الفيض الكهربائي وقانون غاوس

في الكهروستاتيكا، قد يصبح حساب المجال الكهربائي «من الصفر» مكلفًا جدًا عندما لا تكون هندسة توزع الشحنة بسيطة. يوفّر الفيض الكهربائي وقانون غاوس مسارًا أكثر ذكاءً: فبدلًا من التعامل مع تكاملات لا تنتهي، تختار سطحًا مغلقًا مناسبًا وتستفيد من تناظر النظام للحصول على نتائج واضحة وقابلة للتحقق. عمليًا، يترجم ذلك إلى خطوات أقل، وأخطاء أقل، وسيطرة مفاهيمية أكبر على ما تقوم به. إذا كنت تريد الانتقال من «أعرف الوصفة» إلى «أفهم المنهج»، فهنا سترى كيف يحوّل غاوس مسائل تبدو ثقيلة إلى حلول مباشرة، ومتى يكون استخدامه مجديًا بالفعل.

أهداف التعلّم

1. شرح كيفية عمل قانون غاوس للمجال الكهربائي.
2. استخدام قانون غاوس لحساب المجالات الكهربائية بالاستفادة من تناظرات الإحداثيات الديكارتية والأسطوانية والكروية.
3. ربط الصيغة التكاملية بالصيغة التفاضلية عبر مبرهنة التباعد، مع تحديد ما يمثله كل حد.
4. مقارنة منهج غاوس بالحساب المباشر باستخدام تكامل كولوم، مع توضيح متى يقلّل التعقيد ومتى لا يقدّم حلاً مغلقًا.

فهرس المحتويات:
حل مسائل الكهروستاتيكا
خطوط المجال الكهربائي
ملاحظة حول كثافة خطوط المجال وتمثيلها
فيض المجال الكهربائي
قانون غاوس
مسائل ذات تناظر كروي
تناظرات إضافية
مسائل ذات تناظر أسطواني ومستوي

حل مسائل الكهروستاتيكا

استنادًا إلى ما تمت مراجعته حتى الآن لدينا أن معرفة شكل عنصر المجال الكهربائي وتوزيعه في الفضاء تكفي لتحديد المجال الكهربائي الكلي. إذا كانت لدينا توزيعة حجمية، فإن

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

حيث إن \rho(\vec{r}^\prime) تمثل كثافة الشحنة الحجمية. وفي حال وجود كثافة سطحية أو خطية للشحنة، سنستبدل \rho بـ \sigma أو \lambda، على الترتيب. ابتداءً من هذه النقطة، فإن ما يحدد ما إذا كان بإمكاننا إيجاد المجال الكهربائي أم لا هو قدرتنا على حل التكامل.

على الرغم من أن صياغة المسألة تكون عادة مباشرة، إلا أننا سنكتشف عاجلًا أم آجلًا أن تقييمها ليس دائمًا سهلًا. في الواقع، يتمثل جزء كبير من دراسة الكهروستاتيكا في تطوير استراتيجيات تتيح تجنب حساب تكاملات معقدة دون داعٍ. وتنبع كثير من هذه التبسيطات من التحليل المتجهي، ولا سيما من استخدام التباعد.

خطوط المجال الكهربائي

قبل إدخال التحليل المتجهي في دراستنا للكهروستاتيكا، سنعرض بعض الأفكار التي ستساعد على جعل الموضوع أكثر حدسية. وأقصد بذلك خطوط المجال الكهربائي.

لنبدأ بالأبسط: المجال الكهربائي لشحنة نقطية موضوعة عند أصل الإحداثيات. ويكون على الصورة

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

يتيح لنا ذلك تمثيل المجال الكهربائي في الفضاء على هيئة مجموعة من «الأسهم» التي تصف اتجاه وشدة المجال الكهربائي عند كل نقطة.

وبما أن شدة المجال الكهربائي تتناقص مع مربع المسافة عن الأصل، فإن المتجهات تصبح أصغر فأصغر كلما ابتعدنا. إضافة إلى ذلك، فإنها تتجه شعاعيًا من الشحنة إلى الخارج.

هذا التمثيل مفيد، لكن توجد طريقة أخرى أكثر إفادة: «وصل الاستمرارية بين الأسهم» لتكوين مجال من الخطوط. وبهذه الطريقة، لن يكون طول الأسهم هو الذي يدل على شدة المجال الكهربائي، بل «كثافة خطوط المجال» في المخطط.

ملاحظة حول كثافة خطوط المجال وتمثيلها

قبل المتابعة، يجدر التنبيه إلى تفصيل يتعلق بمخطط خطوط المجال الكهربائي. هذا النوع من التمثيل ليس دقيقًا تمامًا عندما يُرسَم على مستوى (ثنائي الأبعاد). ففي رسم ثنائي الأبعاد، إذا اعتبرنا دائرة نصف قطرها r، فإن العدد الكلي للخطوط يتوزع على محيط الدائرة، بحيث تكون الكثافة الخطية

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

وهذا يتناقص بالنسبة إلى r وليس بالنسبة إلى r^2، كما يُتوقَّع أن تفعل شدة المجال الكهربائي. غير أنه إذا فُسِّر النموذج في ثلاثة أبعاد (كما في صورة القنفذ)، فإن العدد الكلي للخطوط سيتوزع على سطح كرة

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

وهذا بالفعل يتناقص بالنسبة إلى r^2. وبعبارة أخرى، على الرغم من أن تمثيل خطوط المجال يُنجَز عادة في بعدين، فإن المقصود فعليًا هو تلخيص حالة ثلاثية الأبعاد. نحن ببساطة لا نملك ورقًا ثلاثي الأبعاد لرسمها: نمثل في بعدين ما نريد إيصاله في ثلاثة أبعاد.

فيض المجال الكهربائي

عندما نتساءل عن عدد خطوط المجال الكهربائي التي تعبر سطحًا معينًا، فإن الجواب يُعطى بواسطة فيض المجال الكهربائي عبر ذلك السطح. وعليه، يُعرَّف الفيض الكهربائي لمجال \vec{E} عبر سطح S كما يلي

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

لا ينبغي أن ننخدع بالفكرة الحدسية لـ«عدد خطوط المجال الكهربائي التي تعبر سطحًا ما». لنتذكر أن عدد هذه الخطوط (أو كثافتها) ليس سوى طريقة لتمثيل شدة المجال الكهربائي. وبالتالي، فإن الفيض الكهربائي الذي نحسبه هو كمية قياسية مرتبطة بشدة المجال الكهربائي التي تعبر السطح S.

قانون غاوس

بما أن شدة المجال الكهربائي تتناسب مع الشحنة الكهربائية، فينبغي أن نتمكن من التعبير عن الفيض الكهربائي عبر سطح يحصر شحنة معينة على أنه كمية تتناسب مع الشحنة المحصورة. في الواقع، ليس من الصعب إثبات أن الأمر كذلك. لِنعتبر الشكل الآتي:

انطلاقًا من ذلك نحصل على:

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

خلاصة القول، نحصل على:

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

هذا هو قانون غاوس للمجال الكهربائي بصيغته التكاملية، ويُظهر علاقة تناسب بين الفيض الكهربائي عبر سطح مغلق والشحنة المحصورة داخله. لاحظ أنني قدمته بصيغته «التكاملية» للتأكيد على وجود صيغة تفاضلية أيضًا، والتي تُستخلص باستخدام مبرهنة التباعد لغاوس في سياق التحليل المتجهي.

 

بتطبيق مبرهنة التباعد على فيض المجال الكهربائي عبر السطح المغلق S نحصل على

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

ومن جهة أخرى، لدينا أيضًا

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

انطلاقًا من هاتين المعادلتين الأخيرتين، نحصل في النهاية على

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

وهذا هو قانون غاوس للمجال الكهربائي بصيغته التفاضلية.

يمكننا الآن الاستفادة من قانون غاوس لاستغلال التناظرات الهندسية لبعض المسائل وتبسيط، إلى حد كبير، حساب التكاملات التي تقود إلى المجال الكهربائي.

مسائل ذات تناظر كروي

1. أوجد المجال الكهربائي على مسافة z من مركز سطح كروي نصف قطره R وله كثافة شحنة سطحية منتظمة \sigma. حلّل الحالتين معًا: عندما z\lt R، وعندما z\geq R.
2. أجرِ التحليل نفسه كما في التمرين السابق، ولكن هذه المرة مع كرة مصمتة ومشحونة بانتظام بكثافة حجمية \rho. ثم ارسم مخططًا لـ \|\vec{E}\| بدلالة z.
3. لنفترض أن المجال الكهربائي، على مسافة r من أصل الإحداثيات، هو \vec{E}=kr^2\hat{r}، حيث k ثابت. أوجد كثافة الشحنة \rho المرتبطة بهذا المجال.

تناظرات إضافية

قانون غاوس صحيح دائمًا، لكنه ليس مفيدًا دائمًا. ففي الأمثلة السابقة، لو لم تكن \rho منتظمة، أو لو لم تتوافر تناظرية كروية، أو لو اختير شكل آخر للسطح الغاوسي، فسيبقى صحيحًا أن الفيض الكهربائي يساوي q_{enc}/\epsilon_0، لكن المجال الكهربائي لن يكون بالضرورة ثابتًا ولا موجَّهًا في الاتجاه نفسه لعنصر السطح d\vec{S}؛ وبدون هذه الشروط لا يمكننا إخراج \|\vec{E}\| من التكامل.

تُعدّ التناظرية عاملًا حاسمًا في تطبيق قانون غاوس عند حل المسائل.

توجد أنواع عديدة من التناظرات التي يمكن الاستفادة منها. ومن بينها، فإن الأنواع الثلاثة الآتية هي الأكثر شيوعًا:

1. تناظر كروي: يكون السطح الغاوسي كرة متراكزة.
2. تناظر أسطواني: يكون السطح الغاوسي أسطوانة محورية مشتركة.
3. تناظر مستوٍ: يكون السطح الغاوسي صندوقًا مستطيليًا.

مسائل ذات تناظر أسطواني ومستوي

1. اعتبر سلكًا أسطوانيًا طويلًا جدًا، مستقيمًا، نصف قطره R ومشحونًا بكثافة شحنة \rho على الصورة

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   حيث إن k ثابت. احسب المجال الكهربائي داخل الأسطوانة.

2. أوجد المجال الكهربائي الناتج عن مستوى لانهائي مزوّد بكثافة شحنة سطحية منتظمة \sigma.