घातांक में चर और लघुगणकीय अवकलन

सारांश

यह पाठ उन फलनों का अवकलन करता है जिनमें चर घातांक में होता है। ये सभी प्राकृतिक चरघातांकी फलन में बदल जाते हैं: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ और $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , इसलिए $e^x$ का अवकलज, लघुगणक का अवकलज और शृंखला नियम पर्याप्त हैं। इस प्रकार किसी भी आधार वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक के अवकलज, वास्तविक घातांक वाली घातों के अवकलज, और उन घातों के अवकलज प्राप्त होते हैं जिनका आधार और घातांक दोनों बदलते हैं, जैसे $x^x$ या $x^{\sin x}$ । $\ln \abs{f(x)}$ का अवकलज, जो $\frac{f'(x)}{f(x)}$ है, गुणनफलों, भागफलों और घातों को योगों में बदल देता है: यही लघुगणकीय अवकलन है, जिसे यह पाठ उस बात को माने बिना उचित ठहराता है जिसे वह सिद्ध करना चाहता है। अंत में, लघुगणक की वह स्पर्श रेखा जो मूल बिंदु से होकर जाती है, यह तय करती है कि $\pi^e$ और $e^\pi$ में कौन बड़ा है, और समझाती है कि परिणाम संख्या $e$ पर क्यों निर्भर करता है।

अधिगम उद्देश्य

समता $a^x = e^{x \ln a}$ से आरंभ करके किसी भी आधार वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक का, और उनके संघटनों का, अवकलन करना।
वास्तविक घातांक वाली घातों और चर आधार और चर घातांक वाली घातों का अवकलन करना, उन्हें आधार $e$ वाले चरघातांकी फलनों के रूप में लिखकर, उस प्रांत में जहाँ आधार धनात्मक है।
गुणनफलों, भागफलों और घातों पर लघुगणकीय अवकलन लागू करना, पहले यह जाँचकर कि फलन अवकलनीय है और उस बिंदु पर शून्य नहीं होता।
$\pi^e$ और $e^\pi$ जैसी घातों की तुलना लघुगणक की स्पर्श रेखा और चरघातांकी की आधारभूत असमिका से करना।

किसी भी आधार वाला चरघातांकी फलन और लघुगणक

प्रारंभिक फलनों के अवकलज वाले पाठ ने सिद्ध किया कि $e^x$ स्वयं अपना अवकलज है और $\ln x$ का अवकलज $\frac{1}{x}$ है, और घोषित किया कि $a^x$ का अवकलज $a^x \ln a$ है। अंतर-भागफल से गणना दोहराने की आवश्यकता नहीं है: प्रत्येक धनात्मक आधार $e$ की एक घात है। प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा से, जो लघुगणकीय फलन वाले पाठ में है, $e^{\ln y} = y$ है, प्रत्येक $y > 0$ के लिए; और उसी पाठ के घात के लघुगणक के नियम से, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ । शृंखला नियम से शेष तुरंत मिल जाता है।

प्रमेयआधार a वाले चरघातांकी फलन और लघुगणक के अवकलज

मान लें $a > 0$ , जहाँ $a \neq 1$ । चरघातांकी फलन $a^x$ , $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, लघुगणक $\log_a x$ , $\ioo{0}{\infty}$ पर अवकलनीय है, और फलन $\log_a \abs{x}$ , $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ पर अवकलनीय है:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

आधार $a$ वाले चरघातांकी फलन को प्राकृतिक चरघातांकी फलन के रूप में लिखा जाता है और शृंखला नियम लागू किया जाता है; आधार $a$ वाला लघुगणक प्राकृतिक लघुगणक का एक अचर गुणज है। चित्र $2^x$ , $e^x$ और $4^x$ को बिंदु $(0, 1)$ पर उनकी स्पर्श रेखाओं के साथ दिखाता है, जिनकी प्रवणताएँ क्रमशः $\ln 2$ , $1$ और $\ln 4$ हैं, और अंत में $\log_2 x$ की $(1, 0)$ पर स्पर्श रेखा, जो $2^x$ की स्पर्श रेखा का परावर्तन है।

प्रमाण

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
मान लें $x$ एक वास्तविक संख्या है। संख्या $a^x$ धनात्मक है; प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा और घात के लघुगणक के नियम से, जो लघुगणकीय फलन वाले पाठ में हैं:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
आंतरिक फलन $x \ln a$ रैखिक है, जिसका अवकलज $\ln a$ है, और बाह्य फलन $e^t$ पूरे $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय है, प्राकृतिक चरघातांकी फलन के अवकलज की प्रमेय से। शृंखला नियम वाले पाठ के शृंखला नियम से:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
लघुगणकीय फलन वाले पाठ की आधार परिवर्तन की प्रमेय से, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ है, प्रत्येक $y > 0$ के लिए, जहाँ $\ln a \neq 0$ है क्योंकि $a \neq 1$ । प्राकृतिक लघुगणक के अवकलज की प्रमेय से, जो $\ln x$ और $\ln \abs{x}$ दोनों के लिए मान्य है, और रैखिक संयोजन के अवकलज की प्रमेय से, जो अवकलन के नियम वाले पाठ में है:

$a^x$ का अवकलज फलन के समानुपाती है, अचर $\ln a$ के साथ, जो $a > 1$ होने पर धनात्मक और $0 < a < 1$ होने पर ऋणात्मक है; लघुगणक की एकैकिता से, यह $1$ के बराबर केवल तब होता है जब $a = e$ । $a = 1$ होने पर फलन $1^x$ अचर है और सूत्र मान्य बना रहता है, क्योंकि $\ln 1 = 0$ । $x = 0$ पर, अवकलज की परिभाषा सीमा $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ देती है, जो प्रारंभिक फलनों का सांतत्य वाले पाठ के लघुगणक और घातों की महत्वपूर्ण सीमाओं का उपप्रमेय है: $a^x$ का $0$ पर अवकलज पहले से ज्ञात था, और नियम $a^{x + h} = a^x a^h$ उसे सभी बिंदुओं पर ले जाता है।

उपसिद्धांतचरघातांकी फलन और लघुगणक के साथ संघटन

मान लें $u$ , $A$ पर परिभाषित एक फलन है, जो एक बिंदु $a$ पर अवकलनीय है, जो $A$ का है और $A$ का संचय बिंदु है, और मान लें $b > 0$ , जहाँ $b \neq 1$ । तब $e^{u(x)}$ और $b^{u(x)}$ , $a$ पर अवकलनीय हैं। यदि $u(a) \neq 0$ , तो फलन $\ln \abs{u(x)}$ और $\log_b \abs{u(x)}$ , $a$ पर अवकलनीय हैं, अपने प्रांत में; और यदि $u(a) > 0$ , तो $\ln u(x)$ भी अवकलनीय है, उसी अवकलज के साथ जो $\ln \abs{u(x)}$ का है। $x = a$ पर अवकलज ये हैं:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

पहले दो शृंखला नियम हैं; अंतिम दो, संघटन के प्रांत पर उसका रूप, क्योंकि लघुगणक $0$ पर परिभाषित नहीं है।

प्रमाण

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
बाह्य फलन $e^t$ और $b^t$ पूरे $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय हैं, जो $u$ के मानों को समाविष्ट करता है; शृंखला नियम पहले दो अवकलज देता है, $x = a$ पर।
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
फलन $\ln \abs{t}$ , $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ पर परिभाषित है, जो केंद्र $u(a)$ और त्रिज्या $r = \abs{u(a)}$ वाले अंतराल को समाविष्ट करता है, और $u(a)$ पर अवकलनीय है, अवकलज $\frac{1}{u(a)}$ के साथ। संघटन के प्रांत पर शृंखला नियम के उपप्रमेय से, $a$ , $\ln \abs{u(x)}$ के प्रांत का संचय बिंदु है, और $x = a$ पर अवकलज यह है:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
यदि $u(a) > 0$ , तो वही उपप्रमेय, $B = \ioo{0}{\infty}$ और $r = u(a)$ के साथ, $\ln u(x)$ का अवकलज देता है, जो वही है। आधार $b$ के लिए, आधार परिवर्तन से, अचर $\ln b$ से भाग दिया जाता है।

इस प्रकार $2^{\sin x}$ का अवकलज $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ है, और $\ln\left(x^2 + 1\right)$ का अवकलज $\frac{2x}{x^2 + 1}$ है, पूरे $\mathbb{R}$ पर। शृंखला नियम वाले पाठ ने $\ln(\cos x)$ का अवकलन उसके प्रांत में किया, जहाँ $\cos x > 0$ , और $-\tan x$ प्राप्त किया; निरपेक्ष मान परिणाम का विस्तार करता है: $\ln \abs{\cos x}$ वहाँ परिभाषित है जहाँ $\cos x \neq 0$ , और उसका अवकलज उस पूरे समुच्चय पर $-\tan x$ है, जो स्पर्शज्या का प्रांत है।

इस पाठ के शेष भाग में

वास्तविक घातांक वाली घातें
चर आधार और चर घातांक वाली घातें
लघुगणकीय अवकलन
कौन बड़ा है, पाई घात e या e घात पाई?
हल किए गए प्रश्न
x घात x का अवकलज
जहाँ फलन ऋणात्मक है वहाँ लघुगणकीय अवकलन
संख्या e के निकट एक धनात्मक अवकलज
दो अपूर्ण नियम
रेखा y बराबर x को स्पर्श करने वाला चरघातांकी फलन
अभ्यास प्रश्न
आधार x पर लघुगणक
घातांकों की दो मीनारें
अपने एक शून्यक पर एक गुणनफल
ऋणात्मक आधारों की परिमेय घातें
a घात b की b घात a से तुलना करना

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