituição semântica e a substituição uniforme.
4. Leis generalizadas de De Morgan e distributivas: conjunções e disjunções de $n$ termos e as suas leis, por indução.
5. Completude funcional: toda função de verdade tem uma fórmula, a negação conjunta basta sozinha, e os conjuntos adequados de conectivos.
6. Formas normais: literais, cláusulas, formas disjuntiva e conjuntiva, a sua dualidade e a sua existência.
7. O algoritmo das formas normais e as suas aplicações: um algoritmo correto e que termina, e o projeto e a simplificação de circuitos de interruptores.
8. Semântica: síntese e desafios.

Unidade 4. Metateoria

O seu objetivo é demonstrar que a dedução e a consequência coincidem, primeiro para premissas finitas e depois para premissas quaisquer, e oferecer um terceiro modo de decidi-las.

1. Metateoria: introdução.
2. Correção e completude: a correção por indução sobre as linhas, a consistência, o lema de Kalmár e a completude fraca e finita.
3. O teorema da compacidade: a sua demonstração semântica, as suas formas equivalentes, a completude forte que dele se segue e as suas aplicações combinatórias.
4. O método de resolução: a forma clausal, a regra de resolução, a sua correção e a sua completude refutacional, e o seu custo.
5. Metateoria: síntese e desafios.

Unidade 5. Encerramento do curso

Consta da aula Balanço final de Lógica Matemática I, que recorda os sete objetivos globais, mostra numa figura em que unidades e aulas se trabalha cada um, reúne por objetivo a primeira tentativa das avaliações de saída e indica para onde continua o estudo.

Dedicação e créditos

A dedicação de um curso não se mede pelas horas de exposição, que num curso assíncrono não existem, mas pelo trabalho total de quem o estuda: ler, acompanhar as demonstrações e as deduções, resolver problemas e revisar. A estimativa segue o mesmo método em todos os cursos do site: conta o tempo de leitura do texto de cada aula a cem palavras por minuto, contando cada fórmula como uma palavra, vinte minutos por problema resolvido, trinta e cinco por problema proposto, quarenta e cinco por desafio e doze por avaliação de entrada ou de saída, e acrescenta uma margem de um décimo para a revisão.

Resultados

As aulas do curso contêm no conjunto $90$ problemas resolvidos, $90$ problemas propostos e $24$ desafios, além de oito avaliações de unidade. A dedicação estimada por unidade, arredondada à hora, é a seguinte:

• Unidade 0, apresentação do curso: menos de $1$ hora.
• Unidade 1, linguagem: $30$ horas.
• Unidade 2, dedução: $36$ horas.
• Unidade 3, semântica: $43$ horas.
• Unidade 4, metateoria: $25$ horas.
• Unidade 5, encerramento do curso: menos de $1$ hora.

O total é de cerca de $137$ horas de trabalho. Convém ler esta cifra como o que é: uma estimativa para quem estuda todas as demonstrações e resolve todos os problemas e desafios. Quem já tenha estudado lógica, ou se limite aos problemas propostos sem abordar os desafios, empregará bastante menos; quem nunca tenha demonstrado um teorema pode precisar de mais, sobretudo nas unidades de dedução e de semântica, que são também as mais extensas.

Ora, a cifra é nominal: é a que fixa os créditos do curso, e supõe uma leitura a ritmo constante e três quartos de hora por desafio. Enquanto não for medida com estudantes reais, convém acompanhá-la de uma faixa realista. Se a leitura avançasse à metade do ritmo suposto, como ocorre quando cada dedução é copiada com papel e lápis e cada cadeia de círculos e discos é decomposta à mão, e cada desafio exigisse setenta e cinco minutos em vez de quarenta e cinco, o mesmo método daria cerca de $174$ horas. Portanto, a dedicação esperável situa-se entre cerca de $137$ e cerca de $174$ horas. O extremo superior é uma cota prudente, não uma medição; a faixa será corrigida quando se conhecer o tempo que empregam os que estudam o curso, e até lá os créditos são calculados com a cifra nominal.

Ritmo sugerido

Para nomear os ritmos, este plano usa o mesmo critério que os demais planos do site: a dedicação integral é a de um ano acadêmico de $60$ créditos, cerca de $1650$ horas repartidas em cerca de quarenta semanas, isto é, cerca de $40$ horas semanais, e a dedicação parcial é a metade, cerca de $20$ horas semanais. Daí se segue um ritmo recomendado de um semestre de dezesseis semanas, com cerca de $8$ ou $9$ horas semanais de estudo, pouco mais da quinta parte da dedicação integral; com a faixa realista, de $9$ a $11$ horas semanais. Esse semestre pode ser compartilhado com Álgebra e Geometria I, cujas demonstrações se leem melhor quando a dedução já é um objeto conhecido.

Um ritmo intensivo, de cerca de $20$ horas semanais, isto é, dedicação parcial, conclui o curso em sete semanas. Um ritmo mais folgado, de cerca de $4$ ou $5$ horas semanais, leva-o a dois semestres, que o repartem quase pela metade: as unidades 0 a 2, a linguagem e a dedução, ocupam cerca de $67$ horas, e as unidades 3 a 5, a semântica, a metateoria e o encerramento, cerca de $69$.

Equivalência em créditos transferíveis

Os sistemas de créditos transferíveis medem um curso pelo trabalho total que exige de quem o cursa, e não pelas horas de aula presencial, com o propósito de que os estudos realizados numa instituição possam ser reconhecidos noutra. O Sistema Europeu de Transferência e Acumulação de Créditos, adotado pelas universidades europeias a partir da Declaração de Bolonha, atribui $60$ créditos a um ano acadêmico de dedicação integral, e fixa cada crédito entre $25$ e $30$ horas de trabalho. O Sistema de Créditos Transferíveis do Chile, adotado pelas universidades chilenas com um desenho análogo, atribui também $60$ créditos ao ano acadêmico e fixa cada crédito entre $24$ e $31$ horas de trabalho.

Ora, dividindo as $137$ horas estimadas pelos extremos de cada intervalo, o curso equivale a cerca de $5$ créditos europeus (de 4,6 a 5,5), e a entre $4$ e $6$ créditos transferíveis chilenos (de 4,4 a 5,7). Tomando como referência o valor central de ambos os intervalos, de 27,5 horas por crédito, obtém-se nos dois sistemas o mesmo número, 4,98, que se arredonda para 5. Para os créditos europeus, o número $C$ de créditos fica limitado assim:

Portanto, recomenda-se atribuir ao curso $5$ créditos europeus e $5$ créditos transferíveis chilenos, isto é, a duodécima parte de um ano acadêmico de dedicação integral, pouco menos que uma disciplina semestral corrente de seis créditos.

Desenho do curso

Modalidade

O curso é assíncrono, on-line e de ritmo autônomo: não tem datas, sessões ao vivo nem prazos, e cada estudante avança à velocidade que lhe permitem a sua preparação e o seu tempo. É oferecido nos catorze idiomas do site, com a mesma lógica em todos: as fórmulas, as deduções e os passos das demonstrações são idênticos em cada versão, e só se traduz o texto. As aulas declaram que outras aulas convém ter estudado antes, de modo que a ordem recomendada é explícita.

A estrutura de uma aula

Todas as aulas de conteúdo seguem a mesma estrutura. Começam com um resumo e com uma lista de objetivos de aprendizagem próprios, formulados como desempenhos observáveis. Seguem-se a teoria, com as definições, os resultados enunciados com precisão e as suas demonstrações, e os exemplos. As demonstrações apresentam-se como reprodutores passo a passo: cada passo escreve uma linha, ilumina o que muda e, quando se apoia num resultado anterior, volta a ele. As deduções do sistema escrevem-se com as suas linhas numeradas e a justificativa de cada uma à direita (um axioma, uma premissa, o modus ponens com as linhas que usa, ou uma regra derivada), e ao avançar iluminam-se as linhas citadas. Fecham a aula cinco problemas resolvidos, com a sua solução passo a passo, e cinco problemas propostos, cada um com uma pista recolhida e, depois, a resposta final; os propostos de demonstração acrescentam, recolhida depois da resposta, uma solução desenvolvida, que convém abrir só depois de ter redigido a própria.

Cada aula pode, além disso, ser ouvida em voz alta com o leitor do site, que pronuncia em palavras os símbolos das fórmulas, incluídos o círculo, o disco e os símbolos da dedução e da consequência.

Avaliação

O curso não atribui notas: a sua avaliação é formativa e apoia-se na autoavaliação. Os problemas propostos permitem verificar o êxito nos objetivos de cada aula, e os desafios, nos objetivos de cada unidade. A isso acrescentam-se as avaliações de unidade: a de entrada, no início da introdução, mede o ponto de partida com onze a quinze perguntas, porque às da unidade acrescenta algumas sobre o que a unidade dá por sabido; a de saída, na síntese e antes dos desafios, mede o que foi alcançado com doze perguntas e compara-se com a de entrada. Ambas se corrigem no próprio navegador, com uma explicação para cada resposta e uma remissão à aula que convém revisar; os seus resultados guardam-se apenas no navegador de quem as responde, e o balanço final reúne a primeira tentativa de cada avaliação de saída num perfil por objetivo global.

Como estudar este curso

O curso foi pensado para ser estudado em ordem. Cada unidade pressupõe as anteriores: a dedução escreve-se com a linguagem da primeira, a semântica dá valor às suas fórmulas, e a metateoria compara a segunda com a terceira; saltar uma aula obriga, mais cedo ou mais tarde, a voltar a ela.

Em cada aula, convém ler primeiro o resumo e os objetivos; estudar depois a teoria com papel e lápis, copiando as cadeias de círculos e discos, separando as suas variáveis e os seus discos, e antecipando cada linha de uma dedução antes que o reprodutor a escreva; tentar os problemas resolvidos antes de olhar a sua solução, e resolver os propostos sem ajuda, abrindo a pista só quando a tentativa se tiver esgotado. Um problema cuja resposta se consultou antes de tentá-lo não foi resolvido, mas lido.

Por último, convém distinguir sempre de que nível é cada afirmação: se diz algo dentro da linguagem, como uma fórmula, ou algo sobre ela, como $\Gamma \vdash \varphi$ ou $\Gamma \models \varphi$. Essa distinção, que é o primeiro dos objetivos do curso, é também a que permite entender o seu resultado central, que só pode ser enunciado na metalinguagem.