Le concept de champ électrique
Au XIXe siècle, Michael Faraday, l’un des plus grands expérimentateurs dans le domaine de l’électricité, avait une manière particulière de travailler : il remplissait son laboratoire de fils, de sphères chargées et de petits récipients contenant des liquides conducteurs. Une anecdote célèbre raconte que, obsédé par la visualisation des « lignes de force » entourant une charge électrique, il répandait de la limaille de fer dans tout le laboratoire, laissant le sol recouvert de motifs ressemblant à de l’art moderne. Ses collègues, perplexes, pensaient qu’il avait perdu la raison, mais Faraday esquissait en réalité l’un des concepts les plus révolutionnaires : le champ électrique. Dans cet article, nous explorerons comment ces idées, nées du génie et de l’expérimentation, nous permettent de cartographier et de comprendre les interactions invisibles qui gouvernent l’électricité. Si vous vous êtes déjà demandé comment rendre visible l’invisible, ce voyage est fait pour vous.
Objectifs d’apprentissage :
À la fin de ce cours, l’étudiant sera capable de
- Comprendre le concept de champ électrique et sa relation avec la force électrique via la loi de Coulomb.
- Appliquer la définition du champ électrique pour résoudre des problèmes liés aux charges ponctuelles.
- Analyser le principe de superposition dans des distributions discrètes et continues de charges pour calculer les champs électriques.
- Évaluer l’intégration des distributions linéaires, surfaciques et volumiques pour déterminer les champs électriques dans des configurations complexes.
- Résoudre des exercices pratiques comprenant des configurations telles qu’une barre chargée, un anneau chargé et un plan infini chargé.
TABLE DES MATIÈRES :
Qu’est-ce que le champ électrique ?
Le champ électrique et les distributions de charges
Exercices
Qu’est-ce que le champ électrique ?
Lorsque nous plaçons une source de charge quelque part dans l’espace, nous pouvons sentir sa présence en utilisant une charge d’essai en raison de la force électrique qu’elle ressent. Cette force est étudiée à travers la loi de Coulomb. En nous basant sur cela, nous disons que la source de charge « inonde l’espace » avec une propriété, un champ électrique, qui est responsable de produire la force électrique.
Pour mesurer le champ électrique d’une charge q en un certain point \vec{r} de l’espace, nous devons placer une charge d’essai q_0 à cet endroit. Le champ électrique sera décrit comme la quantité de force électrique ressentie par la charge d’essai q_0 par unité de charge.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Cependant, en procédant ainsi, nous ignorons le fait que la charge d’essai devrait également avoir son propre champ électrique, qui se superposera au champ de la source de charges. Pour résoudre ce problème, nous définissons le champ électrique à travers la limite :
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
En utilisant cette définition via la limite, nous nous assurons que le champ de la charge d’essai q_0 n’interfère pas avec les mesures du champ de la charge q. Maintenant, en rappelant la loi de Coulomb, le champ électrique d’une particule chargée q prend la forme suivante :
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
Et ainsi,
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
Le champ électrique et les distributions de charges
Étant donné que le champ électrique est étudié en fonction de la force, et qu’il satisfait le principe de superposition, nous pouvons étudier les champs de différentes distributions de charges.
Distributions discrètes
Considérons une distribution de n charges discrètes q_1, q_2, \cdots, q_n avec des positions \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Si nous voulons calculer leur champ en un point \vec{r} de l’espace, alors nous avons :
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
C’est-à-dire la somme de tous les champs individuels.
Distributions continues
Il existe trois types de distributions continues de charges, chacune associée au nombre de paramètres nécessaires pour décrire leur disposition spatiale. Ce sont les distributions linéaires, surfaciques et volumiques.
Distribution linéaire
Dans une distribution linéaire de charges, chaque élément de ligne du corps chargé possède une densité linéaire de charge \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, de sorte que l’élément de champ électrique est exprimé comme suit :
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
En intégrant cette expression, nous obtenons :
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Où \mathcal{C} est la représentation paramétrique de la courbe décrivant la forme du corps chargé.
Distribution surfacique
Dans une distribution surfacique de charges, chaque élément de surface du corps chargé possède une densité surfacique de charge \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, de sorte que l’élément de champ électrique est exprimé comme suit :
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
En intégrant cette expression, nous obtenons :
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Où \mathcal{A} est la représentation paramétrique de la surface décrivant la forme du corps chargé.
Distribution volumique
Dans une distribution volumique de charges, chaque élément de volume du corps chargé possède une densité volumique de charge \rho(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dV, de sorte que l’élément de champ électrique est exprimé comme suit :
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
En intégrant cette expression, nous obtenons :
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Où \mathcal{V} est la représentation paramétrique du volume décrivant la forme du corps chargé.
Exercices :
Barre chargée
Considérez une barre de longueur L uniformément chargée avec une charge Q et disposée verticalement. Déterminez le champ électrique de la barre à une distance horizontale x du centre de la barre.
Anneau chargé
Considérez un anneau de rayon R uniformément chargé avec une charge Q placé sur le plan xy. Déterminez le champ électrique juste à une hauteur z du centre de l’anneau.
Plan infini chargé
Considérez un plan infini uniformément chargé avec une densité de charge surfacique \sigma. Déterminez le champ électrique à une distance L du plan.