ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को समर्पित इकाई को समाप्त करता है। यह इकाई की परिभाषाओं और प्रमेयों को एक ही निगमनात्मक शृंखला में एकत्र करता है, जो ध्रुवीय रूप में गुणनफल की प्रमेय से आरंभ होती है और डी मॉयवर सूत्र, $n$ वें मूलों, सम्मिश्र चरघातांकी फलन और समतल की ज्यामिति से होते हुए बहुपदों के गुणनखंडन तक और कार्डानो तथा फ़ेरारी सूत्रों तक पहुँचती है। यह दिखाता है कि हर कड़ी पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I की और इस पाठ्यक्रम की पहले की दो इकाइयों की किस बात की ऋणी है, और आव्यूहों तथा बीजीय संरचनाओं पर आगे आने वाली इकाई उन्हीं तथ्यों की नई व्याख्या कैसे करती है। अंत में दस चुनौतियाँ हैं, जो इकाई के अभ्यास प्रश्नों से अधिक कठिन हैं और उसके कई पाठों को मिलाती हैं।

अधिगम उद्देश्य

इकाई की निगमनात्मक शृंखला का पुनर्निर्माण करना, ध्रुवीय रूप में गुणनफल की प्रमेय से कार्डानो और फ़ेरारी सूत्रों तक, यह बताते हुए कि हर प्रमेय किस परिणाम पर निर्भर है।
इकाई के परिणामों को पाठ्यक्रम I के परिणामों (आगमन, द्विपद प्रमेय, महत्तम समापवर्तक, बहुपद) से और पहले की इकाइयों के परिणामों (ध्रुवीय निर्देशांक और त्रिकोणमितीय सूत्र) से जोड़ना, और आगे आने वाली इकाई में उनकी आव्यूहीय और संरचनात्मक व्याख्या का पूर्वानुमान करना।
ऐसे प्रश्न हल करना जिनमें ध्रुवीय रूप, 1 के मूलों, सम्मिश्र चरघातांकी फलन, सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति और मूलों और गुणांकों के संबंधों को मिलाना पड़ता है।

इकाई की उपलब्धियाँ

इकाई एक कमी से आरंभ हुई: पाठ्यक्रम I के सम्मिश्र संख्याओं वाले पाठ में दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल परिकलित तो होता था, पर समझा नहीं जाता था। ध्रुवीय रूप वाले पाठ ने हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या को $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ के रूप में लिखा, सिद्ध किया कि यह लेखन पूरे चक्करों के अंतर को छोड़कर अद्वितीय है, और योग और अंतर के सूत्रों से वह प्रमेय सिद्ध की जो बाकी सब को सँभालती है: गुणनफल में मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं। उससे यह निकला कि किसी सम्मिश्र संख्या से गुणा करना घूर्णन और तनन है, कि संयुग्मी और प्रतिलोम का कोणांक विपरीत होता है, और कि गुणनफल का मुख्य कोणांक मुख्य कोणांकों के योग से केवल एक चक्कर के अंतर तक ही मेल खाता है।

यदि गुणनफल कोणांकों को जोड़ता है, तो घात उन्हें गुणा करती है। डी मॉयवर सूत्र वाले पाठ ने इसे हर पूर्णांक घातांक के लिए आगमन से सिद्ध किया और, सूत्र की तुलना द्विपद प्रमेय से करके, अपवर्त्य कोणों के सूत्र प्राप्त किए; प्रमेयिका $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ से उसने ज्या और कोज्या की घातों का रैखिकीकरण किया, सम्मिश्र अनुपात वाले गुणोत्तर योग से ज्याओं और कोज्याओं के योग निकाले, और घात $(1 + i)^n$ से सम सूचकांक वाले द्विपद गुणांकों का योग और एकांतर चिह्नों के साथ विषम सूचकांक वाले द्विपद गुणांकों का योग निकाला। अब, यदि घात $n$ तक उठाना कोण को $n$ से गुणा करता है, तो मूल निकालना उसे विभाजित करता है: $n$ वें मूलों वाले पाठ ने सिद्ध किया कि हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या के ठीक $n$ $n$ वें मूल होते हैं, जो एक सम बहुभुज के शीर्ष हैं, कि 1 के मूल किसी एक ही मूल की घातें हैं, उनका योग शून्य है, वे $z^n - 1$ का गुणनखंडन करते हैं और ठीक तब आद्य होते हैं जब उनका सूचकांक $n$ के साथ सह-अभाज्य हो।

सम्मिश्र चरघातांकी फलन वाले पाठ ने देखा कि ये सभी नियम घातांकों के नियम हैं और, $e^x$ , कोज्या और ज्या की श्रेणियों से, जिन्हें उसने बिना प्रमाण स्वीकार किया क्योंकि उनके लिए अवकल गणित चाहिए, दिखाया कि चरघातांकी फलन की श्रेणी का $i\theta$ पर योग $\cos \theta + i \sin \theta$ है। इसलिए उसने $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ और $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ परिभाषित किए, सिद्ध किया कि चरघातांकी फलन योगों को गुणनफलों में बदलता है और $2\pi i$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है, कोज्या और ज्या को चरघातांकी फलनों के द्वारा व्यक्त किया, यह निर्णय किया कि उन्हें सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करने पर कौन-सी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बनी रहती हैं, उनमें अतिपरवलयिक फलन खोजे और, चरघातांकी फलन का प्रतिलोम लेकर, अनंत मानों वाला लघुगणक और सम्मिश्र घातांक वाली घातें प्राप्त कीं। इस संकेतन के साथ, सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति वाले पाठ ने घूर्णनों को $c + e^{i\varphi}(z - c)$ के रूप में और परावर्तनों को $e^{2i\alpha}\conj{z}$ के रूप में लिखा, संरेखता और लंबता को एक भागफल में पढ़ा, उस भागफल के काल्पनिक भाग के चिह्न से त्रिभुज का अभिविन्यास परिभाषित किया और सिद्ध किया कि वह इस पर निर्भर नहीं करता कि किस शीर्ष से आरंभ किया जाए, कि स्थानांतरण और घूर्णन उसे बनाए रखते हैं और परावर्तन उसे उलट देते हैं, समबाहु त्रिभुज का अभिलक्षण 1 के घनमूल से किया, और अपोलोनियस के वृत्त की प्रमेय तथा नेपोलियन की प्रमेय सिद्ध कीं।

अंत में, सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरणों वाले पाठ ने सब कुछ उस भूमि पर एकत्र किया जहाँ सम्मिश्र संख्याओं का जन्म हुआ था। बीजगणित की आधारभूत प्रमेय से, जो बिना प्रमाण स्वीकार की जाती है, उसने निष्कर्ष निकाला कि घात $n$ का हर बहुपद $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है, मूलों और गुणांकों के संबंध सिद्ध किए और द्विपद, त्रिपद और व्युत्क्रम समीकरण हल किए; कार्डानो सूत्र को $n$ वें मूलों वाले पाठ के घनमूलों की आवश्यकता पड़ी, विविक्तकर ने वास्तविक त्रिघात समीकरण के मूलों का वर्गीकरण किया, अलघुकरणीय स्थिति त्रिगुण कोण के सूत्र से हल हुई, और फ़ेरारी विधि ने चतुर्घात समीकरण को एक त्रिघात समीकरण में बदल दिया; हेल्डर प्रमेय और एबेल-रुफ़िनी प्रमेय ने, जो स्वीकार की जाती हैं, समझाया कि अलघुकरणीय स्थिति में सम्मिश्र संख्याओं से होकर जाने वाला घुमावदार रास्ता अपरिहार्य क्यों है और घात पाँच से आगे ऐसे सूत्र क्यों नहीं हैं। अतः पूरी शृंखला यह है: गुणनफल की प्रमेय, डी मॉयवर सूत्र, $n$ वें मूल, सम्मिश्र चरघातांकी फलन, समतल की ज्यामिति और बहुपद समीकरण, इस प्रकार कि हर कड़ी, सार रूप में, पहली कड़ी की एक नई व्याख्या है।

यह उचित है कि इकाई जो कुछ बिना प्रमाण स्वीकार करती है उसे ठीक-ठीक गिना जाए, क्योंकि वह थोड़ा है और सीमित स्थानों पर है। यूक्लिडीय ज्यामिति से, वे तथ्य जो पाठ्यक्रम I के रेखा का समीकरण वाले पाठ में एकत्र किए गए हैं, जिनमें से इकाई को, गुणनफल के समरूप त्रिभुजों की प्रमेय में, केवल समरूपता की धारणा चाहिए और यह कि कोणों की समता भुजाओं की आनुपातिकता लाती है। अवकल गणित से, $e^x$ , कोज्या और ज्या की श्रेणियाँ, जिनका उपयोग सम्मिश्र चरघातांकी फलन वाला पाठ ऑयलर सूत्र को प्रेरित करने के लिए करता है और जो पाठ्यक्रम कलन I में सिद्ध होती हैं। बीजगणित से, बहुपद समीकरणों वाले पाठ में घोषित तीन परिणाम: बीजगणित की आधारभूत प्रमेय, जिस पर पूर्ण गुणनखंडन निर्भर है, और हेल्डर तथा एबेल-रुफ़िनी प्रमेय, जो किसी कड़ी को नहीं सँभालतीं और केवल यह समझाती हैं कि अलघुकरणीय स्थिति में सम्मिश्र संख्याओं से होकर घुमावदार रास्ता क्यों आवश्यक है और घात पाँच से आगे करणियों वाले सूत्र क्यों नहीं हैं। अंत में, डी मॉयवर सूत्र वाले पाठ में घातों के सर्पिल का उदाहरण, उसका उपयोग किए बिना, लघुगणकीय सर्पिल के इस गुण का उल्लेख करता है कि वह मूल बिंदु से होकर जाने वाली हर रेखा को एक ही कोण पर काटता है, जो भी अवकल गणित से सिद्ध होता है। बाकी सब कुछ इस इकाई में, पहले की दो इकाइयों में या पाठ्यक्रम I में सिद्ध होता है; शृंखला में यूक्लिडीय तथ्य और आधारभूत प्रमेय स्वीकृत आधारों के रूप में आते हैं, और श्रेणियाँ नहीं आतीं, क्योंकि काल्पनिक चरघातांकी को परिभाषा के रूप में अपनाया जाता है और इसलिए वे किसी कड़ी को नहीं सँभालतीं।

नीचे की आकृति इकाई के चार खंडों को एक ही शृंखला में एकत्र करती है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या एक प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप से उन पहले की कड़ियों से जुड़ी जिनका उपयोग उसकी उपपत्ति करती है; चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिनका सहारा शृंखला बार-बार लेती है: ध्रुवीय रूप में समता की प्रमेय, जो पहली कड़ी में स्थापित होती है, और पहले की इकाइयों या पाठ्यक्रम I के परिणाम, जो छल्लों के रूप में बनाए गए हैं। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका उपयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जिसमें वह सिद्ध होती है।

शृंखला के आधार

Aध्रुवीय रूप में समता. दो सम्मिश्र संख्याएँ $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ और $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ , जहाँ $r_1$ और $r_2$ धनात्मक हैं, बराबर हैं यदि और केवल यदि $r_1 = r_2$ और $\theta_1 - \theta_2$ , $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है। स्थापित होता है: 1. ध्रुवीय रूप में समता.
Bत्रिकोणमितीय सूत्र. पाइथागोरस सर्वसमिका, योग और अंतर की कोज्या और ज्या, द्विगुण कोण, अर्ध कोण और त्रिगुण कोण, ज्या और कोज्या का सम-विषम गुण और आवर्तता, उनके शून्यक, सहांत कोणों का अभिलक्षण, $\icc{0}{\pi}$ में कोज्या की एकदिष्टता और कोज्या नियम, जो त्रिकोणमितीय फलनों पर इकाई 1 में और विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति पर इकाई 2 में सिद्ध किए गए। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Cयूक्लिडीय ज्यामिति. पाठ्यक्रम I की समतल की विश्लेषणात्मक ज्यामिति वाली इकाई में यूक्लिडीय ज्यामिति के तथ्य स्वीकार किए जाते हैं: पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम, समांतर रेखाएँ, थेल्स प्रमेय और त्रिभुजों की समरूपता, त्रिभुज के कोणों का योग और समद्विबाहु त्रिभुज। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Dआगमन का सिद्धांत. यदि कोई गुण पहली प्राकृत संख्या के लिए सत्य है और हर प्राकृत संख्या से उसके ठीक बाद वाली प्राकृत संख्या तक पहुँचता है, तो वह सभी के लिए सत्य है; पाठ्यक्रम I की प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Eद्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग. हर प्राकृत संख्या $n$ के लिए $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ सत्य है, और यदि $q \neq 1$ , तो $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ ; पाठ्यक्रम I की प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध, दोनों परिकलन केवल योग और गुणन के गुणों का उपयोग करते हैं और सम्मिश्र संख्याओं के साथ भी मान्य हैं। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Fशेषफल सहित विभाजन और बेज़ू सर्वसमिका. हर पूर्णांक $qn + r$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $0 \leq r \leq n - 1$ , और यदि $\operatorname{HCF}(k, n) = 1$ तो ऐसे पूर्णांक $x$ और $y$ होते हैं कि $kx + ny = 1$ ; पाठ्यक्रम I की प्राकृत संख्याओं वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Gवास्तविक चरघातांकी. वास्तविक चरघातांकी फलन धनात्मक, एकैकी और धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकैकी आच्छादी है, $e^a e^c = e^{a + c}$ को संतुष्ट करता है और अतिपरवलयिक कोज्या और ज्या को परिभाषित करता है; पाठ्यक्रम I की चरघातांकी और लघुगणक वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Hगुणनखंड प्रमेय और आधारभूत प्रमेय. यदि $z_0$ बहुपद $P$ का मूल है, तो $z - z_0$ , $P$ को विभाजित करता है, जो पाठ्यक्रम I की बीजीय फलनों वाली इकाई में सिद्ध हुआ और सम्मिश्र संख्याओं में मान्य है; और घात $n \geq 1$ के हर सम्मिश्र बहुपद का कोई सम्मिश्र मूल होता है, जो बिना प्रमाण स्वीकार किया जाता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।

खंड 1 ध्रुवीय रूप और गुणनफल
- हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में लिखना और सिद्ध करना कि यह लेखन पूरे चक्करों के अंतर को छोड़कर अद्वितीय है।
- योग और अंतर के सूत्रों से सिद्ध करना कि गुणनफल में मापांक गुणा होते हैं और कोणांक जुड़ते हैं।
- उससे ध्रुवीय रूप में संयुग्मी और प्रतिलोम, और गुणनफल के मुख्य कोणांक का व्यवहार निकालना।
- किसी सम्मिश्र संख्या से गुणा को घूर्णन और तनन के संघटन के रूप में समझना।
1. ध्रुवीय रूप में समता. $z = a + bi \neq 0$ का कोणांक हर वह वास्तविक संख्या $\theta$ है जिसके लिए $a = \abs{z} \cos \theta$ और $b = \abs{z} \sin \theta$ ; सम्मिश्र संख्या $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , जहाँ $r > 0$ , का मापांक $r$ और कोणांक $\theta$ है, और ऐसे दो व्यंजक बराबर हैं यदि और केवल यदि उनका मापांक समान है और उनके कोणांकों का अंतर $2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज है।
  आधार: B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप.
2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल. यदि $z$ का मापांक $r$ और कोणांक $\theta$ है, और $w$ का मापांक $s$ और कोणांक $\varphi$ है, तो गुणनफल $zw$ का मापांक $rs$ और कोणांक $\theta + \varphi$ है, और भागफल $\frac{z}{w}$ का मापांक $\frac{r}{s}$ और कोणांक $\theta - \varphi$ है।
  आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप.
3. संयुग्मी और प्रतिलोम. यदि $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , जहाँ $r > 0$ , तो $z$ के संयुग्मी का मापांक $r$ और कोणांक $-\theta$ है, और प्रतिलोम $\frac{1}{z}$ का मापांक $\frac{1}{r}$ और कोणांक $-\theta$ है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप.
4. गुणनफल का मुख्य कोणांक. $zw$ का मुख्य कोणांक $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ है, जहाँ $k$ , $-1$ , $0$ या $1$ के बराबर है, और $k = 0$ ठीक तब होता है जब वह योग $\ioc{-\pi}{\pi}$ में हो।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप.
5. गुणनफल के समरूप त्रिभुज. यदि $z \neq 0$ और $w$ वास्तविक नहीं है, तो शीर्षों $0$ , $z$ और $zw$ वाला त्रिभुज शीर्षों $0$ , $1$ और $w$ वाले त्रिभुज के समरूप है, अनुपात $\abs{z}$ के साथ: $z$ से गुणा करना घूर्णन और तनन है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल. आधार: C (यूक्लिडीय ज्यामिति), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप.
खंड 2 घातें और मूल
- हर पूर्णांक घातांक के लिए डी मॉयवर सूत्र को आगमन से सिद्ध करना।
- उससे और द्विपद प्रमेय से अपवर्त्य कोणों के सूत्र प्राप्त करना, कोज्या की घातों का रैखिकीकरण करना और गुणोत्तर योग से ज्याओं और कोज्याओं के योग निकालना।
- सिद्ध करना कि हर शून्येतर सम्मिश्र संख्या के ठीक $n$ $n$ वें मूल होते हैं, जो एक सम बहुभुज के शीर्ष हैं।
- 1 के मूलों का अध्ययन करना: उनकी घातें, उनका योग, $z^n - 1$ का गुणनखंडन और आद्य मूल।
1. डी मॉयवर सूत्र. हर वास्तविक $\theta$ और हर पूर्णांक $n$ के लिए $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ सत्य है; अतः, यदि $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ , तो घात $z^n$ का मापांक $r^n$ और कोणांक $n\theta$ है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 3. संयुग्मी और प्रतिलोम. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), D (आगमन का सिद्धांत), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें.
2. अपवर्त्य कोण. $n\theta$ की कोज्या उन पदों $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ का एकांतर योग है जिनका सूचकांक $k$ सम है, और $n\theta$ की ज्या विषम सूचकांक वाले पदों का एकांतर योग है।
  उपयोग करती है: 6. डी मॉयवर सूत्र. आधार: E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग). सिद्ध किया गया: डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें.
3. रैखिकीकरण. यदि $z = \cos \theta + i \sin \theta$ , तो $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ और $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ सत्य हैं; इनसे, उदाहरण के लिए, $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ और $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ निकलते हैं।
  उपयोग करती है: 6. डी मॉयवर सूत्र. आधार: E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें.
4. ज्याओं और कोज्याओं के योग. यदि $\theta$ , $2\pi$ का पूर्णांक गुणज नहीं है, तो सम्मिश्र संख्याओं $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ का योग, जहाँ $k$ , $0$ से $n - 1$ तक है, वास्तविक संख्या $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ और उस सम्मिश्र संख्या का गुणनफल है जिसका मापांक $1$ और कोणांक $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ है, जिससे कोज्याओं और ज्याओं के योग मिलते हैं।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 6. डी मॉयवर सूत्र. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: डी मॉयवर सूत्र और सम्मिश्र संख्याओं की घातें.
5. nवें मूल. यदि $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ , तो समीकरण $z^n = w$ के ठीक $n$ हल हैं, जिनका मापांक $\sqrt[n]{R}$ और कोणांक $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ हैं, जहाँ $0 \leq k \leq n - 1$ , और जो $n \geq 3$ के लिए त्रिज्या $\sqrt[n]{R}$ के वृत्त में अंतर्लिखित सम बहुभुज के शीर्ष हैं।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 6. डी मॉयवर सूत्र. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), F (शेषफल सहित विभाजन और बेज़ू सर्वसमिका), B (त्रिकोणमितीय सूत्र), D (आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
6. घातों के रूप में 1 के मूल. 1 के $n$ वें मूल घातें $\omega_k = \omega^k$ ( $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ की) हैं; वे सूचकांकों को मापांक $n$ के सापेक्ष जोड़कर गुणा होते हैं, हर एक का प्रतिलोम उसका संयुग्मी है, और उनमें से किसी एक से गुणा करना उन्हें क्रमचयित करता है।
  उपयोग करती है: 3. संयुग्मी और प्रतिलोम, 6. डी मॉयवर सूत्र, 10. nवें मूल. आधार: F (शेषफल सहित विभाजन और बेज़ू सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
7. मूलों की घातों का योग. यदि $n \geq 2$ , तो $m$ वीं घातों का योग (1 के सभी $n$ $n$ वें मूलों का) $n$ है यदि $n$ , $m$ को विभाजित करता है, और अन्यथा $0$ ; विशेष रूप से, मूलों का योग शून्य है।
  उपयोग करती है: 11. घातों के रूप में 1 के मूल. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
8. z की घात n घटा 1 का गुणनखंडन. हर प्राकृत संख्या $n$ के लिए बहुपद $z^n - 1$ , $n$ गुणनखंडों $z - \omega_k$ का गुणनफल है, जहाँ $0 \leq k \leq n - 1$ ।
  उपयोग करती है: 10. nवें मूल. आधार: H (गुणनखंड प्रमेय और आधारभूत प्रमेय). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
9. आद्य मूल. मूल $\omega_k$ , जहाँ $1 \leq k \leq n$ , आद्य है, अर्थात् उसकी घातें 1 के सभी $n$ वें मूल देती हैं, यदि और केवल यदि $\operatorname{HCF}(k, n) = 1$ ।
  उपयोग करती है: 11. घातों के रूप में 1 के मूल, 12. मूलों की घातों का योग. आधार: F (शेषफल सहित विभाजन और बेज़ू सर्वसमिका). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
10. x की घात n घटा 1 का वास्तविक गुणनखंडन. अवास्तविक संयुग्मी मूलों का हर युग्म $\omega_k$ और $\omega_{n - k}$ अलघुकरणीय गुणनखंड $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ देता है, इस प्रकार कि $x^n - 1$ , $x - 1$ , $x + 1$ (यदि $n$ सम है) और इन द्विघात गुणनखंडों का गुणनफल है।
  उपयोग करती है: 3. संयुग्मी और प्रतिलोम, 11. घातों के रूप में 1 के मूल, 13. z की घात n घटा 1 का गुणनखंडन. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्या के n-वें मूल और 1 के मूल.
खंड 3 सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ज्यामिति
- ऑयलर सूत्र से $e^{i\theta}$ को और $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ को परिभाषित करना, और ऊपर के नियमों में घातांकों के नियम पहचानना।
- सिद्ध करना कि चरघातांकी फलन योगों को गुणनफलों में बदलता है और $2\pi i$ आवर्तकाल वाला आवर्ती फलन है।
- कोज्या और ज्या को चरघातांकी फलनों के द्वारा व्यक्त करना, उन्हें अतिपरवलयिक फलनों से जोड़ना और किसी सम्मिश्र संख्या के लघुगणक प्राप्त करना।
- समतल के घूर्णनों और परावर्तनों को सम्मिश्र संख्याओं से लिखना, संरेखता और लंबता को एक भागफल में पढ़ना, त्रिभुज के अभिविन्यास को परिभाषित करना और उसकी निश्चरता सिद्ध करना, और समबाहु त्रिभुज का अभिलक्षण करना।
1. काल्पनिक चरघातांकी. सम्मिश्र संख्या $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ का मापांक $1$ है, और $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ , $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ और $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ सत्य हैं, जिनमें अंतिम उसका संयुग्मी है; इसके अतिरिक्त, $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ यदि और केवल यदि $\alpha - \beta$ , $2\pi$ का पूर्णांक गुणज है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 3. संयुग्मी और प्रतिलोम, 6. डी मॉयवर सूत्र. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र.
2. योग का चरघातांकी. यदि $z = a + bi$ और $e^z = e^a e^{ib}$ , तो $e^z$ का मापांक $e^a$ है, $b$ उसके कोणांकों में से एक है और $e^z$ कभी शून्य नहीं होता; और सभी सम्मिश्र संख्याओं $z$ और $w$ के लिए $e^{z + w} = e^z e^w$ सत्य है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 16. काल्पनिक चरघातांकी. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), G (वास्तविक चरघातांकी). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र.
3. चरघातांकी फलन की आवर्तता. $e^z = 1$ सत्य है यदि और केवल यदि $z = 2k\pi i$ , किसी पूर्णांक $k$ के लिए; अतः $e^z = e^w$ यदि और केवल यदि $z - w$ , $2\pi i$ का पूर्णांक गुणज है।
  उपयोग करती है: 17. योग का चरघातांकी. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), G (वास्तविक चरघातांकी). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र.
4. कोज्या और ज्या के ऑयलर सूत्र. $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ सत्य हैं; इनसे किसी सम्मिश्र संख्या की कोज्या और ज्या परिभाषित की जाती हैं, जो योग सूत्रों, द्विगुण कोण के सूत्रों और घात घटाने के सूत्रों को बनाए रखती हैं, पर दोहरे चिह्न वाले अर्ध कोण के सूत्रों को नहीं, और $\cos(ix) = \cosh x$ और $\sin(ix) = i \sinh x$ प्राप्त होते हैं।
  उपयोग करती है: 16. काल्पनिक चरघातांकी, 17. योग का चरघातांकी. आधार: B (त्रिकोणमितीय सूत्र), G (वास्तविक चरघातांकी). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र.
5. किसी सम्मिश्र संख्या के लघुगणक. यदि $z \neq 0$ , तो $e^w = z$ के हल $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ हैं, जहाँ $k$ पूर्णांक है; और उनसे परिभाषित $z^{\frac{1}{n}}$ के मान ठीक $n$ $n$ वें मूल ( $z$ के) हैं।
  उपयोग करती है: 10. nवें मूल, 11. घातों के रूप में 1 के मूल, 17. योग का चरघातांकी, 18. चरघातांकी फलन की आवर्तता. आधार: A (ध्रुवीय रूप में समता), G (वास्तविक चरघातांकी). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र चरघातांकी फलन और ऑयलर सूत्र.
6. किसी बिंदु के परितः घूर्णन. रूपांतरण $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ , $c$ को स्थिर रखता है, दूरियों को बनाए रखता है और कोण $\varphi$ से उस रेखाखंड को घुमाता है जो हर बिंदु को $c$ से जोड़ता है: यह केंद्र $c$ और कोण $\varphi$ वाला घूर्णन है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 16. काल्पनिक चरघातांकी. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति.
7. परावर्तन और उनका संघटन. मूल बिंदु से होकर जाने वाली और कोण $\alpha$ वाली रेखा में परावर्तन दूरीसंरक्षी रूपांतरण $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ है, और कोणों $\alpha$ और $\beta$ वाले परावर्तनों का संघटन मूल बिंदु पर केंद्र और कोण $2(\beta - \alpha)$ वाला घूर्णन है।
  उपयोग करती है: 3. संयुग्मी और प्रतिलोम, 16. काल्पनिक चरघातांकी, 21. किसी बिंदु के परितः घूर्णन. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति.
8. संरेखता और अभिविन्यास. यदि $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ , तो $z_1$ से $z_2$ तक के रेखाखंड से $z_1$ से $z_3$ तक के रेखाखंड तक का अभिविन्यस्त कोण $q$ का एक कोणांक है; बिंदु संरेख हैं यदि और केवल यदि $q$ वास्तविक है, और रेखाखंड लंब हैं यदि और केवल यदि $q$ विशुद्ध काल्पनिक है। यदि बिंदु संरेख नहीं हैं, तो त्रिभुज $z_1 z_2 z_3$ धनात्मक अभिविन्यस्त है जब $\operatorname{Im} q > 0$ ; अभिविन्यास आरंभिक शीर्ष पर निर्भर नहीं करता, दो शीर्षों की अदला-बदली करने पर और परावर्तन लागू करने पर उलट जाता है, और घूर्णनों से बना रहता है।
  उपयोग करती है: 2. ध्रुवीय रूप में गुणनफल और भागफल, 16. काल्पनिक चरघातांकी, 21. किसी बिंदु के परितः घूर्णन, 22. परावर्तन और उनका संघटन. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति.
9. समबाहु त्रिभुज. यदि $z_1 \neq z_2$ , तो बिंदु $z_1$ , $z_2$ और $z_3$ , इसी क्रम में, धनात्मक अभिविन्यस्त समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं यदि और केवल यदि $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ , जहाँ $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ; उपपत्ति शर्त को $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ तक, जहाँ $\operatorname{Im} q > 0$ , अर्थात् $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ तक, ले आती है।
  उपयोग करती है: 16. काल्पनिक चरघातांकी, 12. मूलों की घातों का योग, 23. संरेखता और अभिविन्यास. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं से ज्यामिति.
खंड 4 बहुपद समीकरण
- बीजगणित की आधारभूत प्रमेय से निकालना कि घात $n$ का हर सम्मिश्र बहुपद $n$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है।
- मूलों और गुणांकों के बीच के संबंध सिद्ध करना।
- त्रिघात समीकरण को कार्डानो सूत्र से हल करना, उसके वास्तविक मूलों का विविक्तकर से वर्गीकरण करना और अलघुकरणीय स्थिति को त्रिगुण कोण से हल करना।
- चतुर्घात समीकरण को फ़ेरारी विधि से त्रिघात समीकरण में बदलना।
1. सम्मिश्र संख्याओं पर गुणनखंडन. घात $n \geq 1$ और अग्रग गुणांक $a_n$ वाला हर सम्मिश्र बहुपद $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ है, और बहुलता सहित गिनने पर उसके ठीक $n$ मूल हैं।
  आधार: D (आगमन का सिद्धांत), H (गुणनखंड प्रमेय और आधारभूत प्रमेय). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.
2. मूलों और गुणांकों के संबंध. मूलों के प्रारंभिक सममित फलन $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ को संतुष्ट करते हैं; विशेष रूप से, मूलों का योग $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ है और उनका गुणनफल $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ है।
  उपयोग करती है: 25. सम्मिश्र संख्याओं पर गुणनखंडन. आधार: D (आगमन का सिद्धांत). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.
3. कार्डानो सूत्र. प्रतिस्थापन $x = t - \frac{b}{3a}$ त्रिघात समीकरण को $t^3 + pt + q = 0$ में बदल देता है; यदि $u$ एक घनमूल है, जिसके भीतर की संख्या $U$ सहायक समीकरण $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ का मूल है, और $v = -\frac{p}{3u}$ , तो उसके मूल $u + v$ , $\omega u + \omega^2 v$ और $\omega^2 u + \omega v$ हैं।
  उपयोग करती है: 10. nवें मूल, 11. घातों के रूप में 1 के मूल, 12. मूलों की घातों का योग, 26. मूलों और गुणांकों के संबंध. आधार: E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.
4. त्रिघात समीकरण का विविक्तकर. यदि $p$ और $q$ वास्तविक हैं और $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ , तो त्रिघात समीकरण $t^3 + pt + q = 0$ के एक वास्तविक मूल और दो अवास्तविक संयुग्मी मूल हैं यदि $\Delta < 0$ , किसी बहुगुण मूल सहित वास्तविक मूल हैं यदि $\Delta = 0$ , और तीन अलग वास्तविक मूल हैं यदि $\Delta > 0$ ।
  उपयोग करती है: 3. संयुग्मी और प्रतिलोम, 11. घातों के रूप में 1 के मूल, 27. कार्डानो सूत्र. सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.
5. त्रिकोणमितीय हल. यदि $\Delta > 0$ , तो $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ लेकर और $c = \frac{3q}{pm}$ को $\ioo{-1}{1}$ में चुनकर, तीन वास्तविक मूल $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ हैं, जहाँ $k = 0, 1, 2$ ।
  उपयोग करती है: 25. सम्मिश्र संख्याओं पर गुणनखंडन, 28. त्रिघात समीकरण का विविक्तकर. आधार: B (त्रिकोणमितीय सूत्र). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.
6. फ़ेरारी विधि. प्रतिस्थापन $x = y - \frac{b}{4a}$ चतुर्घात समीकरण को $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ में बदल देता है; यदि $q \neq 0$ और $m$ उसके त्रिघात सहायक समीकरण का मूल है, और $s^2 = 2m$ , तो चतुर्घात बहुपद दो द्विघात गुणनखंडों का गुणनफल है जिनके मूल उसी के मूल हैं।
  उपयोग करती है: 10. nवें मूल, 25. सम्मिश्र संख्याओं पर गुणनखंडन, 27. कार्डानो सूत्र. आधार: E (द्विपद प्रमेय और गुणोत्तर योग). सिद्ध किया गया: सम्मिश्र संख्याओं में बहुपद समीकरण: कार्डानो और फ़ेरारी सूत्र.

आव्यूहों और बीजीय संरचनाओं की ओर. शृंखला वहाँ समाप्त होती है जहाँ सम्मिश्र संख्याएँ संरचना बन जाती हैं: $e^{i\varphi}$ से गुणा एक घूर्णन आव्यूह होगा, मापांक का वर्ग एक सारणिक, और 1 के मूल, जो उसी तरह गुणा होते हैं जैसे $n$ से विभाजन के शेषफल जुड़ते हैं, चक्रीय समूह का पहला उदाहरण।

इस पाठ के शेष भाग में

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई
समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
सम सप्तभुज की ज्याओं का एक योग
कोस्पर्शज्याओं के वर्गों का योग
शीर्षों तक की दूरियों की चौथी घातें
एक की घातों के मान
एक त्रिघात समीकरण के मूलों की घातें और रूपांतरण
एक-तिहाई चक्कर के तीन घूर्णन
1 के मूलों पर व्युत्क्रमों का एक योग
सम सप्तभुज का त्रिघात समीकरण
ऋण तीन की घातों के साथ एक द्विपद योग
1 के मूलों पर एक गुणनफल

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