Einleitung

In früheren Vorlesungen haben wir die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung untersucht und betrachtet, was geschieht, wenn eine konstante Beschleunigung in dieselbe Richtung der Bewegung wirkt. Wenn wir die Einschränkung bezüglich der Richtung aufheben, erhalten wir eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung, die jedoch nicht mehr geradlinig ist. In diesem Szenario verläuft die Bewegung entlang des Arms einer Parabel, und hier beginnt das Studium des Projektilstarts.

Bei einem Projektilstart wird die Anfangsgeschwindigkeit in eine beliebige Richtung gegeben, während die Beschleunigung der typischen Orientierung der Schwerkraft folgt. Wenn der Projektilstart direkt nach oben erfolgt, erhält man einen vertikalen Wurf, der ein Sonderfall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung ist.

Entwicklung des Projektilstarts

Angenommen, wir haben ein Projektil, das vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit v_0 und einem Neigungswinkel \theta. von einer Kanone in die Luft geschossen wird. Die Bewegung dieses Projektils lässt sich problemlos modellieren, indem man seine Weggleichungen aus den soeben gegebenen Informationen ableitet. Diese lauten wie folgt:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Dabei ist \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) die Anfangsgeschwindigkeit, \vec{r}_0=(x_0,y_0) die Anfangsposition und g=9,81[m/s^2] der Betrag der Erdbeschleunigung. Wenn wir nun den vorherigen Absatz betrachten, stellen wir fest, dass uns nicht direkt die Geschwindigkeit des Projektils angegeben wird, sondern seine Geschwindigkeit und der Abschusswinkel. Aus diesen Informationen und etwas Trigonometrie lässt sich die Anfangsgeschwindigkeit bestimmen, da:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Dabei ist v_0 = \|\vec{v}_0\| der Betrag der Anfangsgeschwindigkeit. Wenn wir zusätzlich die Anfangsposition (x_0,y_0)=(0,0) annehmen, lauten die Weggleichungen folgendermaßen:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

Damit können wir nun einige Fragen zum Projektilstart beantworten: Wie weit wird es fliegen?; Welche Höhe wird es erreichen?; Wie lange wird es dauern, bis es wieder fällt?; usw.

Wie bestimmt man die maximale Höhe, die ein Projektil erreicht?

Um diese Frage zu beantworten müssen wir uns fragen: Was geschieht, wenn das Projektil seine maximale Höhe erreicht? In diesem Moment verschwindet die vertikale Komponente seiner Geschwindigkeit, und daher gilt:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Das ist gleichbedeutend mit:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

Das heißt, das Projektil erreicht die maximale Höhe nach einer Zeit t=v_0\sin(\theta)/g nach dem Start. Dies nennen wir die „Zeit der maximalen Höhe“ und schreiben:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Die maximale Höhe, die das Projektil erreichen kann, erhält man dann, indem man t=t_{alt.max} in die vertikale Komponente der Projektilposition einsetzt, wodurch sich ergibt:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

Wie bestimmt man die Reichweite des Projektilstarts?

Wenn du die Entfernung wissen willst, die das Projektil bis zu dem Moment zurücklegt, in dem es den Boden berührt, musst du lediglich die Weggleichungen des Projektilstarts befragen. Aber wie macht man das? Ganz einfach: Was geschieht, wenn das Projektil den Boden berührt? In diesem Fall wird die Koordinate der Position, die der Höhe entspricht, null, das heißt:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Hier können wir die Zeit bestimmen, zu der das Projektil den Boden berührt, was in zwei Fällen geschieht: im Moment des Starts und beim Aufprall, da die möglichen Lösungen dieser Gleichung lauten:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Das nicht nullwertige Ergebnis nennen wir „Fallzeit“ und schreiben:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Wenn du weiter oben nachsiehst, wirst du feststellen, dass t_{caida} = 2t_{alt.max}, weil die Zeit, die das Projektil benötigt, um seine maximale Höhe zu erreichen, dieselbe ist wie die Zeit, die es benötigt, um von seinem höchsten Punkt zu fallen. Dies deutet auf eine gewisse Symmetrie in der Bewegung des Projektils hin. Tatsächlich zeigt sich diese Symmetrie bereits darin, dass die Höhe als Funktion der Zeit eine Parabel bildet.

Mit der Fallzeit ist es nun möglich, die Entfernung zu berechnen, die das Projektil bis zum Erreichen des Bodens zurückgelegt hat, indem man sie einfach in die erste Koordinate der Position einsetzt:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

Welcher Abwurfwinkel maximiert die Reichweite des Projektils?

Wenn du wissen willst, welcher Winkel des Abschusses die maximale Reichweite des Projektils ergibt, oder wenn du zeigen möchtest, dass das, was du bereits weißt, tatsächlich korrekt ist, musst du lediglich aus den hergeleiteten Ausdrücken denjenigen wählen, der es dir ermöglicht, die Frage mathematisch zu formulieren. Wir haben die Fallentfernung bereits im vorherigen Abschnitt berechnet, und diese stellt sich als eine Funktion des Abschusswinkels dar:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

Die Sinusfunktion hat zwei mögliche Extremwerte: +1 und -1, aber uns interessiert der erste. Damit \sin(2\theta)=+1 gilt, muss 2\theta = 90^o (+2k\pi, diesen Teil lassen wir jedoch weg, da wir ihn nicht benötigen) und daher ist \theta=45^o der Abschusswinkel, der die Reichweite maximiert. Dieses Problem lässt sich auch lösen, wenn man es als ein Optimierungsproblem formuliert (unter Verwendung der Werkzeuge aus dieser Vorlesung über Analysis), aber ich habe diesen Weg gewählt, da er schneller und ebenso anschaulich ist.

Vorgeschlagene Übungen

1. Ein Projektil wird vom Boden mit einem Elevationswinkel von \theta=30^o und einer Anfangsgeschwindigkeit von v_0=70[km/h]. abgeschossen. a) Welche maximale Höhe erreicht das Projektil? b) Welche Entfernung legt das Projektil bis zum Aufprall am Boden zurück? c) Wie lange dauert es, bis das Projektil fällt?
2. Eine Kanone am Boden feuert eine Kugel mit einer Geschwindigkeit von 90[km/h] ab. Mit welchem Elevationswinkel muss die Kanone eingestellt werden, damit die Kugel in einer horizontalen Entfernung von 20[m] auftrifft?
3. Dieselbe Kanone aus der vorherigen Übung befindet sich nun in einer Höhe von 5[m]. Mit welchem Elevationswinkel muss sie eingestellt werden, damit die Kugel weiterhin in einer horizontalen Entfernung von 20[m] auftrifft?
4. Ein Bomber fliegt in einer Höhe von 3 000[m] über dem Boden mit einer Geschwindigkeit von 1500[km/h]. Wenn er ein Projektil im freien Fall abwirft, welche Entfernung legt das Projektil vom Moment des Abwurfs bis zum Aufprall am Boden zurück?