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Latineसारांश
यह पाठ पाठ्यक्रम की चौथी इकाई का आरंभ करता है, जो आव्यूहों और बीजीय संरचनाओं को समर्पित है। यह उन सात पाठों का परिचय देता है जिनसे इकाई बनी है, और उस सूत्र का भी जो उन्हें जोड़ता है: रैखिक निकाय के गुणांकों की सारणी अपनी संक्रियाओं वाली एक वस्तु बन जाती है; सारणिक यह तय करता है कि वर्ग गुणांक आव्यूह वाले निकाय का हल कब अद्वितीय होता है; व्युत्क्रम आव्यूह उस निकाय को एक ही बार में हल करता है; आव्यूहों को समतल के रूपांतरणों के रूप में पढ़ा जाता है; सम्मिश्र संख्याएँ आव्यूहों के एक कुल के रूप में फिर प्रकट होती हैं; और इन सभी गणनाओं में जो साझा है, वह बीजीय अर्थ में समूह, वलय और क्षेत्र की धारणाओं में संघनित होता है। पाठ इन विचारों की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को गणितीय कला पर नौ अध्याय से केली, गाल्वा और नॉइथर तक खोजता है, उन दो समस्याओं को सटीक रूप से प्रस्तुत करता है जिनसे वे जन्मे, अर्थात् रैखिक निकायों का हल और करणियों द्वारा बहुपद समीकरणों का हल, और दिखाता है कि वे फिर कहाँ काम आते हैं: इस पाठ्यक्रम में, विशेषकर समष्टि की उस विश्लेषिक ज्यामिति में जो पाठ्यक्रम को समाप्त करती है, साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में, तथा विज्ञान और प्रौद्योगिकी में।
अधिगम उद्देश्य
- इकाई के पाठों का क्रम बताना और यह समझाना कि प्रत्येक पाठ रैखिक निकायों, समतल के रूपांतरणों और बीजीय संरचनाओं के अध्ययन में क्या जोड़ता है।
- आव्यूह, सारणिक और समूह की धारणाओं को उनके ऐतिहासिक संदर्भ में रखना, और उस समस्या का नाम लेना जिसे हल करने के लिए प्रत्येक धारणा आई।
- तीन अज्ञातों वाली एक शास्त्रीय समस्या को आव्यूह समीकरण के रूप में प्रस्तुत करना और उसे विलोपन तथा सारणिकों से हल करना।
- द्विघात समीकरण के उदाहरण से समझाना कि किसी समीकरण के मूलों के क्रमचयों के अध्ययन से समूह की धारणा क्यों निकली, और आव्यूहों तथा बीजीय संरचनाओं के आज के उपयोगों को पहचानना।
प्रवेश मूल्यांकन
इकाई शुरू करने से पहले अपनी आरंभिक स्थिति को मापना उपयोगी है। पहले नौ प्रश्न सात विषय-पाठों को क्रम से कवर करते हैं, और दो केंद्रीय पाठों, सारणिकों के पाठ और व्युत्क्रम आव्यूह के पाठ, को दो-दो प्रश्न मिलते हैं। दसवाँ प्रश्न मॉडलिंग का है: वह एक ठोस स्थिति को आव्यूहों के गुणनफल से व्यक्त करने को कहता है, और यही कौशल अंतिम सारांश पाठ में फिर मापा जाता है। अंतिम तीन प्रश्न जाँचते हैं कि इकाई पाठ्यक्रम I से और ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं वाली इकाई से क्या ज्ञात मानकर चलती है। इसमें अंक नहीं दिए जाते: यह जानने के लिए है कि क्या पक्का हो चुका है और कहाँ रुककर देखना चाहिए।
इकाई शुरू करने से पहले अपना आरंभ बिंदु मापें। यह एक छोटा स्व-मूल्यांकन है: इस पर अंक नहीं दिए जाते और इसका परिणाम केवल आपके ब्राउज़र में रहता है।
प्रश्न 1आव्यूहों और के लिए, गुणनफल क्या है?
यह गुणनफल है, उलटे क्रम में। आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, और में पंक्तियाँ की होती हैं।यह प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि गुणनफल है, जो रैखिक प्रतिस्थापनों के संघटन के संगत नहीं है। आव्यूहों का गुणन पंक्तियों को स्तंभों से जोड़ता है।यहाँ की पंक्तियों को की पंक्तियों से जोड़ा गया है, और ऐसा करने पर मिलता है। प्रविष्टि ( की) में स्तंभ ( का) काम आता है।प्रत्येक प्रविष्टि की एक पंक्ति को के एक स्तंभ से जोड़ती है: प्रविष्टि का मान है, प्रविष्टि का , प्रविष्टि का , और प्रविष्टि का ।दोहराएँ: आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ
प्रश्न 2निकाय , , पर विचार कीजिए। के किन मानों के लिए निकाय संगत है, और तब उसके कितने हल होते हैं?
तीन अज्ञातों वाले तीन समीकरणों का हल सदा अद्वितीय नहीं होता। यहाँ गुणांक आव्यूह की जाति है, क्योंकि तीसरी पंक्ति अन्य दो का योग है।संगत होने का अर्थ हल का अद्वितीय होना नहीं है: होने पर साझी जाति है, जो अज्ञातों की संख्या से कम है, और हल अनंत हैं।गुणांकों की एक पंक्ति का अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन होना निकाय को असंगत नहीं बनाता; असंगति केवल तब होती है जब स्वतंत्र पद वही संबंध पूरा नहीं करते, अर्थात् जब ।गुणांकों की तीसरी पंक्ति पहली दो का योग है, और सोपानक रूप में लाने पर पंक्ति बचती है। यदि , तो संवर्धित आव्यूह की जाति और गुणांक आव्यूह की जाति होती है, अतः निकाय असंगत है। यदि , तो दोनों जातियाँ हैं, जो अज्ञातों की संख्या से कम है, और रूशे-फ्रोबेनियस प्रमेय के अनुसार स्वतंत्र प्राचल होता है।दोहराएँ: रैखिक निकाय और गाउस-जॉर्डन विधि
प्रश्न 3पंक्तियों , , वाले आव्यूह का सारणिक परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
पहली पंक्ति के अनुदिश प्रसार करने पर मिलता है। का परिणाम प्रसार के दूसरे पद का एकांतर चिह्न भूलने से आता है।दोहराएँ: सारणिक: गुणधर्म और क्रेमर नियम
प्रश्न 4यदि कोटि का आव्यूह है और , तो का मान क्या है?
सही उत्तर:
परिवर्त का सारणिक मूल आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है, और आव्यूह को से गुणा करने पर उसकी तीनों पंक्तियों में से प्रत्येक से गुणा होती है; प्रत्येक पंक्ति में रैखिकता के कारण सारणिक से गुणा होता है, जो है। का परिणाम से केवल एक बार गुणा करने से आता है, मानो में केवल एक पंक्ति गुणा हुई हो।दोहराएँ: सारणिक: गुणधर्म और क्रेमर नियम
प्रश्न 5आव्यूह का व्युत्क्रम क्या है?
यह बिना परिवर्त किया गया सहखंड आव्यूह है। व्युत्क्रम सहखंडज आव्यूह, अर्थात् सहखंड आव्यूह के परिवर्त, को सारणिक से भाग देने पर मिलता है।यह प्रविष्टियों के व्युत्क्रमों का आव्यूह है, जो व्युत्क्रम नहीं है: इसका के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह नहीं है। किसी आव्यूह का व्युत्क्रम प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि परिकलित नहीं होता।मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों की अदला-बदली की गई, पर दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियों का चिह्न नहीं बदला गया: के साथ गुणनफल में विकर्ण के बाहर शून्येतर प्रविष्टियाँ आती हैं।सारणिक है। कोटि 2 के आव्यूहों के सूत्र के अनुसार मुख्य विकर्ण की प्रविष्टियों की अदला-बदली की जाती है, दूसरे विकर्ण की प्रविष्टियों का चिह्न बदला जाता है, और से भाग दिया जाता है। के साथ गुणनफल तत्समक आव्यूह है।दोहराएँ: व्युत्क्रम आव्यूह
प्रश्न 6मान लीजिए , , एक ही कोटि के वर्ग आव्यूह हैं, तथा और व्युत्क्रमणीय हैं। समीकरण का हल क्या है?
व्युत्क्रमों को उलटी ओर रखा गया है। गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, अतः को (जो के बाईं ओर है) हटाने के लिए बाईं ओर से से गुणा करना होता है।सब कुछ बाईं ओर से गुणा किया गया है। से के बाईं ओर गुणा करने पर (जो के दाईं ओर है) नहीं हटता।आव्यूहों का भागफल परिभाषित नहीं है, क्योंकि उससे यह पता नहीं चलता कि किस ओर से गुणा किया गया है। समीकरण प्रत्येक व्युत्क्रम से उसकी अपनी ओर से गुणा करके हल किया जाता है।से बाईं ओर से गुणा किया जाता है, जो वह ओर है जहाँ है, और से दाईं ओर से, जो वह ओर है जहाँ है; साहचर्यता से ।दोहराएँ: व्युत्क्रम आव्यूह
प्रश्न 7समतल के उस रूपांतरण का आव्यूह क्या है जो प्रत्येक सदिश को मूलबिंदु के परितः वामावर्त दिशा में चौथाई चक्कर घुमाता है और फिर क्षैतिज अक्ष में परावर्तित करता है?
यह है, उलटे क्रम का संघटन: पहले परावर्तन और बाद में घूर्णन। संघटन के आव्यूह में पहले लागू होने वाला रूपांतरण दायाँ गुणक होता है।यह केवल चौथाई चक्कर का घूर्णन है; परावर्तन के साथ संघटन छूट गया है।यह दक्षिणावर्त चौथाई चक्कर का घूर्णन है। इसका सारणिक है, जबकि घूर्णन और परावर्तन का संघटन अभिविन्यास उलट देता है और उसका सारणिक होता है।परावर्तन (पंक्तियाँ और ) का घूर्णन (पंक्तियाँ और ) के बाद संघटन का आव्यूह है: पहले लागू होने वाला गुणक दाईं ओर जाता है। इसके स्तंभ सदिश का प्रतिबिंब हैं, जो पहले पर और फिर पर जाता है, तथा सदिश का, जो पर जाकर अपरिवर्तित रहता है।दोहराएँ: समतल के रूपांतरणों के रूप में आव्यूह
प्रश्न 8मान लीजिए सम्मिश्र संख्या से गुणन का आव्यूह है। परिकलित कीजिए।
सही उत्तर:
के आव्यूह की पंक्तियाँ और हैं, और उसका सारणिक है; यहाँ । का परिणाम परिकलित करने से, अर्थात् प्रविष्टि का चिह्न भूलने से, आता है, और का परिणाम मापांक के वर्ग के स्थान पर मापांक लेने से।प्रश्न 9निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन-सा दी गई संक्रिया के साथ समूह है?
पूर्णांकों का गुणन साहचर्य है और उसका तत्समक अवयव है, पर का प्रतिलोम अवयव नहीं है: कोई भी पूर्णांक ऐसा नहीं है कि ।प्राकृत संख्याओं का योग साहचर्य है, पर उसका तत्समक अवयव नहीं है, क्योंकि प्राकृत संख्याएँ से आरंभ होती हैं; योग के लिए प्रतिलोम अवयव भी नहीं हैं।यह समुच्चय संवृत नहीं है: ( में), और यह परिणाम समुच्चय में नहीं है। शून्य भाजकों के कारण शून्येतर शेषफल समूह नहीं बनाते।क्योंकि अभाज्य है, एक क्षेत्र है: दो शून्येतर शेषफलों का गुणनफल शून्येतर होता है, गुणन साहचर्य है, उसका तत्समक अवयव है, और प्रत्येक शून्येतर शेषफल का प्रतिलोम अवयव होता है।दोहराएँ: बीजीय संरचनाएँ: समूह, वलय और क्षेत्र
प्रश्न 10एक शहर के केंद्र में हज़ार और उपनगरों में हज़ार निवासी रहते हैं। प्रत्येक वर्ष केंद्र के प्रतिशत निवासी उपनगरों में चले जाते हैं और उपनगरों के प्रतिशत निवासी केंद्र में आ जाते हैं; इनके अतिरिक्त कोई न आता है न जाता है। यदि ये अनुपात बने रहें, तो दो वर्ष बाद केंद्र में कितने हज़ार निवासी होंगे?
सही उत्तर:
यदि सदिश वर्ष के बाद केंद्र और उपनगरों की जनसंख्या दर्शाता है, तो प्रत्येक वर्ष उसे संक्रमण आव्यूह (पंक्तियाँ , और , ) से गुणा किया जाता है, जिसका स्तंभ इलाक़े के निवासियों को बाँटता है; गुणन की साहचर्यता से । पहले वर्ष और मिलते हैं, दूसरे वर्ष और , और कुल बना रहता है। का परिणाम केवल एक वर्ष परिकलित करने से आता है, और का परिणाम के परिवर्त का उपयोग करने से, जिसके स्तंभों का योग नहीं है, इसलिए कुल नहीं बना रहता।दोहराएँ: आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ
प्रश्न 11पिछली इकाइयों सेक्रेमर नियम से निकाय , हल कीजिए और का मान दीजिए।
सही उत्तर:
निकाय का सारणिक है, और के स्तंभ को स्वतंत्र पदों से बदलने पर प्राप्त सारणिक है; अतः , और साथ ही । का परिणाम दोनों में से किसी एक सारणिक में विकर्णों के गुणनफलों को उलटे क्रम में घटाने से आता है।प्रश्न 12पिछली इकाइयों से का व्युत्क्रम (मापांक के सापेक्ष) ज्ञात कीजिए, अर्थात् वह शेषफल ( और के बीच) जिसके लिए ।
सही उत्तर:
क्योंकि , व्युत्क्रम विद्यमान है, और । का उत्तर मापांक के सापेक्ष शेषफल के स्थान पर परिमेय संख्याओं में व्युत्क्रम खोजने से आता है।दोहराएँ: सर्वांगसमताएँ और मॉड्यूलर अंकगणित
प्रश्न 13पिछली इकाइयों से का ध्रुवीय रूप क्या है?
कोज्या और ज्या की अदला-बदली हो गई है: वास्तविक भाग के संगत होगा, जबकि वास्तविक भाग है।यहाँ मापांक का वर्ग लिया गया है और वर्गमूल नहीं निकाला गया।यह दूसरे चतुर्थांश की सम्मिश्र संख्या है; का वास्तविक भाग धनात्मक है और वह पहले चतुर्थांश में है।मापांक है, और कोणांक पहले चतुर्थांश का वह कोण है जिसकी कोज्या और ज्या है, अर्थात् ।दोहराएँ: सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप
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