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Topos Uranos
日本語

分数式と部分分数分解

要約

この課では、数の分数の計算を多項式の商へ広げる。分数式とその定義域を定義し、共通因数の約分はもとの定義域の上でしか等式でないことを証明して、それによってグラフの除かれた点を説明し、二つの分数式の相等を恒等式の性質によって特徴づける。分母の最小公倍式を用いた和、積、商、繁分数式を学び、分数や根号を含む方程式を、分母を払うときや 2 乗するときに現れる解に注意しながら解く。最後に、分母が単根だけをもつ真分数式はただ一通りに部分分数に分解され、その係数は因数を一つ覆い隠して計算できることを証明し、分解を重複する因数へ（その一意性の独自の証明とともに）、さらに既約な 2 次因数へ広げ、望遠鏡和の計算に応用する。

学習目標

  1. 分数式の定義域を求め、正しく約分し、そのグラフの除かれた点を見分ける。
  2. 分母の最小公倍式を用いて、分数式の足し算、掛け算、割り算を行い、繁分数式を簡単にする。
  3. 分数や根号を含む方程式を、除外される値と 2 乗によって加わった解を捨てながら解く。
  4. 分数式を部分分数に分解し、その分解を正当化して、望遠鏡和に応用する。

分数式

分数式とは、二つの多項式の商 PQ\frac{P}{Q} のことである。ただし QQ は零でない。これは、各実数 xx に P(x)Q(x)\frac{P(x)}{Q(x)} を対応させる有理関数を定め、代数関数の課で学んだ種類の関数である。その定義域は分母を零にしない実数全体であり、それ以外の実数は除外される値と呼ばれる。次数 nn の零でない多項式は高々 nn 個の根しかもたないので（多項式の代数の課による）、除外される値はつねに有限個であり、それらを求めるには、高次多項式の根の課の方法で分母を因数分解する。以下では、分数式どうしの等式は、両辺がともに定義されるすべての実数において成り立つものと理解し、両辺の定義域が一致しないときはそのことを明示する。

約分

数の分数は、分子と分母を共通因数で割って約分する。これは有理数の課で見たとおりである。分数式でも同じように行うが、共通因数は今度は多項式であり、いくつかの点で零になりうる。このことから、約分した分数式は、もとの分数式が定義されないところで定義されることがある。

補題約分

PP、QQ、CC を多項式とし、QQ と CC は零でないとする。QCQC を零にしないすべての実数において、商 PCQC\frac{PC}{QC} は PQ\frac{P}{Q} と同じ値をとる。PCQC\frac{PC}{QC} の定義域は、PQ\frac{P}{Q} の定義域から CC の根を除いたものである。したがって、二つの分数式が同じ関数になるのは、後者を前者の定義域に制限する場合に限る。

PCQC=PQ,Q(x)≠0∧C(x)≠0\frac{PC}{QC} = \frac{P}{Q}, \qquad Q(x) \neq 0 \wedge C(x) \neq 0

代数関数の課の積の符号の補題と、有理数の課の倍分の補題（実数に対しても同様に成り立つ）を用いる。図は P=x−3P = x - 3、Q=x−2Q = x - 2、C=x+3C = x + 3 の場合で証明を追う。

証明

  1. Q(x0)C(x0)≠0↔Q(x0)≠0∧C(x0)≠0\dato{d}{Q(x_0) C(x_0) \neq 0 \leftrightarrow \resaltar{Q(x_0) \neq 0 \wedge C(x_0) \neq 0}}

    x0x_0 を、QCQC を零にしない実数とする。実数の積が零になるのは、いずれかの因数が零のとき、かつそのときに限る。したがって、QQ も CC も x0x_0 で零にならない。

  2. P(x0) cQ(x0) c=P(x0)Q(x0),c=C(x0)≠0\frac{P(x_0) \, \resaltar{c}}{Q(x_0) \, \resaltar{c}} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}, \qquad c = C(x_0) \neq 0

    数 c=C(x0)c = C(x_0) は零でなく、倍分の補題により、分数の二つの項にそれを掛けても値は変わらない。

  3. dom⁡(PCQC)={x∈dom⁡(PQ):C(x)≠0}\operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right) = \left\{ x \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) : \resaltar{C(x) \neq 0} \right\}

    同じ同値関係が定義域を記述する。ある実数が PCQC\frac{PC}{QC} の定義域に属するのは、それが PQ\frac{P}{Q} の定義域に属し、かつ CC を零にしないとき、ちょうどそのときである。

  4. C(r)=0∧Q(r)≠0→r∈dom⁡(PQ)∧r∉dom⁡(PCQC)C(r) = 0 \wedge Q(r) \neq 0 \rightarrow r \in \operatorname{dom}\left( \frac{P}{Q} \right) \wedge \resaltar{r \notin \operatorname{dom}\left( \frac{PC}{QC} \right)}

    根 rr（CC の根であって QQ の根でないもの）において、約分した分数式は定義されるが、もとの分数式は定義されない。もとの分数式のグラフは、約分した分数式のグラフからその点を除いたものであり、その点は白丸で描かれる。図では r=−3r = -3 である。

もとの関数が除かれた点の近くでどうふるまうかは、符号表と不等式の課で学ぶ。

約分できるのは共通の因数だけであり、そのため約分にはまず分子と分母を因数分解することが必要である。共通の項は因数ではなく、それを消すと誤りになる。たとえば、xx を（x+2x+4\frac{x + 2}{x + 4} において）消すと定数値 24\frac{2}{4} が得られてしまうが、この分数式の値は 23\frac{2}{3}（x=2x = 2 のとき）と 35\frac{3}{5}（x=1x = 1 のとき）である。

例約分とその除かれた点

分数式 x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} を約分し、そのグラフを説明せよ。図は数直線上に除外される値を示し、続いて、約分した分数式を、もとの分数式に欠けている点とともに描く。

証明

  1. x2−9x2+x−6=(x−3)(x+3)(x+3)(x−2)\frac{\resaltar{x^2 - 9}}{\resaltar{x^2 + x - 6}} = \frac{\resaltar{(x - 3)(x + 3)}}{\resaltar{(x + 3)(x - 2)}}

    分子（平方の差）と分母（根が −3-3 と 22 の三項式）を因数分解する。

  2. (x+3)(x−2)≠0↔x≠−3∧x≠2\resaltar{(x + 3)(x - 2)} \neq 0 \leftrightarrow \dato{d}{\resaltar{x \neq -3 \wedge x \neq 2}}

    除外される値は分母の根である。定義域は数直線からこの二点を除いたものである。

  3. x2−9x2+x−6=x−3x−2,x≠−3\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} = \resaltar{\frac{x - 3}{x - 2}}, \qquad \resaltar{x \neq -3}

    約分の補題により、定義域で零にならない因数 x+3x + 3 は消してよい。約分した分数式の定義域はより大きく、22 だけを除外する。

  4. −3−3−3−2=−6−5=65\frac{\resaltar{-3} - 3}{\resaltar{-3} - 2} = \frac{-6}{-5} = \resaltar{\frac{6}{5}}

    −3-3 では、約分した分数式の値は 65\frac{6}{5} であり、もとの分数式は定義されない。もとの分数式のグラフは、約分した分数式の曲線から横座標が −3-3 の点を除いたものである。

二つの分数の相等

二つの数の分数 pq\frac{p}{q} と rs\frac{r}{s} が等しいのは、ps=qrps = qr のとき、かつそのときに限る。分数式についても同様の判定法が成り立ち、その証明は多項式についての一つの事実に基づく。有限個を除くすべての実数で成り立つ恒等式は、その有限個の実数でも成り立つ。

補題有限個の点を除いて成り立つ恒等式

二つの多項式が、高々有限個を除くすべての実数で同じ値をとるならば、それらは同じ係数をもち、すべての実数で同じ値をとる。

多項式の代数の課の異なる根の補題を用いて、背理法で示す。図は二つの多項式の差を xx 軸の上に描き、二つの例外点を示す。

証明

  1. x∉{s1,…,sm}→D(x)=0\dato{d}{x \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(x) = 0}}

    AA と BB を二つの多項式、D=A−BD = A - B をその差、s1,…,sms_1, \ldots, s_m を両者が一致しないかもしれない実数とする。差はそれ以外のすべての実数で零になる。

  2. t1,…,tk+1∉{s1,…,sm}→D(t1)=⋯=D(tk+1)=0t_1, \ldots, t_{k + 1} \notin \{ s_1, \ldots, s_m \} \rightarrow \resaltar{D(t_1) = \cdots = D(t_{k + 1}) = 0}

    もし DD が零多項式でなければ、ある次数 kk をもち、異なる根の補題により、根は高々 kk 個である。ところが、k+m+1k + m + 1 個の自然数 1,2,…,k+m+11, 2, \ldots, k + m + 1 のなかには、例外点でないものが少なくとも k+1k + 1 個あり（それらを t1,…,tk+1t_1, \ldots, t_{k + 1} とよぶ）、それらはすべて DD の根である。これは矛盾である。

  3. D=0→A(x)=B(x),x∈R\resaltar{D = 0} \rightarrow A(x) = B(x), \quad x \in \mathbb{R}

    したがって、DD は零多項式である。その係数はすべて零であり、AA と BB は、恒等式の性質のように係数ごとに一致し、すべての実数で同じ値をとる。s1,…,sms_1, \ldots, s_m においても同様である。

定理分数式の相等

PQ\frac{P}{Q} と RS\frac{R}{S} を二つの分数式とする。これらが QSQS を零にしないすべての実数で同じ値をとるのは、多項式 PSPS と QRQR が等しいとき、かつそのときに限る。

PQ=RS↔PS=QR\frac{P}{Q} = \frac{R}{S} \leftrightarrow PS = QR

図は前の例の分数式 x2−9x2+x−6\frac{x^2 - 9}{x^2 + x - 6} と x−3x−2\frac{x - 3}{x - 2} で証明を追う。

証明

  1. Q(x)S(x)≠0→P(x)S(x)=Q(x)R(x)\dato{m}{Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{P(x) S(x) = Q(x) R(x)}}

    二つの分数式が QSQS の根の外で一致すると仮定する。Q(x)S(x)Q(x) S(x) を掛けると、二つの多項式の値の間の等式が得られ、それは有限個を除くすべての実数で成り立つ。QSQS は零でなく、根は有限個だからである。

  2. PS=QR\resaltar{PS = QR}

    有限個の点を除いて成り立つ恒等式の補題により、PSPS と QRQR は同じ多項式である。例では、二つの積はどちらも x3−2x2−9x+18x^3 - 2x^2 - 9x + 18 である。

  3. PS=QR∧Q(x)S(x)≠0→P(x)Q(x)=R(x)S(x)PS = QR \wedge Q(x) S(x) \neq 0 \rightarrow \resaltar{\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{R(x)}{S(x)}}

    逆に、PS=QRPS = QR ならば、Q(x)S(x)Q(x) S(x) で割ればよい（それを零にしない実数において）。倍分の補題による。

この定理は、たすき掛けによって約分を確かめることを正当化する。一方、補題は部分分数分解の鍵である。分母の根では、恒等式のもとになった分数式は定義されないが、補題によってその恒等式に根を代入できるのである。