As técnicas da lógica clássica

As regras dentro de um contexto

Na aula sobre sistemas dedutivos formais fixou-se o sistema de Łukasiewicz: os esquemas de axiomas A1, A2 e A3, a regra do modus ponens (MP) e a noção de dedução a partir de um conjunto $\Gamma$ de premissas, com suas primeiras propriedades: a reflexividade (Refl: se $\varphi \in \Gamma$, então $\Gamma \vdash \varphi$), a monotonicidade (Mon: se $\Gamma \subseteq \Delta$ e $\Gamma \vdash \varphi$, então $\Delta \vdash \varphi$), o corte (Corte), o modus ponens entre deduções (se $\Gamma \vdash \varphi$ e $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, então $\Gamma \vdash \psi$, que também se cita como MP), o teorema da dedução (TD: se $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$, então $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$) e sua recíproca (RTD). As aulas sobre as quatro técnicas de dedução e sobre as simetrias dos conectivos acrescentaram o silogismo hipotético (SH), o intercâmbio de premissas (IP), a dupla negação (DN), a contraposição (CP) em suas três formas, a substituição de equivalentes (Subst), as simetrias (Sim) e as formas equivalentes da disjunção e da conjunção. A primeira dessas aulas, depois de demonstrar a dupla negação, completou ainda o sistema do curso com uma segunda regra primitiva, a substituição da dupla negação (SDN): se $\chi'$ resulta de $\chi$ ao substituir uma ocorrência de uma subfórmula $\theta$ por $\neg\neg\theta$, ou uma de $\neg\neg\theta$ por $\theta$, de $\chi$ infere-se $\chi'$. Daqui em diante, $\vdash$ refere-se a esse sistema (A1 a A3, MP e SDN), no qual continuam valendo a reflexividade, a monotonicidade, o corte, o teorema da dedução e sua recíproca; as técnicas desta aula são regras derivadas dele, embora nenhuma de suas demonstrações invoque SDN diretamente: a regra atua por meio das formas equivalentes e da substituição de equivalentes, que a aula sobre as simetrias demonstrou com ela.

Ora, em matemática ninguém raciocina sem premissas: raciocina-se a partir de certos axiomas, das hipóteses de um teorema e do que se supôs para discutir um caso. Se isso é assim, uma técnica de raciocínio só é útil se é enunciada com um conjunto $\Gamma$ de premissas que se arrasta de linha em linha. Daí decorre que cada regra desta aula é enunciada e demonstrada para um $\Gamma$ qualquer; o caso sem premissas é o caso particular $\Gamma = \emptyset$, e não o contrário.

As demonstrações são deduções sobre deduções: cada linha afirma que algo é dedutível a partir de um conjunto, $\Gamma \vdash \varphi$, e sua justificativa remete a linhas anteriores. Nelas, “Premissa” marca as linhas que o enunciado da regra dá por supostas, e o nome de um axioma (A1, A3) ou de um teorema já demonstrado (como Id, o teorema $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$) marca uma linha $\Gamma \vdash \varphi$ em que $\varphi$ é uma instância desse esquema ou desse teorema, dedutível a partir de qualquer conjunto.

A aula sobre quatro técnicas de dedução demonstrou, com a monotonicidade e o corte, o lema “do resultado à regra”, que torna possível este modo de trabalhar: se $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ e $\Gamma \vdash \alpha_{i}$ para cada $i$, então $\Gamma \vdash \beta$. Com $n = 1$, aplicado em cada sentido de uma equivalência $\alpha \dashv\vdash \alpha'$, diz que $\Gamma \vdash \alpha$ se e somente se $\Gamma \vdash \alpha'$. Portanto, toda regra já demonstrada e toda equivalência já demonstrada se aplicam às linhas de uma dedução com premissas: se uma linha diz $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, a contraposição permite escrever abaixo $\Gamma \vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ e justificá-la com “CP” e o número da linha. Para as duas formas equivalentes da aula sobre as simetrias, que serão usadas sem cessar, escreve-se “Eq”:

Convém insistir em que a primeira dessas equivalências não é uma definição; a segunda, como mostrou a aula sobre as simetrias, é uma identidade de cadeias, mas é citada como Eq junto com a primeira. Por definição, $(\varphi \vee \psi)$ é $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ e $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ é $(\neg\neg\varphi \vee \psi)$, que são cadeias distintas; ler uma como a outra “por definição da implicação” é o erro que esta aula evita. “Def”, por outro lado, reserva-se para escrever a mesma cadeia com outro nome, como quando se lê $(\varphi \rightarrow \psi)$ como $(\neg\varphi \vee \psi)$.