O Fluxo Elétrico e a Lei de Gauss

Em eletrostática, calcular o campo elétrico “do zero” pode tornar-se muito custoso quando a geometria da distribuição de carga não é trivial. O fluxo elétrico e a Lei de Gauss oferecem um caminho mais inteligente: em vez de lidar com integrais intermináveis, escolhe-se uma superfície fechada adequada e aproveita-se a simetria do sistema para obter resultados claros e verificáveis. Na prática, isso se traduz em menos etapas, menos erros e maior controle conceitual sobre o que está sendo feito. Se você deseja passar de “sei a receita” para “entendo o método”, aqui verá como Gauss transforma problemas que parecem pesados em soluções diretas, e quando realmente convém utilizá-la.

Objetivos de Aprendizagem

1. Explicar o funcionamento da lei de Gauss para o campo elétrico.
2. Utilizar a lei de Gauss para calcular campos elétricos explorando as simetrias dos sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
3. Relacionar as formas integral e diferencial por meio do Teorema da Divergência, identificando o que representa cada termo.
4. Contrastar a abordagem de Gauss com o cálculo direto pela integral de Coulomb, explicando quando reduz a complexidade e quando não fornece uma solução fechada.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS:
Resolução da eletrostática
Linhas de campo elétrico
Nota sobre a densidade das linhas de campo e sua representação
Fluxo de Campo Elétrico
Lei de Gauss
Problemas com simetria esférica
Mais Simetrias
Problemas com com simetria cilíndrica e planar

Resolução da eletrostática

Com o que foi revisado até agora, temos que basta conhecer a forma do elemento de campo elétrico e sua distribuição no espaço para determinar o campo elétrico total. Se tivermos uma distribuição volumétrica, então

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

onde \rho(\vec{r}^\prime) é a densidade volumétrica de carga. No caso de termos uma densidade superficial ou linear de carga, substituiremos \rho por \sigma ou \lambda, respectivamente. A partir deste ponto, o que determina se podemos ou não encontrar o campo elétrico é se conseguimos ou não resolver a integral.

Embora formular o problema costume ser direto, mais cedo ou mais tarde descobriremos que nem sempre é fácil avaliá-lo. De fato, grande parte do estudo da eletrostática consiste em desenvolver estratégias que permitam evitar o cálculo de integrais desnecessariamente complicadas. Muitas dessas simplificações provêm da análise vetorial, em particular do uso da divergência.

Linhas de campo elétrico

Antes de introduzir a análise vetorial em nosso estudo da eletrostática, apresentaremos algumas ideias que ajudarão a tornar o tema um pouco mais intuitivo. Refiro-me às linhas de campo elétrico.

Comecemos pelo mais simples: o campo elétrico de uma carga pontual localizada na origem do sistema de coordenadas. Ele é da forma

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

Isso nos permite representar o campo elétrico no espaço como um conjunto de “setas” cuja direção e magnitude descrevem a direção e a intensidade do campo elétrico em cada ponto.

Dado que a intensidade do campo elétrico decai com o quadrado da distância à origem, os vetores tornam-se cada vez menores à medida que nos afastamos. Além disso, eles apontam radialmente para fora a partir da carga.

Essa representação é útil, mas existe outra ainda mais informativa: “conectar o contínuo de setas” para formar um campo de linhas. Dessa forma, não será o comprimento das setas que indicará a intensidade do campo elétrico, mas sim a “densidade de linhas de campo” no diagrama.

Nota sobre a densidade das linhas de campo e sua representação

Antes de continuar, convém observar um detalhe sobre o diagrama de linhas de campo elétrico. Esse tipo de representação não é totalmente fiel quando desenhado em um plano (2D). Em um desenho 2D, se considerarmos um círculo de raio r, o número total de linhas distribui-se ao longo do perímetro da circunferência, de modo que a densidade linear é

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

Isso decai em relação a r e não em relação a r^2, como se espera que a intensidade do campo elétrico o faça. No entanto, se interpretarmos o modelo em três dimensões (como um ouriço), então o número total de linhas ficaria dividido pela superfície de uma esfera

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

e isso, sim, decai em relação a r^2. Em outras palavras, embora a representação das linhas de campo seja habitualmente feita em 2 dimensões, o que se pretende sintetizar é, na realidade, uma situação em 3 dimensões. Simplesmente não dispomos de papel em três dimensões para desenhá-la: representamos em 2D aquilo que queremos comunicar em 3D.

Fluxo de Campo Elétrico

Quando nos perguntamos pelo número de linhas de campo elétrico que atravessam uma determinada superfície, a resposta é dada pelo fluxo do campo elétrico sobre essa superfície. Assim, define-se o fluxo elétrico de um campo \vec{E} sobre uma superfície S como

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

Não devemos nos deixar enganar pela noção intuitiva de “número de linhas de campo elétrico que atravessam uma superfície”. Lembremos que esse número de linhas (ou densidade de linhas) é uma forma de representar a intensidade do campo elétrico. Portanto, o fluxo elétrico que calculamos é uma grandeza escalar associada à intensidade do campo elétrico que atravessa a superfície S.

Lei de Gauss

Dado que a intensidade do campo elétrico é proporcional à carga elétrica, deveríamos ser capazes de expressar o fluxo elétrico sobre uma superfície que envolve certa carga como uma quantidade proporcional à carga envolvida. De fato, não é difícil demonstrar que isso ocorre. Consideremos a seguinte figura:

A partir disso, tem-se que:

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

Em síntese, obtemos:

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

Esta é a Lei de Gauss para o campo elétrico em sua forma integral, e mostra uma relação de proporcionalidade entre o fluxo elétrico através de uma superfície fechada e a carga envolvida. Note-se que ela foi apresentada em sua “forma integral” para enfatizar que também existe uma forma diferencial, a qual é obtida utilizando o Teorema da Divergência de Gauss no contexto da análise vetorial.

 

Aplicando o teorema da divergência ao fluxo do campo elétrico sobre a superfície fechada S, tem-se que

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

Por outro lado, também se tem

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

A partir dessas duas últimas equações, obtém-se finalmente que

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

Esta é a Lei de Gauss para o campo elétrico em sua forma diferencial.

Agora podemos recorrer à Lei de Gauss para aproveitar melhor as simetrias geométricas de alguns problemas e simplificar, em grande medida, o cálculo das integrais que conduzem ao campo elétrico.

Problemas com simetria esférica

1. Encontrar o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R que possui uma densidade de carga uniforme \sigma. Analise ambos os casos: quando z\lt R e quando z\geq R.
2. Realize a mesma análise do exercício anterior, mas agora considerando uma esfera maciça e uniformemente carregada, com densidade volumétrica \rho. Em seguida, construa um gráfico de \|\vec{E}\| em função de z.
3. Suponhamos que o campo elétrico, a uma distância r da origem do sistema de coordenadas, seja \vec{E}=kr^2\hat{r}, com k constante. Encontre a densidade de carga \rho associada a esse campo.

Mais Simetrias

A lei de Gauss é sempre verdadeira, mas nem sempre é útil. Nos exemplos anteriores, se \rho não fosse uniforme, se não tivéssemos simetria esférica, ou se fosse escolhida outra forma para a superfície gaussiana, continuaria sendo verdade que o fluxo elétrico é q_{enc}/\epsilon_0, mas o campo elétrico não teria por que ser constante nem estar orientado na mesma direção que o elemento d\vec{S}; e, sem essas condições, não podemos extrair \|\vec{E}\| da integral.

A simetria é crucial na aplicação da Lei de Gauss na resolução de problemas.

Existem muitos tipos de simetrias que podemos aproveitar. Entre todas elas, as três seguintes são as mais frequentes:

1. Simetria esférica: A superfície gaussiana é uma esfera concêntrica.
2. Simetria cilíndrica: A superfície gaussiana é um cilindro coaxial.
3. Simetria planar: A superfície gaussiana é uma caixa retangular.

Problemas com con simetria cilíndrica e planar

1. Considere um cabo cilíndrico infinitamente longo, reto, de raio R e carregado com uma densidade de carga \rho da forma

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   onde k é uma constante. Calcule o campo elétrico no interior do cilindro.

2. Encontrar o campo elétrico que produz um plano infinito provido de uma densidade uniforme de carga \sigma.