介绍

在之前的课程中，我们研究了匀加速直线运动，并了解了当匀加速施加在与运动方向相同的方向时会发生什么。当我们取消对方向的限制时，我们得到的是匀加速运动，但不再是直线运动。在这种情况下，运动沿着抛物线的一部分进行，这就是投射运动的研究开始的地方。

在投射运动中，初速度可以在任何方向上给出，而加速度则遵循重力的典型方向。当投射物直接向上发射时，我们得到的是一个垂直发射，这是一种匀加速运动的情况。

投射运动的发展

假设我们有一个投射物从地面由一门大炮以初速度 v_0 和一个倾角 \theta 向空中发射。这个投射物的运动可以通过提取其轨迹方程来建模，这些方程如下：

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

其中 \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) 是初速度，\vec{r}_0=(x_0,y_0) 是初始位置，g=9.81[m/s^2] 是重力加速度的大小。现在，如果我们观察前面的段落，我们会注意到没有直接指出投射物的速度，而是它的速率和发射角。从这些信息和一点三角学可以确定初速度，因为：

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

其中 v_0 = \|\vec{v}_0\| 是初速度的大小。如果我们再加上初始位置 (x_0,y_0)=(0,0)，轨迹方程表达如下：

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

有了这些我们就可以回答一些与投射物发射有关的问题：它能走多远？它能达到什么高度？它需要多长时间才能掉下来？等等。

如何确定投射物达到的最大高度？

要回答这个问题我们必须问自己：当投射物达到其最大高度时会发生什么？发生的事情是它的垂直速度分量变为零，因此：

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

这相当于说：

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

也就是说，投射物在发射后经过 t=v_0\sin(\theta)/g 的时间达到最大高度。我们称之为”最大高度时间”，并写作：

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

然后，投射物能够达到的最大高度可以通过在投射物位置的垂直分量中替换 t=t_{alt.max} 来得到：

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

如何确定投射运动的范围？

如果你想知道投射物在触地之前走了多远，你只需要向与投射物发射相关的轨迹方程询问。但我们如何做到这一点呢？简单：当投射物触地时会发生什么？发生的事情是与高度相关的位置坐标变为零，即：

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

在这里我们可以解出投射物触地的时间，这发生在两个时刻：发射时刻和它落地时刻，因为这个方程的可能解是：

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

我们称非零解为”下降时间”，并写作：

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

如果你回顾上文，你会发现 t_{caida} = 2t_{alt.max} 因为投射物达到最大高度所需的时间与从最高点下降所需的时间相同。这表明了投射运动中的某种对称性。事实上，当你注意到与高度相关的坐标具有抛物线的形状时，这种对称性已经显现出来。

知道下降时间后，现在可以通过在第一个位置坐标中替换它来计算投射物触地时走了多远：

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

什么发射角度能最大化投射物的范围？

如果你想知道什么发射角度能最大化投射物的范围，或者你想证明你所知道的是确实正确的，你只需要从我们已经证明的表达式中取出一个，允许你以数学方式提出问题。我们已经在前一部分中计算了下降距离，并且它是发射角的一个函数：

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

正弦函数有两个可能的极值：+1 和 -1，但我们只对前者感兴趣。要使 \sin(2\theta)=+1，需要 2\theta = 90^o（+ 2k\pi, 但我们省略这一部分因为不需要），因此 \theta=45^o 是使范围最大的发射角。这个问题也可以通过将其作为优化问题（使用这门微积分课的工具）来解决，但我选择了这条更快且同样具有说明性的路径。

建议练习

1. 一个投射物从地面以 \theta=30^o 的仰角和 v_0=70[km/h]. 的初速度发射。a) 投射物达到的最大高度是多少？ b) 投射物在触地前走了多远？ c) 投射物需要多长时间才能落地？
2. 一门放在地面的炮以 90[km/h] 的速度发射一颗子弹。应将炮调整到什么仰角，使子弹在水平距离 20[m] 的地方落下？
3. 前一个练习中的相同炮现在被放置在 5[m] 的高度。应将炮调整到什么仰角，使子弹仍然在水平距离 20[m] 的地方落下？
4. 一架轰炸机在离地面 3,000[m] 的高度以 1,500[km/h] 的速度飞行。如果它因自重而投下一个投射物，该投射物从投下到触地间走了多远？