प्रतिलोम फलन का अवकलज और अस्पष्ट अवकलन

प्रतिलोम फलन का अवकलज

किसी एकैकी फलन के प्रतिलोम का आलेख रेखा $y = x$ के सापेक्ष फलन के आलेख का परावर्तन है: पहले आलेख का बिंदु $(a, b)$ दूसरे आलेख का बिंदु $(b, a)$ बन जाता है। परावर्तन क्षैतिज वृद्धि और ऊर्ध्वाधर वृद्धि को परस्पर बदल देता है, जिससे प्रवणता $m$ वाली छेदक रेखा प्रवणता $\frac{1}{m}$ वाली छेदक रेखा बन जाती है, और स्पर्श रेखाओं से भी यही अपेक्षा की जा सकती है। प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ ने इसे एक स्थिति में देखा था: $e^x$ और $\ln x$ के आलेखों की स्पर्श रेखाओं की, रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित बिंदुओं पर, प्रवणताएँ परस्पर व्युत्क्रम हैं, $e^a$ और $\frac{1}{e^a}$।

एक त्वरित गणना सामान्य सूत्र सुझाती है। यदि $f^{-1}$ अवकलनीय होता, तो समानता $f\left(f^{-1}(y)\right) = y$ का शृंखला नियम से अवकलन करने पर $f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1$ प्राप्त होता, और भाग देना पर्याप्त होता। पर यह गणना वही मान लेती है जिसे सिद्ध करना है, अर्थात यह कि प्रतिलोम अवकलनीय है, और यह नहीं बताती कि क्या होता है यदि $f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0$। ऐसी स्थिति विद्यमान है: $x^3$, $0$ पर अवकलनीय है, शून्य अवकलज के साथ, और उसका प्रतिलोम, घनमूल, $0$ पर अवकलनीय नहीं है, सीमा के रूप में अवकलज वाले पाठ के अवकलनीयता के बिना सांतत्य वाले साध्य से। नीचे दी गई प्रमेय अवकलनीयता को माने बिना उसे सिद्ध करती है, काराथेओडोरी अभिलक्षण से, जो किसी भी वृद्धि से भाग दिए बिना प्रतिलोम की वृद्धि को अलग करने देता है।

$f$ का सांतत्य पूरे $I$ पर इसलिए माँगा जाता है कि प्रतिलोम $b$ पर संतत हो, और यही अंतिम हिस्से में सीमा लेने की अनुमति देता है। यदि $f$ पूरे $I$ पर अवकलनीय है और उसका अवकलज शून्य नहीं होता, तो प्रतिलोम पूरे $J$ पर अवकलनीय है, और समानता फलनों के बीच लिखी जाती है: $\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}$। $f$ के अवकलज का मान $f^{-1}(y)$ पर लिया जाता है, $y$ पर नहीं। लाइबनिज़ संकेतन में, यदि $y = f(x)$ और $x = f^{-1}(y)$, तो प्रमेय कहती है कि $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$, जहाँ हर के अवकलज का मान $x = f^{-1}(y)$ पर लिया गया है। शृंखला नियम की तरह, सूत्र भिन्नों का कोई नियम प्रतीत होता है, पर है नहीं। एक बार अवकलनीयता सिद्ध हो जाने पर, आरंभ की त्वरित गणना, जो $f\left(f^{-1}(y)\right) = y$ का शृंखला नियम से अवकलन करती है, सूत्र याद रखने का एक वैध तरीका है।

इससे अधिक भी कहा जा सकता है। यदि $y \neq b$, तो प्रमेय के प्रमाण का तीसरा हिस्सा केवल इसका उपयोग करता है कि $\varphi$, $a$ के बाहर शून्य नहीं होता, और वह तब भी सत्य है जब $f'(a) = 0$: प्रतिलोम का अंतर-भागफल $\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}$ है, और हर $\varphi(a) = 0$ की ओर अग्रसर होता है, संघटन के सांतत्य से। यदि $f$ वर्धमान है, तो हर धनात्मक है, और भागफल $\infty$ की ओर अग्रसर होता है; यदि वह ह्रासमान है, तो भागफल $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है। प्रतिलोम के आलेख की $(b, a)$ पर एक ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है, जो $f$ की उस क्षैतिज स्पर्श रेखा का परावर्तन है जो $(a, b)$ पर है, जैसा मूल बिंदु पर घनमूल के साथ होता है।