序論

前回の授業では 等加速度直線運動 を学び、一定の加速度が運動と同じ方向に作用する場合に何が起こるのかを確認しました。方向に関する制約を取り除くと、依然として等加速度運動ではありますが、もはや直線的ではありません。この場合、運動は放物線の枝に沿って展開され、ここから投射体の発射の研究が始まります。

投射体の発射において、初速度は任意の方向に与えられますが、加速度は重力に典型的な方向を持ちます。投射体を真上に発射すると、鉛直投射となり、これは等加速度直線運動の一例です。

投射体発射の展開

投射体を持っていると仮定しましょう 地上から大砲で初速度 v_0 と傾斜角 \theta. で空中に発射された場合です。この投射体の運動は、与えられた情報から軌道方程式を導出することで容易にモデル化できます。その結果、次のようになります:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

ここで \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) は初速度、\vec{r}_0=(x_0,y_0) は初期位置、そして g=9,81[m/s^2] は重力加速度の大きさです。前段落を観察すると、投射体の速度そのものではなく、速さと発射角が直接与えられていることに気づきます。この情報と少しの三角法を用いれば、初速度を次のように求めることができます:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

ここで v_0 = \|\vec{v}_0\| は初速度の大きさです。さらに初期位置を (x_0,y_0)=(0,0) とすると、軌道方程式は次のように表されます:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

これで投射体の発射に関するいくつかの問いに答えることができます。例えば: どれくらい遠くまで届くか、どの高さまで達するか、落下するまでにどれくらい時間がかかるか、などです。

投射体が達成する最大高度をどのように求めるか?

この問いに答えるためには 投射体が最大高度に達したときに何が起こるかを考える必要があります。このとき鉛直方向の速度成分がゼロになり、したがって次のようになります:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

これは次のように言い換えることができます:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

すなわち、投射体は発射から t=v_0\sin(\theta)/g の時間が経過したときに最大高度に達します。これを「最大高度到達時間」と呼び、次のように表します:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

次に、投射体が到達できる最大高度は、t=t_{alt.max} を投射体の位置の鉛直成分に代入することで得られます。すると次のようになります:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

投射体発射の到達距離をどのように求めるか?

投射体が地面に到達するまでの距離を知りたい場合、投射体発射に関連する軌道方程式に尋ねるだけでよいのです。しかし、それをどのように行うのでしょうか。答えは簡単です。投射体が地面に到達するときに何が起こるのでしょうか。それは位置の高さに対応する座標がゼロになるということです。すなわち:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

ここで投射体が地面に到達する時間を解くことができます。その結果は2つあり、投射体が発射された瞬間と落下したときです。なぜなら、この方程式の可能な解は次のようになるからです:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

ゼロでない解を「落下時間」と呼び、次のように表します:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

上を見返すと t_{caida} = 2t_{alt.max} であることに気づくでしょう。これは、投射体が最大高度に達するまでにかかる時間と、その最高点から落下するまでにかかる時間が同じであるためです。これは投射体の運動にある種の対称性が存在することを示しています。実際、この対称性は高さに対応する座標が放物線の形をしていることからもすでに見て取れます。

落下時間が分かれば、投射体が地面に到達した瞬間に移動した距離を、位置の最初の座標に代入するだけで計算できます:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

投射体の到達距離を最大化する発射角は何か?

最大到達距離を与える発射角を知りたい場合、あるいは自分が知っていることが正しいと証明したい場合は、これまで導出してきた式の中から、その問いを数学的に定式化できるものを用いればよいのです。直前の節で落下距離を計算しましたが、これは発射角の関数となっています:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

正弦関数は +1 と -1 という2つの極値を持ちますが、ここで関心があるのは +1 の場合です。\sin(2\theta)=+1 となるためには 2\theta = 90^o （+2k\pi ですが、ここでは不要なので省略します）が必要であり、したがって \theta=45^o が到達距離を最大化する発射角となります。この問題は、この種の微積分の道具を用いて最適化問題として解くこともできますが、ここではより迅速で同様に示唆的な方法を選びました。

練習問題

1. 投射体が地上から \theta=30^o の仰角で初速度 v_0=70[km/h]. で発射される。a) 投射体が到達する最大高度はどれくらいか。b) 投射体が地面に到達するまでに移動する距離はどれくらいか。c) 投射体が落下するまでにかかる時間はどれくらいか。
2. 地上に設置された大砲が弾丸を 90[km/h] の速さで発射する。この弾丸が水平方向に 20[m] の地点に落下するためには、砲身をどの仰角に調整すべきか。
3. 前の問題の大砲を今度は高さ 5[m] に設置する。この場合、弾丸が依然として水平方向に 20[m] の地点に落下するためには、どの仰角に調整すべきか。
4. 爆撃機が地上から 3 000[m] の高さを 1500[km/h] の速さで飛行している。このとき、重力によって投射体を投下した場合、それが地面に到達するまでにどれくらいの距離を移動するか。