Introductio

In praelectionibus prioribus investigavimus motum rectilineum uniformiter acceleratum et vidimus quid eveniret cum acceleratio constans in eadem directione motus applicaretur. Cum restrictionem de directione tollimus, obtinemus motum uniformiter acceleratum, sed iam non rectilineum. In hoc situ, motus in brachio parabolae explicatur, atque hic nascitur studium iactus proiectilis.

In iactu proiectilis, velocitas initialis in quacumque directione datur, dum acceleratio directionem gravitatis propriam sequitur. Cum iactus proiectilis directe sursum fiat, obtinetur iactus verticalis, qui est casus MRUA.

Evolutio iactus proiectilis

Ponamus nos habere proiectilem in aëra e solo tormento cum velocitate initiali v_0 et angulo inclinationis \theta. Motus huius proiectilis sine difficultate fingi potest extrahendo aequationes itineris ex informatione modo tradita. Hae sic manent:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Ubi \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) est velocitas initialis, \vec{r}_0=(x_0,y_0) est positio initialis et g=9,81[m/s^2] est magnitudo accelerationis gravitatis. Nunc, si paragraphum priorem observamus, animadvertimus non directe nobis dari velocitatem proiectilis, sed eius celeritatem atque angulum iactus. Ex hac informatione et paulo trigonometriae determinari potest velocitas initialis quia:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Ubi v_0 = \|\vec{v}_0\| est magnitudo velocitatis initialis. Si insuper ponimus positionem initialem (x_0,y_0)=(0,0), aequationes itineris sic exprimuntur:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

His iam ad manum possumus respondere ad quaestiones de iactu proiectilium: Quam longe perveniet? Quam altitudinem attinget? Quantum temporis cadendo consumet? etc.

Quomodo determinare altitudinem maximam a proiectili adeptam?

Ad hanc quaestionem respondere debemus nosmet ipsos interrogare: Quid fit cum proiectile altitudinem maximam attingit? Fit ut componentis verticalis velocitatis eius nulla fiat et proinde:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Hoc idem est ac dicere:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

Id est, proiectile altitudinem maximam attingit post tempus t=v_0\sin(\theta)/g a momento iactus. Hoc “tempus altitudinis maximae” appellamus et scribimus:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Deinde, altitudo maxima quam proiectile consequi potest obtineri potest substituendo t=t_{alt.max} in componente verticali positionis proiectilis, unde provenit:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

Quomodo determinare amplitudinem iactus proiectilium?

Si cognoscere vis distantiam quam proiectile percurrit usque ad momentum quo solum tangit, id solum est quod aequationibus itineris ad iactum proiectilium associatis quaerendum est. Sed quomodo id facimus? Simplex est: Quid accidit cum proiectile solum tangit? Accidit ut coordinata positionis altitudini associata fiat nulla, id est:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Hic possumus eruere tempus quo proiectile solum tangit, quod fit bis: in momento quo iacitur et cum cadit, quia solutiones huius aequationis possibilis sunt:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Eventum non nullum “tempus casus” appellamus et scribimus:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Si supra inspicis animadvertes t_{caida} = 2t_{alt.max} quia tempus quod proiectile consumit ad altitudinem maximam attingendam idem est atque quod consumit ad cadendum ex puncto summo. Hoc est indicium quaedam symmetriae in motu proiectilis. Re vera haec symmetria iam apparet cum animadvertis coordinatam altitudini associatam formam parabolae habere.

Cognito tempore casus, iam possibile est computare distantiam quam proiectile percurrit in momento quo solum tangit simpliciter substituendo eam in prima coordinata positionis:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

Quis angulus iactus amplitudinem proiectilis maximam efficit?

Si scire vis quis sit angulus iactus quo iactus proiectilis amplitudinem maximam habet, aut demonstrare vis quod id quod scis revera verum sit, solum est ut inter expressiones quas demonstravimus eligas eam quae sinat quaestionem modo mathematico formare. Iam computavimus distantiam casus in sectione superiore, et haec fit functio anguli iactus:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

Functio sinus duos eventus extremos habet: +1 et -1, sed nobis primus interest. Ut \sin(2\theta)=+1, necesse est 2\theta = 90^o (+2k\pi, sed illam partem omittimus quia non opus est) et proinde \theta=45^o est angulus iactus qui amplitudinem maximam efficit. Hoc problema etiam solvi potest si proponitur ut problema optimizationis (utendo instrumentis huius generis calculi) sed hoc iter elegi quod celerius est atque aeque illustrativum.

Exercitia Proposita

1. Proiectile e solo iactum est, cum angulo elevationis \theta=30^o et celeritate initiali v_0=70[km/h]. a) Quae est altitudo maxima a proiectili consecuta? b) Quam distantiam percurrit proiectile usque ad momentum quo solum tangit? c) Quantum temporis consumit proiectile cadendo?
2. Tormentum in solo positum globum celeritate 90[km/h] emittit. Quo angulo elevationis tormentum aptandum est ut globus ad distantiam horizontalem 20[m] cadat?
3. Idem tormentum ex exercitio priore nunc ad altitudinem 5[m] ponitur. Quo angulo elevationis aptandum est ut globus adhuc ad distantiam horizontalem 20[m] cadat?
4. Bombardarium ad altitudinem 3 000[m] supra solum celeritate 1500[km/h] volat. Si hoc proiectilem suo pondere dimittit, quam distantiam percurrit proiectile ab initio dimissionis usque ad momentum quo solum tangit?