Introdução

Em aulas anteriores estudamos o movimento retilíneo uniformemente acelerado e vimos o que acontece quando uma aceleração constante é aplicada na mesma direção do movimento. Quando removemos a restrição sobre a direção, obtemos um movimento uniformemente acelerado, mas não mais retilíneo. Nesse cenário, o movimento se desenvolve ao longo do braço de uma parábola, e é aqui que começa o estudo do lançamento de projétil.

No lançamento de projétil, a velocidade inicial é dada em qualquer direção, enquanto a aceleração segue a orientação típica da gravidade. Quando o lançamento do projétil é realizado diretamente para cima, obtemos um lançamento vertical, que é um caso de movimento uniformemente acelerado.

Desenvolvimento do Lançamento de Projétil

Suponha que temos um projétil lançado no ar a partir do solo por um canhão com uma velocidade inicial v_0 e um ângulo de inclinação \theta. O movimento desse projétil pode ser modelado sem problemas extraindo suas equações de trajetória a partir das informações que acabamos de fornecer. Essas equações são as seguintes:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Onde \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) é a velocidade inicial, \vec{r}_0=(x_0,y_0) é a posição inicial, e g=9,81[m/s^2] é a magnitude da aceleração da gravidade. Agora, se observarmos o parágrafo anterior, perceberemos que não é indicada diretamente a velocidade do projétil, mas sim sua rapidez e ângulo de lançamento. A partir dessas informações e um pouco de trigonometria, é possível determinar a velocidade inicial porque:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Onde v_0 = \|\vec{v}_0\| é a magnitude da velocidade inicial. Se adicionarmos a posição inicial (x_0,y_0)=(0,0), as equações de trajetória são expressas da seguinte forma:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

Com isso em mãos, podemos responder a algumas perguntas relacionadas ao lançamento de projéteis: Quão longe ele vai? Que altura ele alcançará? Quanto tempo levará para cair? etc.

Como Determinar a Altura Máxima Alcançada por um Projétil?

Para responder a essa pergunta devemos nos perguntar: O que acontece quando o projétil atinge sua altura máxima? O que acontece é que a componente vertical da sua velocidade se anula e, portanto:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Isso é equivalente a dizer que:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

Ou seja, o projétil atinge a altura máxima após um tempo t=v_0\sin(\theta)/g desde o lançamento. Chamamos isso de “tempo de altura máxima” e escrevemos:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Em seguida, a altura máxima que o projétil pode alcançar pode ser obtida substituindo t=t_{alt.max} na componente vertical da posição do projétil, obtendo:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

Como Determinar o Alcance do Lançamento de Projéteis?

Se você quer saber a distância que o projétil percorre até tocar o solo, tudo o que você precisa fazer é perguntar às equações de trajetória associadas ao lançamento de projéteis. Mas como fazemos isso? Simples: O que acontece quando o projétil toca o solo? O que acontece é que a coordenada de posição associada à altura se torna zero, ou seja:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Aqui podemos resolver para o tempo em que o projétil toca o solo, o que acontece duas vezes: no momento do lançamento e quando ele cai, pois as soluções possíveis para esta equação são:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Chamamos o resultado não nulo de “tempo de queda” e escrevemos:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Se você revisar acima, perceberá que t_{caida} = 2t_{alt.max} porque o tempo que o projétil leva para atingir sua altura máxima é o mesmo que leva para cair de seu ponto mais alto. Isso indica uma certa simetria no movimento do projétil. Na verdade, essa simetria já é evidente quando você percebe que a coordenada associada à altura tem a forma de uma parábola.

Conhecendo o tempo de queda, agora é possível calcular a distância que o projétil percorreu quando toca o solo simplesmente substituindo-a na primeira coordenada de posição:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

Qual Ângulo de Lançamento Maximiza o Alcance do Projétil?

Se você quer saber qual ângulo de lançamento maximiza o alcance do projétil, ou deseja provar que o que você sabe é de fato correto, tudo o que você precisa fazer é tomar das expressões que demonstramos aquela que permite formular a pergunta de forma matemática. Já calculamos a distância de queda na seção anterior, e resulta que é uma função do ângulo de lançamento:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

A função seno tem dois resultados extremos possíveis: +1 e -1, mas estamos interessados no primeiro. Para que \sin(2\theta)=+1 é necessário que 2\theta = 90^o (+2k\pi, mas vamos omitir essa parte porque não precisamos dela) e, portanto, \theta=45^o é o ângulo de lançamento que maximiza o alcance. Este problema também pode ser resolvido se o formulamos como um problema de otimização (usando as ferramentas de esta aula de cálculo) mas optei por este caminho que é mais rápido e igualmente ilustrativo.

Exercícios Propostos

1. Um projétil é lançado do solo, com um ângulo de elevação de \theta=30^o e velocidade inicial v_0=70[km/h]. a) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil? b) Que distância o projétil percorre até tocar o solo? c) Quanto tempo o projétil leva para cair?
2. Um canhão colocado no solo dispara uma bala com uma velocidade de 90[km/h] Com que ângulo de elevação deve ser ajustado o canhão para que a bala caia a uma distância horizontal de 20[m]?
3. O mesmo canhão do exercício anterior agora é colocado a uma altura de 5[m] Com que ângulo de elevação deve ser ajustado para que a bala ainda caia a uma distância horizontal de 20[m]?
4. Um bombardeiro voa a uma altura de 3.000[m] acima do solo com uma velocidade de 1.500[km/h]. Se ele soltar um projétil por seu próprio peso, que distância o projétil percorrerá desde o momento em que é solto até tocar o solo?