Das Konzept des elektrischen Feldes
Im 19. Jahrhundert hatte Michael Faraday, einer der größten Experimentatoren im Bereich der Elektrizität, eine eigentümliche Arbeitsweise: Er füllte sein Labor mit Drähten, geladenen Kugeln und kleinen Gefäßen mit leitenden Flüssigkeiten. Eine berühmte Anekdote berichtet, dass er in seiner Besessenheit, die „Kraftlinien“, die eine elektrische Ladung umgaben, sichtbar zu machen, Eisenfeilspäne über das gesamte Labor verstreute, sodass der Boden mit Mustern bedeckt war, die wie moderne Kunst wirkten. Seine Kollegen, verwirrt, dachten, er habe den Verstand verloren, doch Faraday skizzierte gerade eines der revolutionärsten Konzepte: das elektrische Feld. In diesem Artikel werden wir untersuchen, wie diese Ideen, geboren aus Genie und Experiment, es uns ermöglichen, die unsichtbaren Wechselwirkungen zu kartieren und zu verstehen, die die Elektrizität beherrschen. Wenn Sie sich jemals gefragt haben, wie man das Unfassbare sichtbar machen kann, ist dieser Weg für Sie gedacht.
Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein,
- Das Konzept des elektrischen Feldes und seine Beziehung zur elektrischen Kraft anhand des Coulombschen Gesetzes zu verstehen.
- Die Definition des elektrischen Feldes anzuwenden, um Probleme im Zusammenhang mit Punktladungen zu lösen.
- Das Prinzip der Superposition bei diskreten und kontinuierlichen Ladungsverteilungen zu analysieren, um elektrische Felder zu berechnen.
- Die Integration von linearen, flächenhaften und volumetrischen Verteilungen zu bewerten, um elektrische Felder in komplexen Konfigurationen zu bestimmen.
- Praktische Übungen zu lösen, die Konfigurationen wie geladene Stäbe, geladene Ringe und unendlich geladene Ebenen beinhalten.
INHALTSVERZEICHNIS:
Was ist das elektrische Feld?
Das elektrische Feld und die Ladungsverteilungen
Übungen
Was ist das elektrische Feld?
Wenn wir eine Ladungsquelle an einem Ort im Raum platzieren, können wir ihre Präsenz mit einer Probeladung spüren, aufgrund der elektrischen Kraft, die diese aufgrund ihrer Anwesenheit erfährt. Diese Kraft untersuchen wir durch das Coulombsche Gesetz. Aufbauend darauf sagen wir, dass die Ladungsquelle den Raum mit einer Eigenschaft „durchflutet“, einem elektrischen Feld, das für die Erzeugung der elektrischen Kraft verantwortlich ist.
Um das elektrische Feld einer Ladung q an einem bestimmten Punkt \vec{r} im Raum zu messen, müssen wir eine Probeladung q_0 an diesem Ort platzieren. Das elektrische Feld wird als die Menge der elektrischen Kraft beschrieben, die die Probeladung q_0 pro Ladungseinheit erfährt.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Wenn wir jedoch auf diese Weise vorgehen, übersehen wir die Tatsache, dass die Probeladung ebenfalls ihr eigenes elektrisches Feld haben sollte, und dieses überlagert sich mit dem Feld der Ladungsquelle. Um dieses Problem zu lösen, sprechen wir über das elektrische Feld durch den Grenzwert:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Mit der Definition über den Grenzwert stellen wir sicher, dass das Feld der Probeladung q_0 die Messungen des Feldes der Ladung q nicht beeinflusst. Erinnern wir uns nun an das Coulombsche Gesetz, so ergibt sich das elektrische Feld einer geladenen Teilchen q in der Form:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
Und daraus folgt, dass
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
Das elektrische Feld und die Ladungsverteilungen
Da das elektrische Feld in Abhängigkeit von der Kraft untersucht wird und dieses das Superpositionsprinzip erfüllt, können wir die Felder verschiedener Ladungsverteilungen untersuchen.
Diskrete Verteilungen
Betrachten wir eine Verteilung von n diskreten Ladungen q_1, q_2, \cdots, q_n mit den Positionen \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Wenn wir ihr Feld an einem Punkt \vec{r} im Raum berechnen wollen, dann gilt:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
Das heißt, die Summe aller einzelnen Felder.
Kontinuierliche Verteilungen
Es gibt drei Arten kontinuierlicher Ladungsverteilungen, jede verbunden mit der Anzahl der Parameter, die erforderlich sind, um ihre räumliche Anordnung zu beschreiben. Diese sind die linearen, flächenhaften und volumetrischen Verteilungen.
Lineare Verteilung
In einer linearen Ladungsverteilung hat jedes Linienelement des geladenen Körpers eine lineare Ladungsdichte \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, sodass das Element des elektrischen Feldes die folgende Form hat.
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, erhalten wir:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Wobei \mathcal{C} die parametrische Darstellung der Kurve ist, die die Figur des geladenen Körpers beschreibt.
Flächenverteilung
In einer Flächenverteilung der Ladung hat jedes Flächenelement des geladenen Körpers eine Flächenladungsdichte \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, sodass das Element des elektrischen Feldes die folgende Form hat.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, erhalten wir:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Wobei \mathcal{A} die parametrische Darstellung der Fläche ist, die die Figur des geladenen Körpers beschreibt.
Volumenverteilung
In einer Volumenverteilung der Ladung hat jedes Volumenelement des geladenen Körpers eine Volumenladungsdichte \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV, sodass das Element des elektrischen Feldes die folgende Form hat.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Wenn wir diesen Ausdruck integrieren, erhalten wir:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Wobei \mathcal{V} die parametrische Darstellung des Volumens ist, das die Figur des geladenen Körpers beschreibt.
Übungen:
Geladene Stange
Betrachten Sie eine Stange der Länge L, die gleichmäßig mit einer Ladung Q geladen und vertikal aufgestellt ist. Bestimmen Sie das elektrische Feld der Stange in einem horizontalen Abstand x vom Mittelpunkt der Stange.
Geladener Ring
Betrachten Sie einen Ring mit dem Radius R, der gleichmäßig mit einer Ladung Q geladen ist und in der xy-Ebene liegt. Bestimmen Sie das elektrische Feld in einer Höhe z über dem Mittelpunkt des Rings.
Unendliche geladene Ebene
Betrachten Sie eine unendliche Ebene, die gleichmäßig mit einer Flächenladungsdichte \sigma geladen ist. Bestimmen Sie das elektrische Feld in einem Abstand L von der Ebene.