Электрический поток и закон Гаусса

В электростатике вычисление электрического поля «с нуля» может стать весьма затратным, когда геометрия распределения заряда не является тривиальной. Электрический поток и закон Гаусса предлагают более рациональный путь: вместо борьбы с бесконечными интегралами выбирается подходящая замкнутая поверхность и используется симметрия системы для получения строгих и проверяемых результатов. На практике это означает меньше шагов, меньше ошибок и больший концептуальный контроль над выполняемыми действиями. Если вы хотите перейти от «я знаю рецепт» к «я понимаю метод», здесь вы увидите, как Гаусс превращает задачи, которые кажутся громоздкими, в прямые решения, и в каких случаях его применение действительно оправдано.

Цели обучения

1. Объяснить принцип действия закона Гаусса для электрического поля.
2. Использовать закон Гаусса для вычисления электрических полей, опираясь на симметрии декартовых, цилиндрических и сферических координат.
3. Связать интегральную и дифференциальную формы с помощью теоремы о дивергенции, определяя физический смысл каждого члена.
4. Сопоставить подход Гаусса с прямым вычислением по интегралу Кулона, объясняя, когда он уменьшает сложность задачи и когда не приводит к замкнутому решению.

ОГЛАВЛЕНИЕ:
Решение задач электростатики
Линии электрического поля
Примечание о плотности линий поля и их представлении
Поток электрического поля
Закон Гаусса
Задачи со сферической симметрией
Другие симметрии
Задачи с цилиндрической и плоской симметрией

Решение задач электростатики

На основании рассмотренного до сих пор мы видим, что достаточно знать форму элементарного вклада электрического поля и его распределение в пространстве, чтобы определить полное электрическое поле. Если мы имеем объёмное распределение, то

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \int_V d\vec{E}(\vec{r})= \int_V \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0}\frac{\vec{r}-\vec{r}^\prime}{\|\vec{r}-\vec{r}^\prime\|^3}dV

где \rho(\vec{r}^\prime) является объёмной плотностью заряда. В случае поверхностной или линейной плотности заряда мы заменим \rho на \sigma или \lambda соответственно. Начиная с этого момента, возможность или невозможность нахождения электрического поля определяется тем, удаётся ли нам вычислить данный интеграл.

Хотя постановка задачи обычно является прямолинейной, рано или поздно становится ясно, что её вычисление не всегда оказывается простым. Фактически значительная часть электростатики посвящена разработке стратегий, позволяющих избегать вычисления интегралов, излишне сложных с технической точки зрения. Многие из этих упрощений основаны на векторном анализе, в частности на использовании дивергенции.

Линии электрического поля

Прежде чем вводить векторный анализ в наше изучение электростатики, мы представим несколько идей, которые сделают тему более интуитивно понятной. Речь идёт о линиях электрического поля.

Начнём с самого простого случая: электрического поля точечного заряда, расположенного в начале координат. Оно имеет вид

\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r}

Это позволяет представить электрическое поле в пространстве как совокупность «стрелок», направление и длина которых описывают направление и интенсивность электрического поля в каждой точке.

Поскольку напряжённость электрического поля убывает пропорционально квадрату расстояния от начала координат, векторы становятся всё меньшими по мере удаления. Кроме того, они направлены радиально наружу от заряда.

Это представление полезно, однако существует ещё более информативное: «соединить непрерывное множество стрелок» так, чтобы получить поле линий. В этом случае интенсивность электрического поля будет определяться уже не длиной стрелок, а «плотностью линий поля» на диаграмме.

Примечание о плотности линий поля и их представлении

Прежде чем продолжить, полезно отметить одну деталь, касающуюся диаграммы линий электрического поля. Такой тип представления не является полностью корректным, когда он изображается на плоскости (2D). В двумерном рисунке, если рассмотреть окружность радиуса r, общее число линий распределяется по периметру окружности, так что линейная плотность равна

\displaystyle \frac{n}{2\pi r}

Это убывает по r, а не по r^2, как ожидается для напряжённости электрического поля. Однако если интерпретировать модель в трёх измерениях (как «ёж»), то общее число линий будет делиться на поверхность сферы

\displaystyle \frac{n}{4\pi r^2}

и в этом случае оно действительно убывает по r^2. Иными словами, хотя представление линий поля обычно выполняется в двух измерениях, на самом деле предполагается ситуация в трёх измерениях. У нас просто нет трёхмерной бумаги, чтобы её изобразить: мы представляем в 2D то, что хотим передать в 3D.

Поток электрического поля

Когда мы задаёмся вопросом о числе линий электрического поля, пересекающих некоторую поверхность, ответ даётся потоком электрического поля через эту поверхность. Таким образом, электрический поток поля \vec{E} через поверхность S определяется как

\Phi_{\vec{E},S} =\displaystyle \int_S \vec{E}\cdot d\vec{S}

Не следует вводить себя в заблуждение интуитивным понятием «числа линий электрического поля, пересекающих поверхность». Напомним, что это число линий (или плотность линий) является лишь способом представления интенсивности электрического поля. Следовательно, вычисляемый электрический поток представляет собой скалярную величину, связанную с интенсивностью электрического поля, проходящего через поверхность S.

Закон Гаусса

Поскольку напряжённость электрического поля пропорциональна электрическому заряду, мы должны иметь возможность выразить электрический поток через поверхность, охватывающую некоторый заряд, как величину, пропорциональную заключённому заряду. Действительно, нетрудно показать, что это так. Рассмотрим следующую фигуру:

Из этого следует, что:

\begin{array}{rl} \displaystyle \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} &= \displaystyle \oint_S \left(\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_{enc}}{\|\vec{r}\|^2}\hat{r} \right)\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \oint_S \frac{\hat{r}}{\|\vec{r}\|^2}\cdot d\vec{S} \\ \\ & = \displaystyle \frac{q_{enc}}{4\pi\epsilon_0} \underbrace{\oint_S d{\Omega}}_{= 4\pi} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} \end{array}

В итоге получаем:

\displaystyle\color{blue}{\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}}

Это есть закон Гаусса для электрического поля в интегральной форме, который показывает пропорциональную зависимость между электрическим потоком через замкнутую поверхность и заключённым зарядом. Обратите внимание, что он представлен в «интегральной форме», чтобы подчеркнуть существование также дифференциальной формы, которая получается с использованием теоремы Гаусса о дивергенции в рамках векторного анализа.

 

Применяя теорему о дивергенции к потоку электрического поля через замкнутую поверхность S, получаем

\displaystyle \oint_S\vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{E})dV = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}

С другой стороны, также имеет место

\displaystyle \frac{q_{enc}}{\epsilon_0} = \int_V \frac{\rho}{\epsilon_0} dV

Из этих двух последних уравнений в конечном итоге следует

\displaystyle \color{blue}{\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}}

Это есть закон Гаусса для электрического поля в дифференциальной форме.

Теперь мы можем использовать закон Гаусса, чтобы более эффективно задействовать геометрические симметрии некоторых задач и в значительной степени упростить вычисление интегралов, приводящих к электрическому полю.

Задачи со сферической симметрией

1. Найти электрическое поле на расстоянии z от центра сферической поверхности радиуса R, имеющей однородную поверхностную плотность заряда \sigma. Проанализировать оба случая: когда z\lt R и когда z\geq R.
2. Выполнить тот же анализ, что и в предыдущем упражнении, но теперь для сплошной сферы, равномерно заряженной с объёмной плотностью \rho. Затем построить график зависимости \|\vec{E}\| от z.
3. Предположим, что электрическое поле на расстоянии r от начала координат имеет вид \vec{E}=kr^2\hat{r}, где k — константа. Найдите плотность заряда \rho, соответствующую данному полю.

Другие симметрии

Закон Гаусса всегда является истинным, но не всегда оказывается полезным. В предыдущих примерах, если бы \rho не была однородной, если бы отсутствовала сферическая симметрия или если бы для гауссовой поверхности была выбрана другая форма, по-прежнему оставалось бы верным, что электрический поток равен q_{enc}/\epsilon_0, однако электрическое поле не обязано быть постоянным и направленным так же, как элемент d\vec{S}; а без этих условий невозможно вынести \|\vec{E}\| из-под знака интеграла.

Симметрия играет ключевую роль при применении закона Гаусса к решению задач.

Существует множество типов симметрий, которые можно использовать. Среди них наиболее часто встречаются следующие три:

1. Сферическая симметрия: гауссова поверхность представляет собой концентрическую сферу.
2. Цилиндрическая симметрия: гауссова поверхность представляет собой коаксиальный цилиндр.
3. Плоская симметрия: гауссова поверхность представляет собой прямоугольную коробку.

Задачи с цилиндрической и плоской симметрией

1. Рассмотрите цилиндрический провод бесконечной длины, прямой, радиуса R, заряженный с плотностью заряда \rho вида

   \rho(r) = \left\{\begin{array}{lll} kr & ; & r\lt R \\ \\ 0 & ; & R\lt r \\ \\ \end{array}\right.

   где k является константой. Вычислите электрическое поле внутри цилиндра.

2. Найти электрическое поле, создаваемое бесконечной плоскостью, обладающей однородной поверхностной плотностью заряда \sigma.