مقدمة

في الحصص السابقة، درسنا الحركة الخطية بتسارع ثابت ورأينا ما يحدث عندما يطبق تسارع ثابت في نفس اتجاه الحركة. عندما نزيل القيد على الاتجاه، نحصل على حركة بتسارع ثابت، ولكن لم تعد خطية. في هذا السيناريو، تتطور الحركة على طول ذراع البارابولا، وهنا يبدأ دراسة حركة المقذوف.

في حركة المقذوف، تُعطى السرعة الأولية في أي اتجاه، بينما يتبع التسارع اتجاه الجاذبية النموذجي. عندما يتم إطلاق المقذوف مباشرة للأعلى، نحصل على إطلاق عمودي، وهو حالة من حالات الحركة بتسارع ثابت.

تطوير حركة المقذوف

افترض أن لدينا مقذوفًا تم إطلاقه في الهواء من الأرض بواسطة مدفع بسرعة أولية v_0 وزاوية ميل \theta. يمكن نمذجة حركة هذا المقذوف بدون مشاكل عن طريق استخراج معادلات مساره من المعلومات المقدمة. هذه المعادلات هي كما يلي:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

حيث \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) هي السرعة الأولية، \vec{r}_0=(x_0,y_0) هي الموضع الأولي، و g=9.81[m/s^2] هي مقدار تسارع الجاذبية. الآن، إذا لاحظنا الفقرة السابقة، سنرى أن سرعة المقذوف لم تُعطَ مباشرةً، بل سرعته وزاوية إطلاقه. من هذه المعلومات وقليل من علم المثلثات يمكن تحديد السرعة الأولية لأن:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

حيث v_0 = \|\vec{v}_0\| هي مقدار السرعة الأولية. إذا أضفنا الموضع الأولي (x_0,y_0)=(0,0)، فإن معادلات المسار تكون معبر عنها بالشكل التالي:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

مع هذه المعادلات يمكننا الإجابة على بعض الأسئلة المتعلقة بإطلاق المقذوف: كم سيبعد؟ ما هو الارتفاع الذي سيصل إليه؟ كم من الوقت سيستغرق للسقوط؟ إلخ.

كيف تحدد الارتفاع الأقصى الذي يصل إليه المقذوف؟

للإجابة على هذا السؤال علينا أن نسأل أنفسنا: ماذا يحدث عندما يصل المقذوف إلى أعلى ارتفاع له؟ ما يحدث هو أن المكون العمودي لسرعته يصبح صفراً، وبالتالي:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

هذا يعادل القول:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

أي أن المقذوف يصل إلى أعلى ارتفاع بعد مرور زمن t=v_0\sin(\theta)/g منذ الإطلاق. نسمي هذا “زمن الارتفاع الأقصى” ونكتب:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

ثم يمكن تحديد أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه المقذوف عن طريق استبدال t=t_{alt.max} في المكون العمودي لموضع المقذوف، بحيث:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

كيف تحدد مدى حركة المقذوفات؟

إذا كنت تريد معرفة المسافة التي يقطعها المقذوف حتى يلامس الأرض، كل ما عليك فعله هو طرح السؤال على معادلات المسار المرتبطة بإطلاق المقذوف. لكن كيف نفعل ذلك؟ ببساطة: ماذا يحدث عندما يلامس المقذوف الأرض؟ ما يحدث هو أن الإحداثي المرتبط بالارتفاع يصبح صفراً، أي:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

هنا يمكننا حل زمن لمس المقذوف للأرض، والذي يحدث في مناسبتين: عند الإطلاق وعند السقوط لأن الحلول الممكنة لهذه المعادلة هي:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

نسمي النتيجة غير الصفرية “زمن السقوط” ونكتب:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

إذا نظرت أعلاه ستلاحظ أن t_{caida} = 2t_{alt.max} لأن الزمن الذي يستغرقه المقذوف للوصول إلى أقصى ارتفاع له هو نفس الزمن الذي يستغرقه للسقوط من أعلى نقطة. هذا يشير إلى وجود نوع من التماثل في حركة المقذوف. في الواقع، يظهر هذا التماثل عندما تلاحظ أن الإحداثي المرتبط بالارتفاع له شكل البارابولا.

بمعرفة زمن السقوط، يمكن الآن حساب المسافة التي قطعها المقذوف عند ملامسة الأرض ببساطة عن طريق استبدالها في الإحداثي الأول للموضع:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

ما هي زاوية الإطلاق التي تزيد مدى المقذوف إلى الحد الأقصى؟

إذا كنت تريد معرفة أي زاوية إطلاق تزيد مدى المقذوف إلى الحد الأقصى، أو تريد إثبات أن ما تعرفه صحيح بالفعل، كل ما عليك فعله هو أخذ المعادلة التي تتيح لك صياغة السؤال رياضياً من بين المعادلات التي أثبتناها. لقد قمنا بالفعل بحساب مسافة السقوط في القسم السابق، وتبين أنها دالة للزاوية:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

وظيفة الجيب لها نتيجتان متطرفتان ممكنتان: +1 و -1، لكننا مهتمون بالأولى. لتحقيق \sin(2\theta)=+1، يجب أن يكون 2\theta = 90^o (+2k\pi, لكننا سنهمل هذا الجزء لأنه غير ضروري) وبالتالي فإن \theta=45^o هو زاوية الإطلاق التي تزيد المدى إلى الحد الأقصى. يمكن حل هذه المشكلة أيضًا إذا قمنا بصياغتها كمسألة تحسين (باستخدام أدوات هذه الحصة في حساب التفاضل والتكامل) لكنني اخترت هذا المسار الأسرع والأكثر توضيحاً.

تمارين مقترحة

1. تم إطلاق مقذوف من الأرض بزاوية ارتفاع \theta=30^o وسرعة أولية v_0=70[km/h]. أ) ما هو أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف؟ ب) كم المسافة التي يقطعها المقذوف حتى يلامس الأرض؟ ج) كم من الوقت يستغرق المقذوف للسقوط؟
2. مدفع موضوع على الأرض يطلق رصاصة بسرعة 90[km/h]؟ بزاوية الارتفاع التي يجب ضبط المدفع عليها حتى تسقط الرصاصة على مسافة أفقية 20[m]؟
3. نفس المدفع في التمرين السابق موضوع الآن على ارتفاع 5[m]؟ بزاوية الارتفاع التي يجب ضبطه عليها حتى تسقط الرصاصة على مسافة أفقية 20[m]؟
4. طائرة قاذفة تحلق على ارتفاع 3,000[m]؟ فوق الأرض بسرعة 1,500[km/h]. إذا تركت تسقط مقذوفاً بوزنها الخاص، ما هي المسافة التي يقطعها المقذوف من اللحظة التي يسقط فيها حتى يلامس الأرض؟