इष्टतमीकरण की समस्याएँ

सारांश

यह पाठ उन समस्याओं पर काम करता है जिनमें अनेक संभव विन्यासों में से सबसे अच्छा विन्यास ज्ञात करना होता है: सबसे अधिक क्षेत्रफल वाला आयत, सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाला बेलन, सबसे छोटा या सबसे तेज़ पथ। पहले के पाठों ने किसी दिए गए फलन के निरपेक्ष चरम ज्ञात करने के साधन दिए; यहाँ फलन दिया हुआ नहीं है, और काम का अधिकांश, तथा भूलों का अधिकांश, उसे रचने में है। पाठ पाँच सोपानों में एक विधि निर्धारित करता है (चर, फलन, प्रांत, औचित्य सहित निरपेक्ष चरम, और निष्कर्ष) और सिद्ध करता है कि एक फलन और किसी दृढ़तः वर्धमान फलन के साथ उसका संघटन अपने चरम एक ही बिंदुओं पर प्राप्त करते हैं, जिससे, जैसे, दूरी के स्थान पर दूरी के वर्ग का न्यूनीकरण किया जा सकता है। फिर यह सिद्ध करता है कि किसी संवृत अंतराल पर संतत फलन के आलेख पर प्रत्येक बिंदु का एक निकटतम बिंदु होता है, और यदि वह किनारे पर नहीं है तो दिया गया बिंदु अभिलंब पर स्थित है; और न्यूनतम समय के सिद्धांत से अपवर्तन का नियम, अर्थात स्नेल का नियम, और परावर्तन का नियम, अर्थात हीरोन का नियम, व्युत्पन्न करता है। समस्याएँ सबसे अधिक आयतन वाला डिब्बा, सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाला बेलन, कोने से मुड़ सकने वाली सबसे लंबी छड़, वह स्थान जहाँ से कोई चित्र सबसे बड़े कोण पर दिखता है, और नहर पार करने का सबसे तेज़ तरीका ज्ञात करती हैं।

अधिगम उद्देश्य

किसी ज्यामितीय या भौतिक समस्या को, सटीकता से निर्धारित प्रांत पर, एक चर वाले फलन के निरपेक्ष चरम की खोज में रूपांतरित करना।
यह सिद्ध करना कि प्राप्त चरम निरपेक्ष है: यदि प्रांत संवृत और परिबद्ध अंतराल है तो वायरस्ट्रास की प्रमेय से, और यदि नहीं है तो अवकलज के चिह्न, ऊपर की ओर अवतलता या प्रांत के अंत्य बिंदुओं पर सीमाओं से।
किसी आलेख का वह बिंदु ज्ञात करना जो दिए गए बिंदु के सबसे निकट है, और पहचानना कि उन्हें मिलाने वाली रेखा आलेख पर अभिलंब है।
न्यूनतम समय के सिद्धांत से परावर्तन और अपवर्तन के नियम व्युत्पन्न करना, और पहचानना कि इष्टतम कब प्रांत के किनारे पर होता है।

विधि

वायरस्ट्रास की प्रमेय और उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ संबंधी पाठों ने दिए गए अंतराल पर दिए गए फलन के निरपेक्ष चरम ज्ञात करना सिखाया। इसके विपरीत, इष्टतमीकरण समस्या में किसी आकृति या गति का इष्टतम विन्यास माँगा जाता है, और जिस फलन का अध्ययन करना है, उसे उसके प्रांत सहित, समस्या के कथन से रचना होता है। विधि के पाँच सोपान हैं।

चर। एक ऐसी राशि चुनना जो विन्यास को निर्धारित करे (कोई लंबाई, कोई कोण, कोई स्थिति), और समस्या की शर्तों द्वारा अन्य सभी राशियों को उसके पदों में व्यक्त करना।
फलन। जिस राशि को अधिकतम या न्यूनतम करना है, उसे इस एक चर के फलन के रूप में लिखना।
प्रांत। उन मानों का समुच्चय निर्धारित करना जो समस्या में चर ले सकता है; यह प्रायः एक अंतराल होता है। यदि फलन सांतत्य द्वारा अपभ्रष्ट विन्यासों तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे शून्य ऊँचाई का आयत या बिना आयतन का डिब्बा, तो संवृत अंतराल पाने के लिए उन्हें स्वीकार कर लेना उचित है, बशर्ते खोजा जा रहा चरम उन पर प्राप्त न हो।
निरपेक्ष चरम। उन्हें प्रांत में ज्ञात करना और सिद्ध करना कि वे निरपेक्ष हैं। यदि प्रांत संवृत और परिबद्ध अंतराल है, तो वायरस्ट्रास की प्रमेय उनके अस्तित्व की गारंटी देती है, और उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ संबंधी पाठ का संवृत और परिबद्ध अंतराल पर निरपेक्ष चरम वाला साध्य मानों की तुलना करके उन्हें ज्ञात करता है। यदि नहीं, तो अवकलज का चिह्न (उसी पाठ की निरपेक्ष चरम के लिए प्रथम अवकलज परीक्षण वाली प्रमेय, या एकमात्र क्रांतिक बिंदु वाला उपप्रमेय), ऊपर की ओर अवतलता (अवतलता और उत्तलता संबंधी पाठ का ऊपर की ओर अवतल फलन के क्रांतिक बिंदुओं वाला उपप्रमेय) या प्रांत के अंत्य बिंदुओं पर सीमाएँ (विवृत अंतराल पर निरपेक्ष चरम वाला साध्य) प्रयुक्त होती हैं।
निष्कर्ष। समस्या पर लौटना: केवल इष्टतम मान नहीं, इष्टतम विन्यास देना, और जाँचना कि वह मात्रकों में और विशेष स्थितियों में सार्थक है।

चौथा सोपान ही सबसे अधिक छोड़ा जाता है: ऐसा बिंदु ज्ञात करना जहाँ अवकलज शून्य होता है, पर्याप्त नहीं है। वह बिंदु उच्चिष्ठ खोजते समय निम्निष्ठ हो सकता है, केवल स्थानीय चरम हो सकता है, या प्रांत के बाहर का बिंदु हो सकता है; और निरपेक्ष चरम अंतराल के किसी अंत्य बिंदु पर हो सकता है, जहाँ अवकलज का शून्य होना आवश्यक नहीं। उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ संबंधी पाठ ने $\frac{1}{x} + x^2$ के द्वारा दिखाया था कि यदि प्रांत अंतराल न हो तो एकमात्र क्रांतिक बिंदु किसी बात की गारंटी नहीं देता। इसके अतिरिक्त, प्रायः फलन के स्थान पर ऐसा सरल फलन रखना सुविधाजनक होता है जो अपने चरम उन्हीं बिंदुओं पर प्राप्त करे।

उपप्रमेयचरम मान और दृढ़तः एकदिष्ट फलन

मान लें $f$ एक फलन है जो समुच्चय $A$ पर परिभाषित है, $c$ , $A$ का एक बिंदु है, और $\varphi$ एक फलन है जो किसी ऐसे समुच्चय पर दृढ़तः वर्धमान है जिसमें $f$ के मान हैं। तब $f$ , $c$ पर $A$ में अपना निरपेक्ष उच्चिष्ठ प्राप्त करता है यदि और केवल यदि $\varphi \circ f$ उसे प्राप्त करता है, और यही बात निरपेक्ष निम्निष्ठ, स्थानीय चरमों और दृढ़ चरमों के लिए भी सत्य है। यदि $\varphi$ दृढ़तः ह्रासमान है, तो $f$ , $c$ पर उच्चिष्ठ प्राप्त करता है यदि और केवल यदि $\varphi \circ f$ , $c$ पर उसी प्रकार का निम्निष्ठ प्राप्त करता है, और विलोमतः भी। दृढ़तः वर्धमान फलन मानों के बीच के क्रम को नहीं बदलता, और चरम केवल उसी क्रम पर निर्भर करते हैं।

प्रमाण

$u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}$
मान लें $u$ और $w$ , $\varphi$ के प्रांत में हैं। यदि $u < w$ , तो दृढ़ एकदिष्टता से $\varphi(u) < \varphi(w)$ मिलता है; यदि $u = w$ , तो मान बराबर हैं; और यदि $u > w$ , तो $\varphi(u) > \varphi(w)$ मिलता है। अतः संख्याओं के बीच की और उनके प्रतिबिंबों के बीच की असमिकाएँ तुल्य हैं।
$f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}$
$u = f(x)$ और $w = f(c)$ लेने पर, प्रत्येक $x$ के लिए जो $A$ में है, या प्रत्येक $x$ के लिए जो $A$ में है और जिसकी $c$ से दूरी किसी $\delta$ से कम है, निरपेक्ष उच्चिष्ठ, स्थानीय उच्चिष्ठ और दृढ़ स्थितियों को परिभाषित करने वाली असमिकाएँ, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ संबंधी पाठ तथा फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय संबंधी पाठ में स्थानीय चरम की परिभाषा के अनुसार, $f$ के लिए सत्य हैं यदि और केवल यदि वे $\varphi \circ f$ के लिए सत्य हैं। निम्निष्ठ के लिए भी यही है, और यदि $\varphi$ दृढ़तः ह्रासमान है तो प्रतिबिंबों के बीच की असमिकाएँ उलट जाती हैं।

सबसे अधिक प्रयुक्त स्थितियाँ चार हैं। वर्गमूल $\ico{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है: कोई दूरी और उसका वर्ग एक ही बिंदुओं पर न्यूनतम होते हैं, और वर्ग करणी चिह्न के बिना लिखा जाता है। वर्ग $\ico{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है: कोई अऋणात्मक राशि और उसका वर्ग एक ही बिंदुओं पर अधिकतम होते हैं। लघुगणक $\ioo{0}{\infty}$ पर दृढ़तः वर्धमान है: धनात्मक घातों का गुणनफल और उसका लघुगणक, जो एक योगफल है, भी ऐसे ही हैं। और कोई धनात्मक फलन वहाँ उच्चिष्ठ प्राप्त करता है जहाँ उसका व्युत्क्रम निम्निष्ठ प्राप्त करता है, क्योंकि $\frac{1}{u}$ , $\ioo{0}{\infty}$ पर दृढ़तः ह्रासमान है।

उदाहरणअर्धवृत्त में अंतर्लिखित आयत

त्रिज्या $R$ वाले अर्धवृत्त में अंतर्लिखित उन आयतों में से, जिनकी एक भुजा व्यास पर है, सबसे अधिक क्षेत्रफल वाला आयत ज्ञात करें। प्राप्ति के सोपान विधि के ही सोपान हैं।

प्रमाण

$A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$
चर और फलन। केंद्र को मूल बिंदु पर और व्यास को क्षैतिज अक्ष पर रखें। आयत अपने आधार के आधे $x$ से निर्धारित होता है: उसके ऊपरी शीर्ष अर्धवृत्त पर, $\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ पर, हैं, और उसका क्षेत्रफल नीचे दिया गया फलन है।
$F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}$
प्रांत। वास्तविक आयत उन $x$ के संगत हैं जो $\ioo{0}{R}$ में हैं; हम $0$ और $R$ को भी स्वीकार करते हैं, जो शून्य क्षेत्रफल वाले अपभ्रष्ट आयत देते हैं, और एक संवृत और परिबद्ध अंतराल पाते हैं जिस पर $A$ संतत है: वायरस्ट्रास की प्रमेय से उच्चिष्ठ का अस्तित्व है। चूँकि $A$ ऋणात्मक नहीं है, प्रमेयिका से उसके वर्ग को अधिकतम करना पर्याप्त है, जो एक बहुपद है और, $A$ से अलग, $R$ पर भी अवकलनीय है।
$F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}$
अभ्यर्थी। $F$ का अवकलज $\ioo{0}{R}$ के केवल एक बिंदु पर शून्य होता है।
$F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}$
तुलना और निष्कर्ष। संवृत और परिबद्ध अंतराल पर निरपेक्ष चरम वाले साध्य से, $F$ का उच्चिष्ठ $0$ पर, $R$ पर और क्रांतिक बिंदु पर उसके मानों में सबसे बड़ा है। इष्टतम आयत का आधार $\sqrt{2}R$ है, ऊँचाई $\frac{R}{\sqrt{2}}$ है, जो आधार की आधी है, और क्षेत्रफल $R^2$ है।

इष्टतम आयत को व्यास के सापेक्ष परावर्तित करने पर भुजा $\sqrt{2}R$ वाला एक वर्ग मिलता है जो पूरे वृत्त में अंतर्लिखित है और जिसका क्षेत्रफल $2R^2$ है; उसी गणना से यही उस वृत्त में अंतर्लिखित सबसे अधिक क्षेत्रफल वाला आयत है। अपभ्रष्ट आयतों ने परिणाम नहीं बदला: उच्चिष्ठ एक वास्तविक आयत पर प्राप्त होता है।

इस पाठ के शेष भाग में

किसी बिंदु से आलेख की दूरी
परावर्तन और अपवर्तन
हल किए गए प्रश्न
सबसे अधिक आयतन वाला डिब्बा
सबसे कम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाला बेलन
कोने से मुड़ने वाली छड़
अधिकतम दृष्टि कोण
नहर पार करना
अभ्यास प्रश्न
गोले में अंतर्लिखित शंकु
एक वर्ग और एक वृत्त
दूरियों का योग न्यूनतम करने वाला बिंदु
चरघातांकी फलन के आलेख का मूल बिंदु से निकटतम बिंदु
किसी बैटरी की अधिकतम शक्ति

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