Le Flux Électrique et la Loi de Gauss

En électrostatique, calculer le champ électrique « à partir de zéro » peut devenir très coûteux lorsque la géométrie de la distribution de charge n’est pas triviale. Le flux électrique et la loi de Gauss offrent une voie plus intelligente : au lieu de se battre avec des intégrales interminables, on choisit une surface fermée appropriée et on exploite la symétrie du système afin d’obtenir des résultats clairs et vérifiables. En pratique, cela se traduit par moins d’étapes, moins d’erreurs et un meilleur contrôle conceptuel de ce que l’on fait. Si vous souhaitez passer de « je connais la recette » à « je comprends la méthode », vous verrez ici comment Gauss transforme des problèmes qui semblent lourds en solutions directes, et dans quels cas son utilisation est réellement pertinente.

Objectifs d’Apprentissage

1. Expliquer le fonctionnement de la loi de Gauss pour le champ électrique.
2. Utiliser la loi de Gauss pour calculer des champs électriques en exploitant les symétries des coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
3. Relier les formes intégrale et différentielle au moyen du théorème de la divergence, en identifiant ce que représente chaque terme.
4. Comparer l’approche de Gauss avec le calcul direct par l’intégrale de Coulomb, en expliquant quand elle réduit la complexité et quand elle ne fournit pas de solution fermée.

INDEX DES CONTENUS:
Résolution de l’électrostatique
Lignes de champ électrique
Remarque sur la densité des lignes de champ et leur représentation
Flux du Champ Électrique
Loi de Gauss
Problèmes à symétrie sphérique
Autres Symétries
Problèmes à symétrie cylindrique et planaire

Résolution de l’électrostatique

D’après ce que nous avons examiné jusqu’à présent, nous constatons que il suffit de connaître la forme de l’élément de champ électrique et sa distribution dans l’espace pour déterminer le champ électrique total. Si nous avons une distribution volumique, alors

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

où \rho(\vec{r}^\prime) est la densité volumique de charge. Dans le cas d’une densité surfacique ou linéique de charge, nous remplacerons \rho par \sigma ou \lambda, respectivement. À partir de ce point, ce qui détermine si nous pouvons ou non trouver le champ électrique est notre capacité à résoudre ou non l’intégrale.

Bien que la formulation du problème soit généralement directe, nous découvrirons tôt ou tard qu’il n’est pas toujours facile de l’évaluer. En effet, une grande partie de l’étude de l’électrostatique consiste à développer des stratégies permettant d’éviter le calcul d’intégrales inutilement compliquées. Bon nombre de ces simplifications proviennent de l’analyse vectorielle, en particulier de l’utilisation de la divergence.

Lignes de champ électrique

Avant d’introduire l’analyse vectorielle dans notre étude de l’électrostatique, nous présenterons quelques idées qui contribueront à rendre le sujet un peu plus intuitif. Il s’agit des lignes de champ électrique.

Commençons par le cas le plus simple : le champ électrique d’une charge ponctuelle située à l’origine du système de coordonnées. Celui-ci est de la forme

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

Cela nous permet de représenter le champ électrique dans l’espace comme un ensemble de « flèches » dont la direction et la longueur décrivent la direction et l’intensité du champ électrique en chaque point.

Étant donné que l’intensité du champ électrique décroît avec le carré de la distance à l’origine, les vecteurs deviennent de plus en plus petits à mesure que l’on s’en éloigne. De plus, ils pointent radialement depuis la charge vers l’extérieur.

Cette représentation est utile, mais il en existe une autre encore plus informative : « relier le continuum de flèches » afin de former un champ de lignes. De cette manière, ce ne sera plus la longueur des flèches qui indiquera l’intensité du champ électrique, mais la « densité des lignes de champ » dans le diagramme.

Remarque sur la densité des lignes de champ et leur représentation

Avant de poursuivre, il convient de noter un détail concernant le diagramme des lignes de champ électrique. Ce type de représentation n’est pas totalement fidèle lorsqu’il est tracé dans un plan (2D). Dans un dessin 2D, si l’on considère un cercle de rayon r, le nombre total de lignes se répartit sur le périmètre de la circonférence, de sorte que la densité linéaire est

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

Celle-ci décroît en fonction de r et non de r^2, comme on s’attendrait à ce que le fasse l’intensité du champ électrique. Cependant, si l’on interprète le modèle en trois dimensions (comme un hérisson), alors le nombre total de lignes serait réparti sur la surface d’une sphère

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

et cela décroît bien en fonction de r^2. Autrement dit, bien que la représentation des lignes de champ soit habituellement réalisée en deux dimensions, ce que l’on cherche en réalité à synthétiser est une situation en trois dimensions. Nous n’avons simplement pas de papier en trois dimensions pour la dessiner : nous représentons en 2D ce que nous souhaitons communiquer en 3D.

Flux de Champ Électrique

Lorsque nous nous interrogeons sur le nombre de lignes de champ électrique qui traversent une surface donnée, la réponse est fournie par le flux du champ électrique à travers cette surface. Ainsi, on définit le flux électrique d’un champ \vec{E} à travers une surface S comme

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

Nous ne devons pas nous laisser tromper par la notion intuitive de « nombre de lignes de champ électrique qui traversent une surface ». Rappelons que ce nombre de lignes (ou la densité de lignes) constitue une manière de représenter l’intensité du champ électrique. Par conséquent, le flux électrique que nous calculons est une grandeur scalaire associée à l’intensité du champ électrique qui traverse la surface S.

Loi de Gauss

Étant donné que l’intensité du champ électrique est proportionnelle à la charge électrique, nous devrions pouvoir exprimer le flux électrique à travers une surface qui renferme une certaine charge comme une quantité proportionnelle à la charge enfermée. En effet, il n’est pas difficile de montrer que c’est bien le cas. Considérons la figure suivante :

À partir de cela, on obtient :

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

En synthèse, nous obtenons :

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

Il s’agit de la Loi de Gauss pour le champ électrique sous sa forme intégrale, qui montre une relation de proportionnalité entre le flux électrique à travers une surface fermée et la charge enfermée. Notons que je l’ai présentée sous sa « forme intégrale » afin de souligner qu’il existe également une forme différentielle, laquelle s’obtient en utilisant le théorème de la divergence de Gauss dans le cadre de l’analyse vectorielle.

 

En appliquant le théorème de la divergence au flux du champ électrique à travers la surface fermée S, on obtient

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

Par ailleurs, on a également

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

À partir de ces deux dernières équations, on obtient finalement

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

Il s’agit de la Loi de Gauss pour le champ électrique sous sa forme différentielle.

Nous pouvons désormais utiliser la loi de Gauss afin de mieux exploiter les symétries géométriques de certains problèmes et de simplifier, dans une large mesure, le calcul des intégrales qui conduisent au champ électrique.

Problèmes à symétrie sphérique

1. Déterminer le champ électrique à une distance z du centre d’une surface sphérique de rayon R qui possède une densité de charge uniforme \sigma. Analyser les deux cas : lorsque z\lt R, et lorsque z\geq R.
2. Effectuer la même analyse que dans l’exercice précédent, mais en considérant cette fois une sphère pleine et uniformément chargée avec une densité volumique \rho. Réaliser ensuite un graphique de \|\vec{E}\| en fonction de z.
3. Supposons que le champ électrique, à une distance r de l’origine du système de coordonnées, soit \vec{E}=kr^2\hat{r}, avec k constante. Trouver la densité de charge \rho associée à ce champ.

Autres Symétries

La loi de Gauss est toujours vraie, mais elle n’est pas toujours utile. Dans les exemples précédents, si \rho n’était pas uniforme, si nous ne disposions pas d’une symétrie sphérique, ou si une autre forme était choisie pour la surface gaussienne, il resterait vrai que le flux électrique vaut q_{enc}/\epsilon_0, mais le champ électrique ne serait pas nécessairement constant ni orienté dans la même direction que l’élément d\vec{S} ; et sans ces conditions, nous ne pouvons pas extraire \|\vec{E}\| de l’intégrale.

La symétrie est cruciale dans l’application de la loi de Gauss à la résolution des problèmes.

Il existe de nombreux types de symétries que nous pouvons exploiter. Parmi toutes celles-ci, les trois suivantes sont les plus fréquentes :

1. Symétrie sphérique : la surface gaussienne est une sphère concentrique.
2. Symétrie cylindrique : la surface gaussienne est un cylindre coaxial.
3. Symétrie planaire : la surface gaussienne est une boîte rectangulaire.

Problèmes à symétrie cylindrique et planaire

1. Considérez un câble cylindrique infiniment long, rectiligne, de rayon R et chargé avec une densité de charge \rho de la forme

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   où k est une constante. Calculez le champ électrique à l’intérieur du cylindre.

2. Trouver le champ électrique produit par un plan infini muni d’une densité uniforme de charge \sigma.