त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: सारांश और चुनौतियाँ

सारांश

यह पाठ त्रिकोणमितीय फलनों और ध्रुवीय निर्देशांकों की इकाई को समाप्त करता है। यह उसके छह पाठों में सिद्ध की गई बातों को एक ही निगमनात्मक शृंखला में एकत्र करता है: चाप की लंबाई द्वारा कोणों की माप, मात्रक वृत्त पर ज्या और कोज्या की परिभाषा और उसके परिणाम, इन फलनों और उनके प्रतिलोमों का अध्ययन, सभी त्रिभुजों का हल, और ध्रुवीय निर्देशांक तथा उनके वक्र। यह समझाता है कि यह शृंखला बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम पर, शेषफल सहित विभाजन से लेकर शांकवों और सदिशों तक, कैसे टिकी है, और बाद वाली इकाई की विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति की तैयारी कैसे करती है। यह समापन मूल्यांकन में परिचय के प्रवेश मूल्यांकन के कौशलों को दोहराता है, परिणामों के कारणों पर दो प्रश्न जोड़ता है, और दस चुनौतियों के साथ समाप्त होता है, जो पाठों के प्रश्नों से अधिक कठिन हैं, उनमें से कई पाठों को मिलाती हैं और हर बार अपना एक विचार माँगती हैं।

अधिगम उद्देश्य

रेडियन से शांकवों के ध्रुवीय समीकरण तक इकाई की परिभाषाओं और प्रमेयों की शृंखला का पुनर्निर्माण करना, और पहचानना कि हर एक किस परिणाम पर निर्भर करता है।
इकाई के परिणामों को पाठ्यक्रम I के परिणामों से और उन प्रश्नों से जोड़ना जिन्हें विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति खुला छोड़ती है।
ऐसे प्रश्न हल करना जो चापों की माप, त्रिकोणमितीय फलनों की सममितियों और आलेखों, उनके प्रतिलोमों, त्रिभुजों के हल और ध्रुवीय निर्देशांकों को मिलाते हैं।

इकाई की उपलब्धियाँ

कोणों से फलनों तक

इकाई कुछ स्वीकृत तथ्यों से आरंभ होती है, जिन्हें ठीक-ठीक गिनाना उचित है। पहले दो के लिए कलन आवश्यक है: लंबाइयों और क्षेत्रफलों के तथ्य (हर चाप की लंबाई होती है और रेखाखंडों तथा चापों से घिरे हर प्रदेश का क्षेत्रफल होता है; दोनों योगात्मक हैं, आकृतियों को हिलाने पर नहीं बदलते और उनके साथ बढ़ते हैं; एक ही केंद्रीय कोण द्वारा अंतरित चाप त्रिज्याओं के समानुपाती होते हैं, और त्रिज्या $r$ वाली डिस्क का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है), और चाप-लंबाई के अनुसार गमन का अभिगृहीत: प्रत्येक वास्तविक संख्या $s$ के लिए मात्रक वृत्त का एक अद्वितीय बिंदु $P(s)$ है, जिस पर वृत्त के अनुदिश $(1, 0)$ से लंबाई $\abs{s}$ चलकर पहुँचा जाता है, उस दिशा में जो $s$ का चिह्न बताता है; यह गमन जुड़ता है ( $t$ आगे बढ़ना, $P(s)$ से आरंभ करके, $P(s + t)$ तक ले जाता है), इसका आवर्तकाल $2\pi$ है, यह सभी बिंदुओं तक पहुँचता है, और पहले आधे चक्कर में, जो $P(\pi) = (-1, 0)$ पर समाप्त होता है, यह दृढ़तः ह्रासमान भुज के साथ ऊपरी अर्धवृत्त पार करता है। शेष तथ्य प्रारंभिक ज्यामिति से आते हैं, जिसे पाठ्यक्रम विकसित नहीं करता: त्रिभुज के कोणों का योग $\pi$ , समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोणों की समानता, संलग्न कोणों का योग और अंतर्लिखित कोण के सापेक्ष वृत्त के केंद्र की स्थिति, समरूपता की कसौटियाँ, पाइथागोरस प्रमेय, परावर्तनों द्वारा, जो घूर्णन की दिशा उलट देते हैं, और आधे चक्कर के घूर्णन द्वारा, जो उसे बनाए रखता है, लंबाइयों का संरक्षण, तथा वृत्त के भीतरी और बाहरी बिंदुओं से किसी जीवा को देखने वाले कोणों की तुलना। इनके साथ $\pi$ का मान भी स्वीकार किया जाता है, जिसका दशमलव प्रसार 3.14159 से आरंभ होता है, अतः $3 < \pi < 4$ , और उसकी अपरिमेयता भी। दो अन्य तथ्य, जिनके लिए भी कलन आवश्यक है, त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख वाले पाठ में स्वीकार किए जाते हैं, और उनका उपयोग केवल कुछ प्रश्न करते हैं, शृंखला की प्रमेयें कभी नहीं: त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोमों का सांतत्य, जिसके कारण उन पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लागू होती है, जिसे फिर से स्वीकार नहीं किया जाता बल्कि पाठ्यक्रम I से उद्धृत किया जाता है, और हर अंतराल $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ पर ज्या की दृढ़ अवतलता; और त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ का अंतिम हल किया गया प्रश्न, इसी कारण से, यह स्वीकार करता है कि अंतर्लिखित सम बहुभुजों के क्षेत्रफल डिस्क के क्षेत्रफल के जितने चाहें उतने निकट आते हैं। इस नींव पर, कोण और उनकी माप वाले पाठ ने संख्या $\pi$ को मात्रक वृत्त की लंबाई के आधे के रूप में और रेडियन माप को तय किए गए चाप की चिह्नसहित लंबाई के रूप में परिभाषित किया; पहले आधे चक्कर को $x$ -अक्ष के सापेक्ष परावर्तित करके, उसने सिद्ध किया कि दूसरे आधे चक्कर में गमन दृढ़तः वर्धमान भुज के साथ निचला अर्धवृत्त पार करता है; उसी नींव से अंशों और रेडियनों के बीच रूपांतरण, सूत्र $s = r\theta$ और $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ , अंतर्लिखित कोण प्रमेय, जिसके अनुसार अंतर्लिखित कोण अपने द्वारा अंतरित चाप का आधा होता है, और प्रथम चक्कर में समानयन की प्रमेय निकलीं, जिसके अनुसार हर वास्तविक संख्या एक ही प्रकार से $\theta_0 + 2k\pi$ के रूप में लिखी जाती है, जहाँ $\theta_0$ , $\ico{0}{2\pi}$ में है। चूँकि अभिगृहीत से निकलता है कि एक चक्कर एक ही बिंदु से दो बार नहीं गुजरता, दो संख्याएँ एक ही बिंदु $P(\theta)$ तभी और केवल तभी निर्धारित करती हैं जब उनका अंतर $2\pi$ का पूर्णांक गुणज हो।

त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त वाले पाठ ने ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या की दो परिभाषाएँ दीं: समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच भागफलों के रूप में, जिन्हें समरूपता त्रिभुज से स्वतंत्र बनाती है, और $P(\theta)$ के निर्देशांकों के रूप में, जो हर वास्तविक संख्या के लिए मान्य हैं; उसने सिद्ध किया कि न्यून कोणों पर दोनों मेल खाती हैं। दूसरी परिभाषा से पाइथागोरस सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ , $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{\pi}{4}$ और $\frac{\pi}{3}$ के विशिष्ट मान, और वृत्त की सममितियाँ निकलीं, जो समता, आवर्तिता, और संपूरक तथा पूरक कोणों के साथ संबंध देती हैं। इससे संदर्भ कोण विधि निकलती है, जो किसी भी कोण के अनुपातों की गणना को एक न्यून कोण के अनुपातों की गणना तक ले आती है।

त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख वाले पाठ में ये अनुपात एक वास्तविक चर के फलन बन गए। आवर्तकालों की प्रमेयिका, जो आर्किमिडीज़ गुण से सिद्ध हुई, और उच्चिष्ठों की स्थिति ने सिद्ध किया कि $2\pi$ ज्या और कोज्या का न्यूनतम आवर्तकाल है, और शून्यकों की स्थिति ने कि $\pi$ स्पर्शज्या का है; आलेख वृत्त को खोलकर बनाए गए, और दो त्रिभुजों तथा एक त्रिज्यखंड के क्षेत्रफलों की तुलना से असमिका $\sin x < x < \tan x$ मिली, जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , जिससे परिबंध $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ और स्पर्शज्या की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियाँ निकलती हैं। ज्यावक्र $a \sin(b(x - c)) + d$ , जो बीजीय फलनों पर पाठ्यक्रम I की इकाई के रूपांतरणों से ज्या से प्राप्त होते हैं, हर सरल रूप वाली आवर्ती घटना का मॉडल बनाते हैं।

प्रतिलोमन और त्रिभुजों की माप

परंतु आवर्ती फलन एकैकी नहीं होता। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ ने गमन के अभिगृहीत में पढ़ा कि कोज्या $\icc{0}{\pi}$ पर दृढ़तः ह्रासमान है, क्योंकि यही आधे चक्कर की शर्त है, निर्देशांकों में लिखी हुई; इससे और पूरक कोणों की सममिति से उसने सिद्ध किया कि ज्या $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर दृढ़तः वर्धमान है, और दोनों से कि स्पर्शज्या $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर वर्धमान है; उसने इन अंतरालों पर प्रतिलोम ज्या, प्रतिलोम कोज्या और प्रतिलोम स्पर्शज्या परिभाषित कीं, और समानता $\sin(\arcsin x) = x$ को, जो सदा सत्य है, $\arcsin(\sin x) = x$ से अलग किया, जो केवल मुख्य मान अंतराल पर सत्य है। सममितियों के साथ, प्रतिलोमों ने प्रारंभिक समीकरणों को एक पूरे चक्कर में हल किया।

इससे त्रिभुजों का हल वाले पाठ के लिए सब कुछ तैयार हो गया। एक शीर्ष को मूल बिंदु पर रखने पर, एक भुजा के सम्मुख शीर्ष के निर्देशांक $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ होते हैं; वहाँ से, इसी क्रम में, क्षेत्रफल $\frac{1}{2} bc \sin A$ , ज्या नियम और, अंतर्लिखित कोण प्रमेय के साथ, परिवृत्त की त्रिज्या से उसका संबंध, कोज्या नियम, जो पाइथागोरस प्रमेय का विस्तार करता है, और हीरोन का सूत्र निकलते हैं। चूँकि कोज्या त्रिभुज के कोण को निर्धारित करती है और ज्या नहीं, दो भुजाओं और उनमें से एक के सम्मुख कोण वाली स्थिति में कोई हल नहीं, एक या दो हल होते हैं, और संदिग्ध स्थिति की प्रमेय उन्हें एक द्विघात समीकरण के मूलों द्वारा गिनती है। अंत में, कोज्या नियम और अंतर के परिमाण के वर्ग के प्रसार ने अदिश गुणनफल द्वारा दो सदिशों के बीच के कोण की माप दी।

निर्देशांकों की दूसरी पद्धति

ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र वाले पाठ ने दृष्टिकोण उलट दिया: किसी बिंदु की मूल बिंदु से दूरी और उसके कोण से उसके कार्तीय निर्देशांक परिकलित करने के बजाय, उसने बिंदु को इन्हीं दो संख्याओं से नाम दिया। ऋणात्मक त्रिज्याएँ स्वीकार करते हुए, उसने किसी बिंदु के सभी निरूपणों का वर्णन किया, चतुर्थांश के अनुसार संशोधित प्रतिलोम स्पर्शज्या के साथ रूपांतरण के सूत्र सिद्ध किए, और कोज्या नियम से ध्रुवीय निर्देशांकों में दो बिंदुओं के बीच की दूरी प्राप्त की। सममिति के निकषों और मानों की सारणियों से हृदयाभ, गुलाब वक्र, सर्पिल और लिमासों खींचे गए, और नाभि और नियता की प्रमेय समीकरण $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ में बदल गई, जिसमें हर शांकव का प्रकार, शीर्ष और नाभिलंब पढ़े जाते हैं।

नीचे की आकृति तीनों खंडों को एक ही शृंखला में जोड़ती है। स्तंभ की हर गाँठ एक परिभाषा या एक प्रमेय है, तार्किक क्रम में क्रमांकित, और एक चाप से उन पहले की कड़ियों से जुड़ी जिनका उपयोग उसकी उपपत्ति करती है; चारों ओर आधार तैरते हैं, अर्थात् वे सिद्धांत और उपकरण जिनका सहारा शृंखला बार-बार लेती है, हर एक ठोस रेखा से उन कड़ियों से जुड़ा जो उस पर टिकी हैं और बिंदुदार रेखा से उस कड़ी से जहाँ वह स्थापित होता है, सिवाय उनके जो पाठ्यक्रम I से आते हैं या बिना प्रमाण स्वीकार किए जाते हैं, जो छल्लों के रूप में बनाए गए हैं। किसी आधार पर क्लिक करने से वे सभी कड़ियाँ उभर आती हैं जो उसका उपयोग करती हैं, और हर कड़ी उस पाठ की ओर ले जाती है जिसमें वह सिद्ध होती है।

शृंखला के आधार

Aचाप-लंबाई के अनुसार गमन. प्रत्येक वास्तविक संख्या $s$ के लिए मात्रक वृत्त का एक अद्वितीय बिंदु $P(s)$ है, जिस पर वृत्त के अनुदिश $(1, 0)$ से लंबाई $\abs{s}$ चलकर पहुँचा जाता है, यदि $s > 0$ तो वामावर्त दिशा में और यदि $s < 0$ तो दक्षिणावर्त दिशा में। $P(s)$ से लंबाई $t$ वामावर्त दिशा में आगे बढ़ना $P(s + t)$ तक ले जाता है, और दक्षिणावर्त दिशा में, $P(s - t)$ तक; $P(s + 2\pi) = P(s)$ होता है; वृत्त का हर बिंदु $P(s)$ है, किसी $s$ के लिए; $P(\pi) = (-1, 0)$ , और $P(s)$ का भुज, अऋणात्मक कोटि के साथ, दृढ़तः घटता है जब $s$ , $0$ से $\pi$ तक बढ़ता है। इसे बिना प्रमाण स्वीकार किया जाता है, क्योंकि यह चाप-लंबाई और मध्यवर्ती मान गुण पर टिका है; दूसरा आधा चक्कर परावर्तनों द्वारा पहले से निगमित होता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Bलंबाइयाँ और क्षेत्रफल. हर चाप की लंबाई होती है और रेखाखंडों तथा चापों से घिरे हर प्रदेश का क्षेत्रफल होता है; सर्वांगसम आकृतियों की माप समान होती है, मापें योगात्मक हैं, किसी दूसरे प्रदेश को समाविष्ट करने वाले प्रदेश का क्षेत्रफल कम नहीं होता, और यदि अंतर में कोई डिस्क समाविष्ट हो तो अधिक होता है; एक ही केंद्रीय कोण द्वारा अंतरित चाप त्रिज्याओं के समानुपाती होते हैं, और त्रिज्या $r$ वाली डिस्क का क्षेत्रफल $\pi r^2$ है। इसे बिना प्रमाण स्वीकार किया जाता है, क्योंकि लंबाइयाँ और वक्र क्षेत्रफल सीमाओं द्वारा परिभाषित होते हैं। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Cपरावर्तन और घूर्णन. किसी रेखा के सापेक्ष परावर्तन दूरियों और चापों की लंबाइयों को संरक्षित रखता है, और घूर्णन की दिशा उलट देता है; मूल बिंदु के परितः आधे चक्कर का घूर्णन उन्हें संरक्षित रखता है और दिशा को भी। इसे प्रारंभिक ज्यामिति से स्वीकार किया जाता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Dप्रारंभिक ज्यामिति. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $\pi$ है; समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं; किसी कोण के भीतरी भाग से गुजरने वाली किरण उसे दो कोणों में बाँटती है जिनका योग दिया गया कोण है; यदि केंद्र किसी अंतर्लिखित कोण के भीतर हो, तो शीर्ष से निकलने वाला व्यास उसे दो भागों में बाँटता है और अंतरित चाप को काटता है, और यदि बाहर हो, तो एक भुजा उस व्यास और दूसरी भुजा के बीच रहती है; त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ और पाइथागोरस प्रमेय; और वृत्त के बाहर का बिंदु किसी जीवा को उसी ओर के अंतर्लिखित कोण से छोटे कोण पर देखता है, और भीतर का बिंदु बड़े कोण पर। इन्हें प्रारंभिक ज्यामिति से स्वीकार किया जाता है। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Eआर्किमिडीज़ गुण. दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ $p$ और $q$ दी हों, तो $q$ का कोई प्राकृत गुणज $p$ से बड़ा होता है; इससे परिमेय संख्याओं की सघनता और किसी दी गई वास्तविक संख्या से बड़े न्यूनतम पूर्णांक का अस्तित्व निकलते हैं। पाठ्यक्रम I में, संख्या समुच्चय वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Fफलन और बहुपद. दृढ़तः एकदिष्ट फलन एकैकी होता है, उसके प्रतिलोम का आलेख, रेखा $y = x$ के सापेक्ष, उसके अपने आलेख का परावर्तन है, रूपांतरण आलेखों को स्थानांतरित और विस्तारित करते हैं, और चिह्न-सारणियाँ तथा मूलों और गुणांकों के संबंध भागफलों के चिह्नों और बहुपदों के मूलों को नियंत्रित करते हैं। पाठ्यक्रम I में, बीजीय फलन और बहुपद वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Gवैश्लेषिक ज्यामिति. दूरी सूत्र, वृत्त का समीकरण, रेखा की प्रवणता, अदिश गुणनफल सहित सदिश, और नाभि तथा नियता द्वारा शांकवों का अभिलक्षणन। पाठ्यक्रम I में, समतल की विश्लेषिक ज्यामिति वाली इकाई में सिद्ध। इस इकाई में बिना प्रमाण के स्वीकार किया गया।
Hसममितियाँ. ज्या विषम है और कोज्या सम; $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ , $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ , $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ , $\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ और $\cos \theta = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$ , और दोनों आवर्तकाल $2\pi$ के साथ आवर्ती हैं। स्थापित होता है: 10. सममितियाँ और आवर्तिता.

खंड 1 कोणों से फलनों तक
- कोणों को उनके द्वारा तय किए गए चाप की लंबाई से मापना, अंतर्लिखित कोण को उसके द्वारा अंतरित चाप से जोड़ना, और हर वास्तविक संख्या को प्रथम चक्कर में समानीत करना।
- मात्रक वृत्त पर ज्या और कोज्या को परिभाषित करना और सिद्ध करना कि वे समकोण त्रिभुज के अनुपातों से मेल खाती हैं।
- पाइथागोरस सर्वसमिका, विशिष्ट मान और सममितियाँ निगमित करना, और उनसे संदर्भ कोण विधि प्राप्त करना।
- ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या का फलनों के रूप में अध्ययन करना: उनके न्यूनतम आवर्तकाल, उनके आलेख, असमिका $\sin x < x < \tan x$ और ज्यावक्र।
1. रेडियन माप. $\pi$ को मात्रक वृत्त की लंबाई का आधा लेकर, किसी दिष्ट कोण का रेडियन माप उसके द्वारा तय किए गए चाप की चिह्नसहित लंबाई है; हर वास्तविक संख्या किसी कोण की माप है, और $g$ अंश का कोण $\frac{\pi g}{180}$ रेडियन मापता है।
  आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), B (लंबाइयाँ और क्षेत्रफल). सिद्ध किया गया: कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन.
2. चाप और त्रिज्यखंड. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में $\theta$ रेडियन का केंद्रीय कोण, जहाँ $0 < \theta \leq 2\pi$ , लंबाई $s = r\theta$ का चाप और क्षेत्रफल $\frac{1}{2} r^2 \theta$ का त्रिज्यखंड अंतरित करता है।
  उपयोग करती है: 1. रेडियन माप. आधार: B (लंबाइयाँ और क्षेत्रफल), E (आर्किमिडीज़ गुण). सिद्ध किया गया: कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन.
3. अंतर्लिखित कोण. त्रिज्या $r$ वाले वृत्त में अंतर्लिखित कोण, जो लंबाई $s$ का चाप अंतरित करता है, $\frac{s}{2r}$ मापता है; अतः एक ही जीवा पर अंतर्लिखित कोण बराबर या संपूरक होते हैं, इस पर निर्भर करते हुए कि उनके शीर्ष एक ही चाप पर हैं या अलग-अलग चापों पर, और अर्धवृत्त में अंतर्लिखित कोण समकोण होता है।
  उपयोग करती है: 2. चाप और त्रिज्यखंड. आधार: B (लंबाइयाँ और क्षेत्रफल), D (प्रारंभिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन.
4. प्रथम चक्कर में समानयन. हर वास्तविक संख्या $\theta$ एक ही प्रकार से $\theta_0 + 2k\pi$ के रूप में लिखी जाती है, जहाँ $k$ पूर्णांक है और $\theta_0$ , $\ico{0}{2\pi}$ में है; चूँकि एक चक्कर बिंदुओं को नहीं दोहराता, दो कोण सहांत हैं यदि और केवल यदि उनका अंतर $2\pi$ का पूर्णांक गुणज है।
  उपयोग करती है: 1. रेडियन माप. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), E (आर्किमिडीज़ गुण), C (परावर्तन और घूर्णन). सिद्ध किया गया: कोण और उनकी माप: अंश और रेडियन.
5. न्यून कोण के अनुपात. न्यून कोण $\alpha$ वाले समकोण त्रिभुजों में भुजाओं के बीच के भागफल केवल $\alpha$ पर निर्भर करते हैं, और $\alpha$ की ज्या और कोज्या दृढ़तः $0$ और $1$ के बीच होती हैं।
  आधार: D (प्रारंभिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. प्रत्येक वास्तविक संख्या $\theta$ के लिए, $\theta$ की कोज्या और ज्या मात्रक वृत्त के बिंदु $P(\theta)$ का भुज और कोटि हैं, और स्पर्शज्या, जब कोज्या शून्य न हो, उनका भागफल $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ है; हर चतुर्थांश में उनके चिह्न आधे चक्कर के गुण और उसके परावर्तन, दूसरे आधे चक्कर, से निगमित होते हैं, और किसी भी कोण के चिह्न प्रथम चक्कर में उसके समानयन के चिह्न होते हैं।
  उपयोग करती है: 1. रेडियन माप, 4. प्रथम चक्कर में समानयन. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), C (परावर्तन और घूर्णन). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
7. परिभाषाओं की संगति. यदि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ , तो मात्रक वृत्त पर परिभाषित ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या उनसे मेल खाती हैं जो माप $\theta$ के न्यून कोण वाले समकोण त्रिभुज में परिभाषित हैं।
  उपयोग करती है: 5. न्यून कोण के अनुपात, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), C (परावर्तन और घूर्णन), G (वैश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
8. पाइथागोरस सर्वसमिका. प्रत्येक वास्तविक संख्या $\theta$ के लिए $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ होता है, और इससे $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ , जब $\cos \theta \neq 0$ ।
  उपयोग करती है: 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
9. विशिष्ट मान. $\frac{\pi}{4}$ की ज्या और कोज्या का मान $\frac{\sqrt{2}}{2}$ है; $\frac{\pi}{6}$ की ज्या और $\frac{\pi}{3}$ की कोज्या का मान $\frac{1}{2}$ है, और $\frac{\pi}{6}$ की कोज्या और $\frac{\pi}{3}$ की ज्या का मान $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
  उपयोग करती है: 1. रेडियन माप, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति), D (प्रारंभिक ज्यामिति), C (परावर्तन और घूर्णन). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
10. सममितियाँ और आवर्तिता. ज्या विषम है और कोज्या सम; किसी कोण और उसके संपूरक की ज्याएँ समान और कोज्याएँ विपरीत होती हैं, $\theta$ और $\pi + \theta$ की ज्याएँ और कोज्याएँ विपरीत होती हैं, किसी कोण की ज्या उसके पूरक की कोज्या है, और दोनों आवर्तकाल $2\pi$ के साथ आवर्ती हैं; अतः किसी कोण की ज्या और कोज्या, उसके चतुर्थांश के चिह्न को छोड़कर, उसके संदर्भ कोण की ज्या और कोज्या हैं।
  उपयोग करती है: 4. प्रथम चक्कर में समानयन, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), C (परावर्तन और घूर्णन), F (फलन और बहुपद). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त.
11. ज्या और कोज्या के गुणधर्म. ज्या और कोज्या का परिसर $\icc{-1}{1}$ है; ज्या ठीक संख्याओं $k\pi$ पर शून्य होती है, उसका मान $1$ ठीक संख्याओं $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर होता है, और कोज्या का मान $1$ ठीक संख्याओं $2k\pi$ पर होता है, जहाँ $k$ पूर्णांक है।
  उपयोग करती है: 4. प्रथम चक्कर में समानयन, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या, 8. पाइथागोरस सर्वसमिका. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख.
12. न्यूनतम आवर्तकाल. यदि $q$ किसी फलन का न्यूनतम आवर्तकाल है, तो उसके आवर्तकाल ठीक संख्याएँ $kq$ हैं, जहाँ $k$ प्राकृत है; और $2\pi$ ज्या और कोज्या का न्यूनतम आवर्तकाल है।
  उपयोग करती है: 11. ज्या और कोज्या के गुणधर्म. आधार: E (आर्किमिडीज़ गुण). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख.
13. ज्या, चाप और स्पर्शज्या. यदि $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , तो $\sin x < x < \tan x$ होता है; इससे निकलता है कि $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए, और समानता केवल $x = 0$ पर होती है।
  उपयोग करती है: 2. चाप और त्रिज्यखंड, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या, 11. ज्या और कोज्या के गुणधर्म. आधार: B (लंबाइयाँ और क्षेत्रफल), G (वैश्लेषिक ज्यामिति), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख.
14. स्पर्शज्या के गुणधर्म. स्पर्शज्या विषम है, उसका न्यूनतम आवर्तकाल $\pi$ है, वह ठीक संख्याओं $k\pi$ पर शून्य होती है, उसका परिसर $\mathbb{R}$ है, और रेखाएँ $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ उसके आलेख की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियाँ हैं।
  उपयोग करती है: 8. पाइथागोरस सर्वसमिका, 11. ज्या और कोज्या के गुणधर्म, 13. ज्या, चाप और स्पर्शज्या. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), F (फलन और बहुपद), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख.
15. ज्यावक्र. ज्यावक्र $y = a \sin(b(x - c)) + d$ , जहाँ $a > 0$ और $b > 0$ , ज्या से रूपांतरणों द्वारा प्राप्त होता है; उसका परिसर $\icc{d - a}{d + a}$ है और उसका न्यूनतम आवर्तकाल $\frac{2\pi}{b}$ है।
  उपयोग करती है: 11. ज्या और कोज्या के गुणधर्म, 12. न्यूनतम आवर्तकाल. आधार: F (फलन और बहुपद). सिद्ध किया गया: त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख.
खंड 2 प्रतिलोमन और त्रिभुजों की माप
- गमन के अभिगृहीत से कोज्या और ज्या की, और उससे स्पर्शज्या की, उनके मुख्य मान अंतरालों पर दृढ़ एकदिष्टता निगमित करना, और उनके प्रतिलोम फलन परिभाषित करना।
- सदा सत्य समानता $\sin(\arcsin x) = x$ को $\arcsin(\sin x) = x$ से अलग करना, और प्रारंभिक समीकरणों को एक पूरे चक्कर में हल करना।
- एक शीर्ष के निर्देशांकों से त्रिभुज का क्षेत्रफल, ज्या नियम, कोज्या नियम और हीरोन का सूत्र निगमित करना।
- संदिग्ध स्थिति के हल गिनना और अदिश गुणनफल से दो सदिशों के बीच का कोण मापना।
1. एकदिष्टता और एकैकी आच्छादक प्रतिबंध. गमन के अभिगृहीत के आधे चक्कर वाले गुण से, कोज्या $\icc{0}{\pi}$ पर दृढ़तः ह्रासमान है; इससे और सममितियों से, ज्या $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर और स्पर्शज्या $\ioo{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर दृढ़तः वर्धमान हैं; इन अंतरालों पर प्रतिबंधित करने पर, वे क्रमशः $\icc{-1}{1}$ , $\icc{-1}{1}$ और $\mathbb{R}$ पर एकैकी आच्छादन हैं।
  उपयोग करती है: 4. प्रथम चक्कर में समानयन, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या, 14. स्पर्शज्या के गुणधर्म. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), F (फलन और बहुपद), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.
2. प्रतिलोम फलन. प्रतिलोम ज्या, प्रतिलोम कोज्या और प्रतिलोम स्पर्शज्या, जो इन प्रतिबंधों के प्रतिलोम हैं, ऐसी हैं कि $\sin(\arcsin x) = x$ पूरे $\icc{-1}{1}$ पर सत्य है, जबकि $\arcsin(\sin x) = x$ केवल $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ पर; इसके अतिरिक्त, $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ और $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ।
  उपयोग करती है: 8. पाइथागोरस सर्वसमिका, 16. एकदिष्टता और एकैकी आच्छादक प्रतिबंध. आधार: F (फलन और बहुपद), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.
3. प्रारंभिक समीकरण. यदि $-1 < c < 1$ और $\alpha = \arcsin c$ , तो समीकरण $\sin x = c$ के $\ico{0}{2\pi}$ में ठीक दो हल हैं, $\pi - \alpha$ और, $\alpha$ के चिह्न के अनुसार, स्वयं $\alpha$ या $2\pi + \alpha$ ; समीकरण $\cos x = c$ के वहाँ हल $\arccos c$ और $2\pi - \arccos c$ हैं।
  उपयोग करती है: 16. एकदिष्टता और एकैकी आच्छादक प्रतिबंध, 17. प्रतिलोम फलन. आधार: H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.
4. त्रिभुज का क्षेत्रफल. शीर्ष $A$ मूल बिंदु पर और शीर्ष $B$ भुज-अक्ष के धनात्मक अर्धभाग पर हो, तो शीर्ष $C$ के निर्देशांक $\left( b \cos A, b \sin A \right)$ हैं, और त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} bc \sin A$ है।
  उपयोग करती है: 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
5. ज्या नियम. त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं, और उभयनिष्ठ भागफल $\frac{a}{\sin A}$ परिवृत्त का व्यास $2R$ है।
  उपयोग करती है: 7. परिभाषाओं की संगति, 3. अंतर्लिखित कोण, 19. त्रिभुज का क्षेत्रफल. आधार: D (प्रारंभिक ज्यामिति), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
6. कोज्या नियम. हर त्रिभुज में $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ होता है, जो पाइथागोरस प्रमेय बन जाता है जब कोण $A$ समकोण हो।
  उपयोग करती है: 8. पाइथागोरस सर्वसमिका, 19. त्रिभुज का क्षेत्रफल. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
7. हीरोन का सूत्र. भुजाओं $a$ , $b$ और $c$ तथा अर्धपरिमाप $s$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$ है।
  उपयोग करती है: 8. पाइथागोरस सर्वसमिका, 19. त्रिभुज का क्षेत्रफल, 21. कोज्या नियम. आधार: F (फलन और बहुपद). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
8. संदिग्ध स्थिति. एक कोण $A$ , संलग्न भुजा $c$ और सम्मुख भुजा $a$ दिए हों, तो संभव त्रिभुज $b^2 - 2bc \cos A + c^2 - a^2 = 0$ के धनात्मक मूलों के संगत होते हैं, और वे कोई नहीं, एक या दो होते हैं, इस पर निर्भर करते हुए कि $a$ की तुलना $c \sin A$ और $c$ से कैसी है।
  उपयोग करती है: 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या, 8. पाइथागोरस सर्वसमिका, 21. कोज्या नियम. आधार: F (फलन और बहुपद). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
9. दो सदिशों के बीच का कोण. यदि $\theta$ शून्येतर सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है, तो $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\norma{\vec{u}} \norma{\vec{v}}}$ होता है।
  उपयोग करती है: 21. कोज्या नियम. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: त्रिभुजों का हल: ज्या नियम और कोज्या नियम.
खंड 3 निर्देशांकों की दूसरी पद्धति
- किसी बिंदु के सभी ध्रुवीय निरूपणों का, ऋणात्मक त्रिज्याएँ स्वीकार करते हुए, वर्णन करना।
- चतुर्थांश के अनुसार संशोधित प्रतिलोम स्पर्शज्या के साथ कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांकों तक जाना।
- ध्रुवीय निर्देशांकों में दूरियाँ परिकलित करना और सममिति के निकषों से ध्रुवीय वक्र खींचना।
- ध्रुव पर एक नाभि वाले शांकवों को लिखना और उनके समीकरण में प्रकार, शीर्ष और नाभिलंब पढ़ना।
1. किसी बिंदु के निरूपण. युग्म $(r_1, \theta_1)$ और $(r_2, \theta_2)$ ध्रुव से अलग एक ही बिंदु को निरूपित करते हैं यदि और केवल यदि $r_2 = r_1$ और $\theta_2 - \theta_1$ , $\pi$ का सम गुणज है, या $r_2 = -r_1$ और $\theta_2 - \theta_1$ , $\pi$ का विषम गुणज है।
  उपयोग करती है: 4. प्रथम चक्कर में समानयन, 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या, 8. पाइथागोरस सर्वसमिका. आधार: H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.
2. कार्तीय से ध्रुवीय निर्देशांकों तक. ध्रुव से अलग हर बिंदु $(x, y)$ का एक अद्वितीय निरूपण है जिसमें $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ और $\theta$ , $\ioc{-\pi}{\pi}$ में है; यदि $x \neq 0$ , तो उसका कोण $\arctan \frac{y}{x}$ है, जिसमें $\pi$ जोड़ा या घटाया जाता है जब $x < 0$ ।
  उपयोग करती है: 25. किसी बिंदु के निरूपण, 17. प्रतिलोम फलन. आधार: A (चाप-लंबाई के अनुसार गमन), G (वैश्लेषिक ज्यामिति), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.
3. ध्रुवीय निर्देशांकों में दूरी. दूरी $d$ , बिंदुओं $(r_1, \theta_1)$ और $(r_2, \theta_2)$ के बीच, $d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)$ को संतुष्ट करती है, त्रिज्याओं के चिह्न चाहे जो हों।
  उपयोग करती है: 4. प्रथम चक्कर में समानयन, 21. कोज्या नियम, 25. किसी बिंदु के निरूपण. आधार: H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.
4. सममिति के निकष. यदि किसी ध्रुवीय वक्र का समीकरण $\theta$ के स्थान पर $-\theta$ , $\theta$ के स्थान पर $\pi - \theta$ या $r$ के स्थान पर $-r$ रखने पर एक तुल्य समीकरण में बदल जाता है, तो वक्र क्रमशः ध्रुवीय अक्ष, रेखा $\theta = \frac{\pi}{2}$ या ध्रुव के सापेक्ष सममित है।
  उपयोग करती है: 6. किसी वास्तविक संख्या की ज्या और कोज्या. आधार: H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.
5. शांकवों का ध्रुवीय समीकरण. यदि $e > 0$ और $d > 0$ , तो वे बिंदु जिनकी ध्रुव से दूरी $e$ गुना उनकी रेखा $x = d$ से दूरी है, $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ का आलेख बनाते हैं।
  उपयोग करती है: 25. किसी बिंदु के निरूपण. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति), H (सममितियाँ). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.
6. ध्रुवीय शांकव के अवयव. शांकव $r = \frac{ed}{1 + e \cos \theta}$ में ध्रुवीय अक्ष नाभि अक्ष है, एक शीर्ष ध्रुव से दूरी $\frac{ed}{1 + e}$ पर है और नाभिलंब की लंबाई $2ed$ है; यदि $e < 1$ , तो अर्ध-दीर्घ अक्ष $\frac{ed}{1 - e^2}$ है।
  उपयोग करती है: 28. सममिति के निकष, 29. शांकवों का ध्रुवीय समीकरण. आधार: G (वैश्लेषिक ज्यामिति). सिद्ध किया गया: ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र.

विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति की ओर. शृंखला कोणों के योग की ज्या और कोज्या के सामने रुक जाती है: सममितियाँ उन्हें केवल तब देती हैं जब योज्यों में से एक $\frac{\pi}{2}$ का गुणज हो। बाद वाली इकाई योग और अंतर के सूत्र निगमित करती है, और उनसे सर्वसमिकाएँ सिद्ध करती है, त्रिकोणमितीय समीकरणों को व्यापक रूप में हल करती है, और अक्षों के घूर्णन द्वारा द्वितीय घात के समीकरणों का वर्गीकरण करती है।

पाठ्यक्रम के भीतर इकाई

यह इकाई, पाठ्यक्रम II की पहली, सुनिश्चित बिंदुओं पर पाठ्यक्रम I पर टिकी है। प्रथम चक्कर में समानयन पाठ्यक्रम I के विभाज्यता वाले पाठ का शेषफल सहित विभाजन है, जिसे पाठ्यक्रम I के परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार वाले पाठ के आर्किमिडीज़ गुण से वास्तविक संख्याओं तक ले जाया गया, और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल पाठ्यक्रम I के वास्तविक रेखा वाले पाठ की परिमेय संख्याओं की सघनता से सभी कोणों तक विस्तारित किया गया। प्रतिलोमों ने पाठ्यक्रम I के फलनों की संक्रियाओं वाले पाठ की प्रतिलोम फलन और रूपांतरणों की प्रमेयें लागू कीं, और अनंतस्पर्शियों का अध्ययन चिह्न-सारणियों से किया गया। मात्रक वृत्त, प्रवणताएँ, सदिश, अदिश गुणनफल और शांकव पाठ्यक्रम I की समतल की विश्लेषिक ज्यामिति वाली इकाई से आते हैं, जिसके शांकव वाले पाठ ने नाभि और नियता की प्रमेय दी। और पाठ्यक्रम I के अतिपरवलयिक फलनों वाले पाठ ने उस सादृश्य का पूर्वाभास दिया जिसे यह इकाई पूरा करती है: ज्या और कोज्या वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ का वर्णन वैसे ही करती हैं जैसे अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 1$ का।

फिर भी एक प्रश्न अनुत्तरित रहता है, जो पूरी इकाई में व्याप्त है: कोणों के योग की ज्या और कोज्या हर योज्य की ज्या और कोज्या से कैसे परिकलित की जाती हैं? सममितियाँ इसका उत्तर केवल तब देती हैं जब योज्यों में से एक $\frac{\pi}{2}$ का गुणज हो; $\frac{\pi}{12}$ या $\frac{\pi}{10}$ के मानों के लिए विशेष ज्यामितीय रचनाओं की आवश्यकता होती है; और ध्रुवीय रूप में दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल, जिसकी घोषणा ध्रुवीय निर्देशांकों वाले पाठ में की गई, इसी पर निर्भर है। बाद वाली इकाई, जो विश्लेषणात्मक त्रिकोणमिति: परिचय से आरंभ होती है, योग और अंतर के सूत्रों से इस प्रश्न का उत्तर देती है, और उनसे सर्वसमिकाएँ सिद्ध करती है, त्रिकोणमितीय समीकरणों को व्यापक रूप में हल करती है, और अक्षों के घूर्णन द्वारा द्वितीय घात के समीकरणों का वर्गीकरण करती है।

इस पाठ के शेष भाग में

समापन मूल्यांकन
चुनौतियाँ
एक सिक्का जो दूसरे के चारों ओर लुढ़कता है
दो घिरनियों का पट्टा
अठारह अंश की ज्या
निरपेक्ष मानों का योग
आर्किमिडीज़ के परिबंध
ज़िगज़ैग और एक रेखा
एक कोण जो दूसरे का दुगुना है
एक अंतर्लिखित चतुर्भुज
दीर्घवृत्त की नाभीय जीवाएँ
लेम्निस्केट

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