Linguagem: introdução

Avaliação de entrada

Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta avaliação é uma autoavaliação: não se pontua, e seu único propósito é orientar o estudo. Suas onze perguntas tratam, em ordem, das quatro aulas da unidade: três da primeira, três da segunda, duas da terceira e três da quarta. Quem nunca estudou lógica não deve esperar acertar todas, e isso não importa: cada resposta, certa ou não, explica o ponto e indica a aula que o trata. As mesmas habilidades voltam a ser medidas no final, na aula de síntese; como esta é a primeira unidade de um curso sem requisitos de entrada, não há perguntas sobre unidades anteriores.

Os conteúdos da unidade

Esta unidade serve, antes de tudo, ao primeiro dos objetivos do curso, distinguir a linguagem-objeto da metalinguagem e decidir com as regras de formação se uma cadeia é uma fórmula; serve também ao segundo, formalizar enunciados e argumentos da linguagem natural, e prepara o quarto, demonstrar metateoremas por indução, que acompanhará o curso até sua última unidade. Sua meta é que quem a concluir saiba o que a lógica estuda, disponha de uma linguagem formal construída com todo o rigor, saiba demonstrar propriedades de todas as suas fórmulas e possa traduzir para ela enunciados e argumentos do português, sabendo o que a tradução conserva e o que perde. Suas quatro aulas formam uma cadeia em que cada uma se apoia nas anteriores.

1. O que é a lógica matemática. Delimita o objeto da disciplina: não a verdade dos enunciados particulares, mas a validade, a relação entre premissas e conclusão que garante que a verdade daquelas passa a esta. Distingue a validade da verdade, mostra por que a linguagem natural, ambígua e capaz de falar de si mesma, não basta para estudá-la, e estabelece a distinção entre linguagem-objeto e metalinguagem. Analisa com suas hipóteses explícitas os paradoxos do mentiroso, de Berry, do barbeiro e de Russell, e termina com o mapa do curso.
2. A linguagem da lógica proposicional. Ensina o indispensável sobre conjuntos e cadeias de símbolos, conta as cadeias que podem ser escritas com dois símbolos e constrói a língua base: infinitas variáveis escritas com círculos e discos, uma única regra de formação e uma cláusula de fecho, da qual se deduz um princípio para demonstrar propriedades de todas as fórmulas. Dá um procedimento para decidir se uma cadeia é fórmula e constrói, sobre a língua base, a metalinguagem com que se trabalhará daqui em diante: metavariáveis, a negação conjunta escrita com parênteses e as abreviaturas oficiais dos demais conectivos.
3. A indução sobre os números naturais e sobre as fórmulas. Ensina a indução sobre os números naturais, simples e forte, e a transporta para as fórmulas. Com ela demonstra o lema do peso e, a partir dele, o teorema da leitura única, que a aula anterior havia enunciado: cada fórmula composta se decompõe de um só modo. A leitura única legitima, por fim, as definições por recursão sobre as fórmulas (comprimento, subfórmulas, profundidade) e a substituição de uma subfórmula por outra.
4. A formalização da linguagem natural. Lança a ponte entre o português e a linguagem formal: o dicionário de uma formalização, a leitura de cada conectivo deduzida da do conectivo primitivo, as sutilezas de “mas”, “somente se” e “a menos que”, o escopo dos conectivos, o condicional material e o que a lógica proposicional não pode expressar. Termina formalizando argumentos completos como um conjunto de premissas e uma conclusão, que as unidades seguintes submeterão à dedução e à semântica.

A unidade termina com a aula de síntese e desafios, que reúne o que foi alcançado numa cadeia dedutiva, repete em sua avaliação de saída as habilidades da avaliação de entrada e propõe desafios que combinam várias aulas.

O lugar da unidade no curso

O curso percorre, para a linguagem mais simples da lógica, o caminho completo de uma teoria lógica, e o faz em quatro partes, que são suas quatro unidades de conteúdo. A primeira, esta, fixa a linguagem. A segunda, a dedução, define o que significa que uma fórmula $\varphi$ se obtenha de um conjunto de fórmulas $\Gamma$ por meio de axiomas e regras de inferência, o que se escreverá $\Gamma \vdash \varphi$; é a face sintática da validade, na qual se manipulam símbolos sem atender a seu significado. A terceira, a semântica, atribui a cada fórmula um valor de verdade em cada valoração e define o que significa que $\varphi$ seja consequência de $\Gamma$, o que se escreverá $\Gamma \models \varphi$; é a face semântica da validade. A quarta, a metateoria, demonstra que ambas as faces coincidem: a correção diz que todo o dedutível é consequência, e a completude, que toda consequência é dedutível.

Se isso é assim, a sintaxe não é um preâmbulo que possa ser abreviado, mas a condição das outras três partes. Uma dedução é uma sequência de fórmulas, e para decidir se uma sequência o é é preciso saber, sem hesitação, que cadeias são fórmulas e como se decompõem; uma valoração se estende das variáveis a todas as fórmulas por recursão, e a recursão só dá um valor a cada fórmula se cada fórmula se lê de uma só maneira; os teoremas da metateoria se demonstram por indução, sobre a complexidade das fórmulas ou sobre o comprimento das deduções. Disso se segue a ordem da unidade: primeiro, o que se quer estudar e por que é necessária uma linguagem formal; depois, a linguagem; em seguida, o instrumento para demonstrar algo de todas as suas fórmulas, com o qual se prova a leitura única; e, por último, a ponte para os argumentos do português, que são a razão de ser de tudo o que precede.

Por que uma língua de círculos e discos

A linguagem do curso tem um alfabeto de apenas dois símbolos, o círculo $\sigO$ e o disco $\sigI$, e uma única regra de formação: se $\varphi$ e $\psi$ são fórmulas, também o é $\sigI\varphi\psi$. A $n$-ésima variável é a cadeia de $n$ círculos seguidos de um disco, $v_{n} = \sigO^{n}\sigI$. À primeira vista, a escolha é estranha, porque as fórmulas escritas assim são difíceis de ler. Tem, no entanto, quatro razões precisas.

A primeira é que dois símbolos bastam para escrever infinitas variáveis sem sair de um alfabeto finito, de modo que toda fórmula é, literalmente, uma cadeia finita de símbolos de um conjunto de dois elementos, e as perguntas sobre a linguagem são perguntas sobre cadeias, que podem ser contadas e comparadas. A segunda é que uma só regra deixa um só caso em cada demonstração por indução: o que se prova para as variáveis e para $\sigI\varphi\psi$ fica provado para todas as fórmulas, sem um caso por conectivo. A terceira é que a regra põe o conectivo diante de seus dois argumentos, como na notação que Jan Łukasiewicz propôs na década de 1920, e por isso não precisa de parênteses: a leitura única se demonstra com um argumento de uma página, que atribui a cada variável o peso $+1$ e a cada disco conectivo o peso $-1$. A quarta é que o único conectivo, a negação conjunta, “nem $\varphi$ nem $\psi$”, basta para expressar todos os demais, como observou Charles Sanders Peirce por volta de 1880 e publicou Henry Sheffer em 1913, e como demonstrará a unidade de semântica; de modo que a economia da linguagem não sacrifica nada do que a lógica proposicional pode dizer.

Ora, o preço dessa economia é a legibilidade, e a unidade o paga na metalinguagem: ninguém escreverá no dia a dia cadeias de círculos e discos, mas seus nomes, $(\varphi \downarrow \psi)$, $\neg\varphi$, $(\varphi \rightarrow \psi)$, definidos uma só vez e desdobráveis, a todo momento, até a cadeia que designam. Portanto, o curso trabalha com dois níveis ao mesmo tempo: uma língua base mínima, sobre a qual se demonstra, e uma notação cômoda, com a qual se escreve; e a distinção entre linguagem-objeto e metalinguagem, que a primeira aula introduz, é a que permite não confundi-los.

O que se dá por sabido

A unidade parte de quase nada. Não supõe ter estudado lógica, nem conhecer a teoria dos conjuntos, nem ter demonstrado alguma vez um teorema: o que usa dos conjuntos é ensinado na segunda aula, e o que usa da indução, na terceira. Supõe apenas duas coisas. A primeira, ler com atenção: numa linguagem formal, um símbolo acrescentado ou omitido muda a cadeia, e a ordem das palavras de uma definição importa tanto quanto as próprias palavras. A segunda, a aritmética elementar dos números naturais, que neste curso são $1, 2, 3, \ldots$: somar e multiplicar, calcular potências de $2$, distinguir os pares dos ímpares e reconhecer um número primo.

Quem desejar um apoio adicional para a indução pode consultar as aulas sobre os axiomas de Peano e sobre os somatórios e a indução do curso de Álgebra e Geometria I; não é necessário, porque a terceira aula desta unidade ensina a indução a partir de seu enunciado.

O problema que a unidade resolve

A lógica estuda a validade, e a validade depende da forma dos argumentos. Mas, para falar da forma com rigor, é preciso que cada expressão tenha uma só forma, e a linguagem natural não o garante: “o dobro de três mais quatro” pode ser $10$ ou $14$, conforme se agrupe. Isso coloca dois problemas, que são os da unidade. O primeiro é construir uma linguagem em que cada expressão se leia de um só modo. O segundo é demonstrá-lo: as fórmulas são infinitas, e nenhuma verificação caso a caso, por mais longa que seja, estabelece que todas se leem de um só modo. O exemplo seguinte mostra ambos os problemas numa só expressão.

A resposta da unidade a esses dois problemas tem, portanto, duas partes. Para o primeiro, uma língua cuja única regra põe o conectivo na frente, de modo que os parênteses sobram, e uma metalinguagem cujas abreviaturas designam, cada uma, uma só cadeia. Para o segundo, um princípio de demonstração, a indução sobre a complexidade das fórmulas, que passa de um número finito de verificações (as variáveis e a regra) a todas as fórmulas, assim como a indução sobre os naturais passa do $1$ e do passo de $k$ a $k + 1$ a todos os números. Com ambas as partes, a forma de um argumento se converte num objeto preciso, e a pergunta por sua validade pode ser colocada com rigor nas unidades seguintes.

Como estudar a unidade

Convém começar por esta avaliação de entrada e anotar as perguntas erradas, que indicam as aulas em que é preciso se deter. As quatro aulas devem ser estudadas em ordem, porque cada uma usa o que as anteriores estabelecem. Na segunda e na terceira, o estudo exige papel e lápis: as cadeias de círculos e discos se leem mal na tela, e convém copiá-las, separar suas palavras (cada variável e cada disco solto) e anotar o peso de cada uma, até que a contagem da leitura única se torne um hábito. As demonstrações são publicadas como reprodutores passo a passo, e cada passo deve poder ser justificado antes de avançar. Na primeira e na quarta, o trabalho é de leitura cuidadosa: diante de cada sentença do português, perguntar-se o que ela afirma exatamente, que leituras admite e que fórmula a representa. Por último, a dica e a resposta de cada problema proposto só se abrem depois de tê-lo tentado a sério.

Aonde conduz

Ao terminar a unidade, a linguagem estará fixada, e as unidades seguintes construirão sobre ela sem voltar a discuti-la. A de dedução definirá um sistema de axiomas e duas regras de inferência, o modus ponens e, uma vez demonstrada a dupla negação, a substituição da dupla negação, cujas deduções são sequências de fórmulas; seus axiomas se escrevem com as abreviaturas oficiais, que esta unidade define, e seu teorema da dedução se demonstra por indução sobre o comprimento das deduções, com o instrumento que aqui se aprende. Sua primeira aula é a dos sistemas dedutivos formais. A de semântica atribuirá valores de verdade às variáveis e os estenderá a todas as fórmulas por recursão, o que só é possível graças à leitura única; justificará com tabelas as leituras informais dos conectivos que a quarta aula usa, e demonstrará, na aula sobre a completude funcional, que a negação conjunta basta para expressar qualquer conectivo. A de metateoria, por último, demonstrará por indução a correção e a completude, e os argumentos que esta unidade ensina a formalizar poderão ser decididos, enfim, pela dedução ou pela semântica indistintamente.

Fora deste curso, a sintaxe de uma linguagem formal é a de toda linguagem de programação: um compilador, como os de Programação em C++ I, começa por decidir se um programa está bem formado e por decompô-lo de um único modo. A distinção entre a validade e a verdade é também o ponto de partida da Lógica Aristotélica, que estuda a forma dos silogismos; e a indução da terceira aula é a mesma que demonstra as propriedades dos números em Álgebra e Geometria I. Em todos esses domínios, como na redação de normas e contratos, a lição é a mesma: dizer com precisão o que se afirma exige uma linguagem em que cada expressão tenha uma só leitura.