Introduction

Dans les cours précédents, nous avons étudié le mouvement rectiligne uniformément accéléré et avons vu ce qui se passe lorsqu’une accélération constante est appliquée dans la même direction que le mouvement. Lorsque nous supprimons la contrainte sur la direction, nous obtenons un mouvement uniformément accéléré, mais plus rectiligne. Dans ce scénario, le mouvement se développe le long du bras d’une parabole, et c’est ici que commence l’étude du mouvement du projectile.

Dans le mouvement d’un projectile, la vitesse initiale est donnée dans n’importe quelle direction, tandis que l’accélération suit l’orientation typique de la gravité. Lorsque le lancement du projectile est effectué directement vers le haut, nous obtenons un lancement vertical, qui est un cas de mouvement uniformément accéléré.

Développement du mouvement du projectile

Supposons que nous ayons un projectile lancé dans les airs depuis le sol par un canon avec une vitesse initiale v_0 et un angle d’inclinaison \theta. Le mouvement de ce projectile peut être modélisé sans problème en extrayant ses équations de trajectoire à partir des informations fournies. Ces équations sont les suivantes :

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Où \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) est la vitesse initiale, \vec{r}_0=(x_0,y_0) est la position initiale, et g=9.81[m/s^2] est la magnitude de l’accélération de la gravité. Maintenant, si nous observons le paragraphe précédent, nous remarquerons que la vitesse du projectile n’est pas indiquée directement, mais plutôt sa rapidité et son angle de tir. À partir de ces informations et un peu de trigonométrie, il est possible de déterminer la vitesse initiale car :

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Où v_0 = \|\vec{v}_0\| est la magnitude de la vitesse initiale. Si nous ajoutons également la position initiale (x_0,y_0)=(0,0), les équations de trajectoire sont exprimées de la manière suivante :

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

Avec cela, nous pouvons répondre à certaines questions relatives au lancement des projectiles : Jusqu’où ira-t-il ? Quelle hauteur atteindra-t-il ? Combien de temps prendra-t-il pour tomber ? etc.

Comment déterminer la hauteur maximale atteinte par un projectile ?

Pour répondre à cette question nous devons nous demander : Que se passe-t-il lorsque le projectile atteint sa hauteur maximale ? Ce qui se passe, c’est que la composante verticale de sa vitesse devient nulle, et donc :

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Cela équivaut à dire :

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

Autrement dit, le projectile atteint la hauteur maximale après un temps t=v_0\sin(\theta)/g depuis le lancement. Nous appelons cela « temps de hauteur maximale » et écrivons :

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Ensuite, la hauteur maximale que peut atteindre le projectile peut être obtenue en remplaçant t=t_{alt.max} dans la composante verticale de la position du projectile, obtenant :

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

Comment déterminer la portée du mouvement des projectiles ?

Si vous voulez savoir la distance que le projectile parcourt jusqu’au moment où il touche le sol, tout ce que vous avez à faire est de poser la question aux équations de trajectoire associées au lancement des projectiles. Mais comment faire cela ? Simple : Que se passe-t-il lorsque le projectile touche le sol ? Ce qui se passe, c’est que la coordonnée de position associée à la hauteur devient nulle, c’est-à-dire :

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Ici, nous pouvons résoudre le temps où le projectile touche le sol, ce qui se produit à deux reprises : au moment du lancement et lorsqu’il tombe, car les solutions possibles de cette équation sont :

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Nous appelons le résultat non nul « temps de chute » et écrivons :

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Si vous regardez plus haut, vous remarquerez que t_{caida} = 2t_{alt.max} car le temps que met le projectile pour atteindre sa hauteur maximale est le même que celui qu’il met pour tomber de son point le plus élevé. Cela indique une certaine symétrie dans le mouvement du projectile. En fait, cette symétrie se manifeste lorsque vous remarquez que la coordonnée associée à la hauteur a la forme d’une parabole.

En connaissant le temps de chute, il est maintenant possible de calculer la distance parcourue par le projectile au moment où il touche le sol simplement en le substituant dans la première coordonnée de position :

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

Quel angle de lancement maximise la portée du projectile ?

Si vous voulez savoir quel angle de lancement maximise la portée du projectile, ou si vous voulez prouver que ce que vous savez est effectivement correct, tout ce que vous avez à faire est de prendre parmi les expressions que nous avons démontrées celle qui vous permet de formuler la question de manière mathématique. Nous avons déjà calculé la distance de chute dans la section précédente, et il s’avère que c’est une fonction de l’angle de lancement :

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

La fonction sinus a deux valeurs extrêmes possibles : +1 et -1, mais nous nous intéressons à la première. Pour que \sin(2\theta)=+1, il est nécessaire que 2\theta = 90^o (+2k\pi, mais nous omettrons cette partie car nous n’en avons pas besoin) et donc \theta=45^o est l’angle de lancement qui maximise la portée. Ce problème peut également être résolu si nous le formulons comme un problème d’optimisation (en utilisant les outils de ce cours de calcul), mais j’ai opté pour cette voie plus rapide et tout aussi illustrative.

Exercices Proposés

1. Un projectile est lancé depuis le sol, avec un angle d’élévation de \theta=30^o et une vitesse initiale de v_0=70[km/h]. a) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile ? b) Quelle distance parcourt le projectile jusqu’au moment où il touche le sol ? c) Combien de temps le projectile met-il pour tomber ?
2. Un canon placé au sol tire une balle avec une vitesse de 90[km/h]？ Sous quel angle d’élévation le canon doit-il être ajusté pour que la balle tombe à une distance horizontale de 20[m]？
3. Le même canon de l’exercice précédent est maintenant placé à une hauteur de 5[m]？ Sous quel angle d’élévation doit-il être ajusté pour que la balle tombe toujours à une distance horizontale de 20[m]？
4. Un bombardier vole à une hauteur de 3,000[m]？ au-dessus du sol avec une vitesse de 1,500[km/h]. S’il laisse tomber un projectile par son propre poids, quelle distance parcourra le projectile depuis le moment où il est lâché jusqu’à ce qu’il touche le sol ?