Введение

На предыдущих занятиях мы изучали равномерно ускоренное прямолинейное движение и увидели, что происходит, когда постоянное ускорение применяется в том же направлении, что и движение. Когда мы убираем ограничение на направление, мы получаем равномерно ускоренное движение, но уже не прямолинейное. В этом случае движение происходит по дуге параболы, и здесь начинается изучение движения снаряда.

В движении снаряда начальная скорость задается в любом направлении, в то время как ускорение направлено вдоль типичной линии гравитации. Когда снаряд запускается прямо вверх, мы получаем вертикальный запуск, что является случаем равномерно ускоренного движения.

Развитие движения снаряда

Предположим, что у нас есть снаряд, запущенный в воздух с земли пушкой с начальной скоростью v_0 и углом наклона \theta. Движение этого снаряда можно смоделировать, без проблем извлекая его уравнения траектории из предоставленной информации. Эти уравнения выглядят следующим образом:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Где \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) это начальная скорость, \vec{r}_0=(x_0,y_0) это начальное положение, и g=9.81[m/s^2] это величина ускорения свободного падения. Теперь, если мы посмотрим на предыдущий абзац, мы заметим, что скорость снаряда не указана напрямую, а указаны его скорость и угол запуска. Из этой информации и с помощью немного тригонометрии можно определить начальную скорость, потому что:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Где v_0 = \|\vec{v}_0\| это величина начальной скорости. Если мы также добавим начальное положение (x_0,y_0)=(0,0), то уравнения траектории примут следующий вид:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

С этими уравнениями мы можем ответить на некоторые вопросы, связанные с запуском снаряда: как далеко он пролетит? какова высота, которой он достигнет? сколько времени потребуется для падения? и т.д.

Как определить максимальную высоту, достигнутую снарядом?

Чтобы ответить на этот вопрос мы должны задаться вопросом: что происходит, когда снаряд достигает своей максимальной высоты? Происходит то, что вертикальная компонента его скорости становится нулевой, и, следовательно:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Это эквивалентно утверждению:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

То есть снаряд достигает максимальной высоты через время t=v_0\sin(\theta)/g после запуска. Мы называем это «время максимальной высоты» и записываем:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Затем максимальная высота, которой может достичь снаряд, может быть определена путем замены t=t_{alt.max} в вертикальной компоненте положения снаряда, получая:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

Как определить дальность движения снаряда?

Если вы хотите узнать расстояние, которое снаряд пролетит до момента касания земли, вам просто нужно спросить уравнения траектории, связанные с запуском снаряда. Но как это сделать? Просто: что происходит, когда снаряд касается земли? Происходит то, что координата положения, связанная с высотой, становится равной нулю, то есть:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Здесь мы можем решить уравнение для времени, когда снаряд касается земли, что происходит в двух случаях: в момент запуска и при падении, потому что возможные решения этого уравнения таковы:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Ненулевой результат мы называем «временем падения» и записываем:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Если вы посмотрите выше, вы заметите, что t_{caida} = 2t_{alt.max} потому что время, необходимое снаряду для достижения максимальной высоты, равно времени, необходимому для падения с его самой высокой точки. Это указывает на определенную симметрию в движении снаряда. На самом деле, эта симметрия проявляется, когда вы замечаете, что координата, связанная с высотой, имеет форму параболы.

Зная время падения, теперь можно вычислить расстояние, которое снаряд пролетел до момента касания земли, просто заменив его в первой координате положения:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

Какой угол запуска максимизирует дальность полета снаряда?

Если вы хотите узнать какой угол запуска максимизирует дальность полета снаряда, или хотите доказать, что вы знаете это правильно, вам просто нужно взять из продемонстрированных нами выражений то, которое позволяет вам сформулировать вопрос математически. Мы уже вычислили расстояние падения в предыдущем разделе, и оно является функцией угла:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

Функция синуса имеет два возможных экстремальных значения: +1 и -1, но нас интересует первое. Чтобы \sin(2\theta)=+1, необходимо, чтобы 2\theta = 90^o (+2k\pi, но мы опустим эту часть, потому что она нам не нужна), и поэтому \theta=45^o это угол запуска, который максимизирует дальность. Эту задачу можно также решить, если мы сформулируем ее как задачу оптимизации (с использованием инструментов этого курса по дифференциальному исчислению), но я выбрал этот путь, который быстрее и так же иллюстративен.

Предлагаемые упражнения

1. Снаряд запускается с земли под углом подъема \theta=30^o и начальной скоростью v_0=70[km/h]. а) Какова максимальная высота, достигаемая снарядом? б) Каково расстояние, которое пролетает снаряд до момента касания земли? в) Сколько времени требуется снаряду для падения?
2. Пушка, установленная на земле, стреляет пулей со скоростью 90[km/h]？ Под каким углом подъема нужно настроить пушку, чтобы пуля упала на горизонтальном расстоянии 20[m]？
3. Та же пушка из предыдущего упражнения теперь установлена на высоте 5[m]？ Под каким углом подъема нужно настроить пушку, чтобы пуля все еще упала на горизонтальном расстоянии 20[m]？
4. Бомбардировщик летит на высоте 3,000[m]？ над землей со скоростью 1,500[km/h]. Если он сбрасывает снаряд по собственной массе, какое расстояние пройдет снаряд с момента сброса до момента касания земли?