Las técnicas de la lógica clásica

Las reglas dentro de un contexto

En la clase sobre sistemas deductivos formales se fijó el sistema de Łukasiewicz: los esquemas de axiomas A1, A2 y A3, la regla del modus ponens (MP) y la noción de deducción desde un conjunto $\Gamma$ de premisas, con sus primeras propiedades: la presunción (Pre: si $\varphi \in \Gamma$, entonces $\Gamma \vdash \varphi$), la monotonía (Mon: si $\Gamma \subseteq \Delta$ y $\Gamma \vdash \varphi$, entonces $\Delta \vdash \varphi$), el corte (Corte), el modus ponens entre líneas (si $\Gamma \vdash \varphi$ y $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, entonces $\Gamma \vdash \psi$, que se cita también como MP), el teorema de deducción (TD: si $\Gamma \cup \{\varphi\} \vdash \psi$, entonces $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$) y su recíproco (RTD). Las clases sobre cuatro técnicas de deducción y sobre las simetrías de los conectores añadieron el silogismo hipotético (SH), el intercambio de premisas (IP), la doble negación (DN), la contraposición (CP) en sus tres formas, el reemplazo de equivalentes (Reem), las simetrías (Sim) y las formas alternativas de la disyunción y de la conjunción. La primera de ellas, tras demostrar la doble negación, completó además el sistema del curso con una segunda regla primitiva, el reemplazo de la doble negación (RDN): si $\chi'$ resulta de $\chi$ al reemplazar una aparición de una subfórmula $\theta$ por $\neg\neg\theta$, o una de $\neg\neg\theta$ por $\theta$, de $\chi$ se infiere $\chi'$. En adelante, $\vdash$ se refiere a ese sistema (A1 a A3, MP y RDN), en el cual siguen valiendo la presunción, la monotonía, el corte, el teorema de deducción y su recíproco; las técnicas de esta clase son reglas derivadas de él, aunque ninguna de sus demostraciones invoca RDN directamente: la regla actúa a través de las formas alternativas y del reemplazo de equivalentes, que la clase sobre las simetrías demostró con ella.

Ahora bien, en matemática nadie razona sin premisas: se razona desde unos axiomas, desde las hipótesis de un teorema y desde lo que se ha supuesto para discutir un caso. Si esto es así, una técnica de razonamiento solo es útil si se enuncia con un conjunto $\Gamma$ de premisas que se arrastra de línea en línea. De ello se sigue que cada regla de esta clase se enuncia y se demuestra para un $\Gamma$ cualquiera; el caso sin premisas es el caso particular $\Gamma = \emptyset$, y no al revés.

Las demostraciones son deducciones sobre deducciones: cada línea afirma que algo es deducible desde un conjunto, $\Gamma \vdash \varphi$, y su justificación remite a líneas anteriores. En ellas, «Premisa» marca las líneas que el enunciado de la regla da por supuestas, y el nombre de un axioma (A1, A3) o de un teorema ya demostrado (como Id, el teorema $\vdash (\varphi \rightarrow \varphi)$) marca una línea $\Gamma \vdash \varphi$ en que $\varphi$ es una instancia de ese esquema o de ese teorema, deducible desde cualquier conjunto.

La clase sobre cuatro técnicas de deducción demostró, con la monotonía y el corte, el lema «del resultado a la regla», que hace posible este modo de trabajar: si $\{\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\} \vdash \beta$ y $\Gamma \vdash \alpha_{i}$ para cada $i$, entonces $\Gamma \vdash \beta$. Con $n = 1$, aplicado en cada sentido de una equivalencia $\alpha \dashv\vdash \alpha'$, dice que $\Gamma \vdash \alpha$ si y solo si $\Gamma \vdash \alpha'$. Por tanto, toda regla ya demostrada y toda equivalencia ya demostrada se aplican a las líneas de una deducción con premisas: si una línea dice $\Gamma \vdash (\varphi \rightarrow \psi)$, la contraposición permite escribir debajo $\Gamma \vdash (\neg\psi \rightarrow \neg\varphi)$ y justificarla con «CP» y el número de la línea. Para las dos formas alternativas de la clase sobre las simetrías, que se usarán sin cesar, se escribe «Eq»:

Conviene insistir en que estas dos equivalencias no son definiciones. Por definición, $(\varphi \vee \psi)$ es $\neg(\varphi \downarrow \psi)$ y $(\neg\varphi \rightarrow \psi)$ es $(\neg\neg\varphi \vee \psi)$, que son cadenas distintas; leer una como la otra «por definición de la implicación» es el error que esta clase evita. «Def», en cambio, se reserva para escribir la misma cadena con otro nombre, como cuando se lee $(\varphi \rightarrow \psi)$ como $(\neg\varphi \vee \psi)$.