वक्रता और वक्रता त्रिज्या

सारांश

यह पाठ मापता है कि किसी फलन का आलेख किसी बिंदु पर कितना मुड़ता है। स्पर्श रेखा वह रेखा है जिसका उस बिंदु पर मान और अवकलज फलन के मान और अवकलज के समान होते हैं; आश्लेषी वृत्त वह वृत्त है जिसका, इसके अतिरिक्त, द्वितीय अवकलज भी समान होता है। किसी वृत्त के समीकरण का दो बार अवकलन करने पर यह प्राप्त होता है कि उसके प्रत्येक बिंदु पर प्रथम और द्वितीय अवकलज का एक संयोग ठीक उसकी त्रिज्या के बराबर होता है; इससे पाठ सिद्ध करता है कि यदि फलन का द्वितीय अवकलज शून्य नहीं होता, तो आश्लेषी वृत्त का अस्तित्व है और वह अद्वितीय है, और उसका केंद्र तथा उसकी त्रिज्या, अर्थात वक्रता त्रिज्या, देता है। इसका व्युत्क्रम वक्रता है, जो वहाँ शून्य होती है जहाँ द्वितीय अवकलज शून्य होता है। इसके बाद पाठ सिद्ध करता है कि वक्रता केंद्र निकटवर्ती अभिलंबों के प्रतिच्छेद बिंदुओं की सीमा है, जैसा हाइगेन्स ने देखा था, और कि अक्षों का परस्पर विनिमय करने पर वक्रता नहीं बदलती, जिससे उसे वहाँ भी मापा जा सकता है जहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर होती है। प्रश्न यह निर्धारित करते हैं कि आश्लेषी वृत्त आलेख को पार करता है या नहीं, चरघातांकी फलन की अधिकतम वक्रता का बिंदु, किसी दीर्घवृत्त की अधिकतम और न्यूनतम वक्रता के बिंदु तथा रज्जु वक्र की वक्रता त्रिज्या ज्ञात करते हैं, और एक रेखा तथा एक चाप के बीच वक्रता की छलांग का अध्ययन करते हैं।

अधिगम उद्देश्य

किसी फलन के आलेख का किसी बिंदु पर आश्लेषी वृत्त परिभाषित करना, यह सिद्ध करना कि जब द्वितीय अवकलज शून्य नहीं होता तब उसका अस्तित्व है और वह अद्वितीय है, और उसका केंद्र तथा त्रिज्या परिकलित करना।
किसी आलेख की किसी बिंदु पर वक्रता और वक्रता त्रिज्या परिकलित करना, शून्य वक्रता की व्याख्या करना और किसी आलेख की अधिकतम या न्यूनतम वक्रता के बिंदु ज्ञात करना।
वक्रता केंद्र को अभिलंबों के प्रतिच्छेद बिंदुओं की सीमा के रूप में प्राप्त करना, और अक्षों की भूमिकाओं का परस्पर विनिमय करके वहाँ वक्रता मापना जहाँ स्पर्श रेखा ऊर्ध्वाधर है।
उच्च कोटि अवकलज परीक्षण से यह निर्णय करना कि आश्लेषी वृत्त आलेख को पार करता है या उसके केवल एक ओर रहता है।

आश्लेषी वृत्त

$f$ के आलेख की $(a, f(a))$ पर स्पर्श रेखा वह रेखा है जिसका $a$ पर मान और अवकलज $f$ के समान हैं। अवतलता, उत्तलता और नति परिवर्तन बिंदु वाले पाठ ने दिखाया कि यदि $f''(a) \neq 0$ , तो आलेख $a$ के निकट अपनी स्पर्श रेखा के केवल एक ओर रहता है: यदि $f''(a) > 0$ तो उसके ऊपर, और यदि $f''(a) < 0$ तो उसके नीचे। परंतु उसने यह नहीं बताया कि आलेख उससे कितना हटता है, अर्थात कितना मुड़ता है। इसे मापने के लिए उसकी तुलना उन वक्रों से करना उचित है जो सदा समान रूप से मुड़ते हैं, अर्थात वृत्तों से: छोटा वृत्त बहुत मुड़ता है, और बड़ा वृत्त थोड़ा। वृत्त किसी फलन का आलेख नहीं है, क्योंकि उसके अंदर से गुज़रने वाली प्रत्येक ऊर्ध्वाधर रेखा उसे दो बार काटती है; परंतु उसके दोनों अर्धों में से प्रत्येक, अपने अंत्य बिंदुओं के बिना, फलन का आलेख है।

उपप्रमेयअर्धवृत्त के अवकलज

मान लीजिए $(h, k)$ समतल का एक बिंदु है, $r > 0$ , $\sigma$ जो $1$ या $-1$ के बराबर है, और $u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ जहाँ $x$ अंतराल $\ioo{h - r}{h + r}$ में है; इसका आलेख, यदि $\sigma = 1$ तो ऊपरी अर्धवृत्त है, या यदि $\sigma = -1$ तो निचला, जिसका केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है, अपने अंत्य बिंदुओं के बिना। तब $u$ , $u'$ और $u''$ अंतराल $\ioo{h - r}{h + r}$ पर अवकलनीय हैं, $u(x) \neq k$ , और अंतराल के प्रत्येक बिंदु $x$ पर:

(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

फलस्वरूप, $u''(x)$ शून्य नहीं होता और उसका चिह्न $-\sigma$ का चिह्न है, इसलिए निचला अर्धवृत्त ऊपर की ओर दृढ़तः अवतल है और ऊपरी नीचे की ओर दृढ़तः अवतल, और उसके सभी बिंदुओं पर:

\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

प्रमाण

$(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}$
यदि $x$ अंतराल में है, तो $r^2 - (x - h)^2 > 0$ , इसलिए $u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ शून्य नहीं होता, और $u$ अवकलनीय है, प्रचलित संघटनों के अवकलज वाले उपप्रमेय से, जो शृंखला नियम वाले पाठ में है। वर्ग करने पर $u$ का आलेख वृत्त पर स्थित होता है:
$2(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}$
दोनों पक्ष अंतराल पर $x$ का एक ही फलन हैं, और उनके अवकलज समान हैं: यह प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन वाले पाठ का अस्पष्ट अवकलन है, जिसे ऐसे फलन पर लागू किया गया है जिसकी अवकलनीयता हम पहले से जानते हैं। प्रथम अवकलज को अलग करने पर, $u'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k}$ अशून्य हर वाले अवकलनीय फलनों का भागफल है, जो भागफल नियम से अवकलनीय है, जो अवकलन के नियम वाले पाठ में है; फिर से अवकलन करने पर दूसरी समता प्राप्त होती है, जिससे $u''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k}$ भी अवकलनीय फलनों का भागफल है।
$1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}$
चूँकि $1 + \left(u'(x)\right)^2 > 0$ , द्वितीय अवकलज शून्य नहीं होता और उसका चिह्न $u(x) - k$ के चिह्न का विपरीत है, जो $\sigma$ का चिह्न है; उपप्रमेय “ऊपर की ओर अवतलता और द्वितीय कोटि का अवकलज” ऊपर की ओर दृढ़ अवतलता या नीचे की ओर दृढ़ अवतलता देता है। पहली समता से, $1 + \left(u'(x)\right)^2$ , $(x - h)^2$ और $\left(u(x) - k\right)^2$ के योग को, जिसका मान $r^2$ है, $\left(u(x) - k\right)^2$ से भाग देने पर प्राप्त होता है।

वृत्त में स्पर्श रेखा की प्रवणता और द्वितीय अवकलज एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलते हैं, परंतु प्रमेयिका का संयोग नहीं बदलता: वह सदा त्रिज्या के बराबर है। इससे यह सुझाव मिलता है कि इसी से किसी भी आलेख का मुड़ना मापा जाए। उससे पहले, उस वृत्त को ज्ञात करना उचित है जो किसी बिंदु पर आलेख से सबसे अच्छा मेल खाता है, अर्थात जो द्वितीय अवकलज तक उससे मेल खाता है।

परिभाषाआश्लेषी वृत्त

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो विवृत अंतराल $I$ पर अवकलनीय है और एक बिंदु $a$ पर (जो $I$ का हो) दो बार अवकलनीय है। केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r > 0$ वाला वृत्त $f$ के आलेख का $(a, f(a))$ पर आश्लेषी है यदि वह उस बिंदु से होकर जाता है और वह बिंदु उसका सबसे बायाँ या सबसे दायाँ बिंदु नहीं है, अर्थात यदि $(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2$ और $f(a) \neq k$ , और यदि उस बिंदु वाला अर्धवृत्त, अर्थात प्रमेयिका के फलन $u$ का आलेख (जिसमें $\sigma$ , $f(a) - k$ के चिह्न के बराबर है), $a$ पर $f$ के समान मान, समान अवकलज और समान द्वितीय अवकलज रखता है:

u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

इसके केंद्र को उस बिंदु पर आलेख का वक्रता केंद्र कहते हैं।

स्पर्श रेखा पहली दो समताओं को संतुष्ट करती है; आश्लेषी वृत्त तीसरी को भी। इस वृत्त का लैटिन नाम osculari (चूमना) से आया है, और हिंदी का “आश्लेषी” शब्द आलिंगन से बना है: यह वृत्त अन्य स्पर्शी वृत्तों की तरह आलेख को केवल छूता नहीं, बल्कि उसी की तरह मुड़ता है। आकृति $f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1$ और $a = 1.2$ के साथ आलेख को स्पर्श करने वाले तीन वृत्त दिखाती है, और उनमें आश्लेषी वृत्त भी।

प्रमेयआश्लेषी वृत्त का अस्तित्व और अद्वितीयता

मान लीजिए $f$ एक फलन है जो विवृत अंतराल $I$ पर अवकलनीय है और एक बिंदु $a$ पर (जो $I$ का हो) दो बार अवकलनीय है, और मान लीजिए $m = f'(a)$ तथा $q = f''(a)$ । यदि $q \neq 0$ , तो $f$ के आलेख का $(a, f(a))$ पर ठीक एक आश्लेषी वृत्त है, जिसका केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $\rho$ है:

h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

इसका केंद्र उस बिंदु पर आलेख के अभिलंब पर है, यदि $q > 0$ तो बिंदु के ऊपर और यदि $q < 0$ तो उसके नीचे। यदि $q = 0$ , तो आलेख का $(a, f(a))$ पर कोई आश्लेषी वृत्त नहीं है।

प्रमाण

$(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}$
मान लीजिए केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाला एक वृत्त आश्लेषी है, और उसका अर्धवृत्त $u$ है। प्रमेयिका की पहली समता, $x = a$ पर, $u(a) = f(a)$ और $u'(a) = m$ के साथ, कहती है कि केंद्र उस बिंदु पर आलेख के अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करता है, सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ की स्पर्श रेखा और अभिलंब की परिभाषा के अनुसार, चाहे $m \neq 0$ हो या अभिलंब ऊर्ध्वाधर हो।
$1 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}$
प्रमेयिका की दूसरी समता, $x = a$ पर, $u''(a) = q$ के साथ, असंभव है यदि $q = 0$ , क्योंकि $1 + m^2 > 0$ : कोई आश्लेषी वृत्त नहीं है। यदि $q \neq 0$ , तो यह $f(a) - k$ को निर्धारित करती है; तब पहली समता $a - h$ देती है, और वृत्त का समीकरण त्रिज्या। अतः अधिक से अधिक एक आश्लेषी वृत्त है, और उसका केंद्र तथा त्रिज्या वही हैं जो कथन में हैं।
$u'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}$
विलोमतः, मान लीजिए $h$ , $k$ और $\rho$ वे हैं जो कथन में हैं। केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $\rho$ वाला वृत्त ऊपर की गणना से $(a, f(a))$ से होकर जाता है, और $f(a) - k$ शून्य नहीं होता तथा उसका चिह्न $-q$ का चिह्न है, इसलिए $\sigma = -1$ यदि $q > 0$ , और तब केंद्र बिंदु के ऊपर है, और $\sigma = 1$ यदि $q < 0$ । प्रमेयिका का फलन $u$ , $u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a)$ को संतुष्ट करता है, और प्रमेयिका की दोनों समताएँ, $x = a$ पर, उसके अवकलज देती हैं: वृत्त आश्लेषी है।

यदि $q > 0$ , तो आश्लेषी वृत्त आलेख पर ऊपर से अपने निचले अर्धवृत्त द्वारा टिकता है, जो ऊपर की ओर अवतल है; यदि $q < 0$ , तो ऊपरी द्वारा, जो नीचे की ओर अवतल है। दोनों स्थितियों में, अवतलता वाले पाठ का साध्य “आलेख और उसकी स्पर्श रेखा”, $n = 2$ के साथ, $f$ और $u$ पर लागू करने पर (जिनकी स्पर्श रेखा एक ही है और जिनके द्वितीय अवकलजों का चिह्न समान है), आलेख और वृत्त को, $a$ के निकट, उस स्पर्श रेखा के एक ही ओर रखता है। यदि $f''(a) = 0$ , तो कोई भी वृत्त काम नहीं करता, क्योंकि अर्धवृत्त का द्वितीय अवकलज कभी शून्य नहीं होता; स्पर्श रेखा, जिसका द्वितीय अवकलज शून्य है, तीनों समताओं को संतुष्ट करती है, और अनंत त्रिज्या वाले वृत्त की भूमिका निभाती है।

इस पाठ के शेष भाग में

वक्रता
निकटवर्ती अभिलंब
अक्षों का परस्पर विनिमय
हल किए गए प्रश्न
परवलय और उसके आश्लेषी वृत्त
चरघातांकी फलन की अधिकतम वक्रता
दीर्घवृत्त के शीर्ष
रज्जु वक्र की वक्रता त्रिज्या
रेखा के बाद एक चाप
अभ्यास प्रश्न
ज्या के शिखर
लघुगणक की अधिकतम वक्रता
पैमाना बदलना
परवलय का केंद्रज
केवल वृत्तों की वक्रता अचर होती है

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