त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: परिचय

सारांश

यह पाठ बीजगणित और ज्यामिति II पाठ्यक्रम और उसकी पहली इकाई का आरंभ करता है, जो त्रिकोणमितीय फलनों और ध्रुवीय निर्देशांकों को समर्पित है। यह एक प्रवेश मूल्यांकन प्रस्तावित करता है, जो इकाई के छह पाठों में और उस सामग्री में आरंभ-बिंदु को मापता है जिसे यह इकाई पाठ्यक्रम I से ज्ञात मानती है। यह पाठ्यक्रम I द्वारा स्थापित बातों को एकत्र करता है, इकाई के छह पाठों को उसी क्रम में प्रस्तुत करता है जिसमें वे पढ़े जाते हैं, कोणों की माप से लेकर ध्रुवीय वक्रों और ध्रुव पर नाभि वाले शांकवों तक, और समझाता है कि प्रत्येक पाठ क्या सिद्ध करता है और वह क्यों महत्त्वपूर्ण है। इसके बाद यह ऐतिहासिक पृष्ठभूमि का पुनर्निर्माण करता है: यूनानी खगोलविज्ञान, जिसे अगम्य को मापना था और जिसने चापों की जीवाओं की सारणियाँ बनाईं; दोगुने चाप की जीवा का आधा, जिसे भारत के खगोलविदों ने गणना के केंद्र में रखा और जिसने अरबी और लैटिन अनुवादों के माध्यम से ज्या का नाम पाया; स्वतंत्र विद्या के रूप में त्रिकोणमिति, और अठारहवीं शताब्दी में वास्तविक चर के फलनों के अध्ययन में उसका रूपांतरण। यह उस समस्या को, जिससे इसका जन्म हुआ, अर्थात् कोणों से दूरियाँ निकालने की समस्या को, सामोस के अरिस्टार्कस के त्रिभुज द्वारा प्रस्तुत करता है, और अंत में बताता है कि ये विचार पाठ्यक्रम के शेष भाग में, साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में और विज्ञान और प्रौद्योगिकी में कहाँ प्रयुक्त होते हैं।

अधिगम उद्देश्य

इकाई की विषय-वस्तु का वर्णन करना, उसके प्रत्येक पाठ को उस क्रम में रखते हुए जो कोणों की माप से ध्रुवीय वक्रों तक जाता है।
त्रिकोणमिति और ध्रुवीय निर्देशांकों के खगोलीय और भूगणितीय उद्गम की व्याख्या करना, और जीवाओं की सारणी से वास्तविक चर के फलनों तक उनके प्रमुख पड़ावों को पहचानना।
किसी चाप की जीवा को अर्ध-चाप की ज्या द्वारा व्यक्त करना, और अरिस्टार्कस की समस्या को एक कोण से दूरियों के अनुपात की गणना के रूप में प्रस्तुत करना।
पाठ्यक्रम के, अन्य पाठ्यक्रमों के और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के उन स्थानों को पहचानना जहाँ त्रिकोणमितीय फलनों और ध्रुवीय निर्देशांकों का प्रयोग होता है।

प्रवेश मूल्यांकन

इकाई शुरू करने से पहले आरंभ-बिंदु को माप लेना उपयोगी है, बिना किसी अंक के। पहले दस प्रश्न इकाई के विषय-वस्तु वाले छह पाठों को छूते हैं: दो प्रतिलोम फलनों के लिए और दो त्रिभुजों के हल के लिए, जो वे पाठ हैं जिन पर पाठ्यक्रम का शेष भाग सबसे अधिक टिका है; दो त्रिकोणमितीय फलनों और उनके आलेखों के लिए, जिनमें से एक संदर्भ में दी गई ऐसी समस्या है जिसे स्वयं गणितीय रूप देना होता है; दो ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए, जिनमें से एक शांकवों के ध्रुवीय समीकरण पर है; और शेष दो पाठों में से प्रत्येक के लिए एक। यही कौशल अंत में, सारांश वाले पाठ में, फिर से मापे जाते हैं। अंतिम छह प्रश्न उसकी जाँच करते हैं जिसे यह पाठ्यक्रम पाठ्यक्रम I से ज्ञात मानता है: वास्तविक संख्याओं की पूर्णता, किसी फलन का प्रतिलोम, वृत्त की स्पर्श रेखा और अदिश गुणनफल, दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता, अतिपरवलयिक कोज्या के माध्यम से चरघातांकी फलन और लघुगणक, और बीजीय रूप में दो सम्मिश्र संख्याओं का भागफल। इनमें से किसी में चूक होने पर यह पता चलेगा कि आरंभ से पहले पाठ्यक्रम I के किस पाठ पर लौटना उचित है, और पहले दस में से किसी में चूक होने पर यह कि इकाई के किस पाठ पर रुकना उचित है।

इकाई की विषय-वस्तु

इस इकाई से बीजगणित और ज्यामिति II पाठ्यक्रम आरंभ होता है, जो बीजगणित और ज्यामिति I पाठ्यक्रम को पूरा किया हुआ मानता है। उससे यह पाँच चीज़ें लाता है जिनका यहाँ दोबारा सिद्ध किए बिना प्रयोग होता है। पहली है पूर्ण क्रमित क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ, आर्किमिडीज़ गुण और परिमेय संख्याओं की सघनता के साथ, जो हर कोण को प्रथम चक्कर में समानीत करने और परिमेय संख्याओं के लिए सिद्ध बातों को सभी कोणों तक बढ़ाने देंगी। दूसरी है फलनों का अध्ययन: प्रांत, परिसर, संघटन, एकैकी आच्छादक फलन का प्रतिलोम और आलेखों के रूपांतरण, चिह्न सारणियों और बहुपदों के गुणनखंडन के साथ। तीसरी है समतल की वैश्लेषिक ज्यामिति: दूरी, कार्तीय और प्राचलिक रूप में रेखा, अदिश गुणनफल सहित सदिश, वृत्त और अपनी नाभि और नियता सहित शांकव। चौथी है चरघातांकी, लघुगणकीय और अतिपरवलयिक फलन, जिनमें अतिपरवलय का प्राचलीकरण वृत्त के प्राचलीकरण का पूर्वाभास देता है। पाँचवीं है बीजीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ, समतल के बिंदुओं के रूप में निरूपित, जिन्हें यह इकाई एक मापांक और एक कोण के साथ लिखे जाने के लिए तैयार करती है।

किंतु इनमें से कोई भी उपकरण एक बहुत पुराने प्रश्न का उत्तर नहीं देता: किसी कोण के दिए होने पर, उस कोण वाले समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच कौन-सा अनुपात होता है? यह इकाई उसका उत्तर देती है, और उत्तर से वास्तविक चर के छह फलन, उनके प्रतिलोम, सभी त्रिभुजों का हल और समतल के बिंदुओं को नाम देने का एक दूसरा तरीका जन्म लेते हैं। पाठ इस क्रम में आते हैं।

पाठ कोण और उनकी माप दिष्ट कोणों को परिभाषित करता है, जो घूर्णनों को उनकी दिशा के साथ मापते हैं और एक चक्कर से अधिक हो सकते हैं, चाप-लंबाई के अनुसार गमन का अभिगृहीत प्रस्तुत करता है, जिस पर पूरी इकाई टिकी है, और उसके द्वारा रेडियन माप को मात्रक वृत्त के चाप की लंबाई के रूप में परिभाषित करता है; यह चाप और त्रिज्यखंड के सूत्र, अंतर्लिखित कोण प्रमेय और हर कोण का प्रथम चक्कर में समानयन सिद्ध करता है, जो वास्तविक संख्याओं का $2\pi$ से शेषफल सहित विभाजन है। इसका महत्त्व यह है कि रेडियन वह माप है जो आगे के सभी सूत्रों को सरल बना देती है।
पाठ त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या को पहले समकोण त्रिभुज में परिभाषित करता है, समरूपता द्वारा सिद्ध करते हुए कि वे त्रिभुज पर निर्भर नहीं करतीं, और फिर प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए, मात्रक वृत्त के एक बिंदु के निर्देशांकों के रूप में; यह पाइथागोरस सर्वसमिका, विशिष्ट मान और सममितियाँ सिद्ध करता है। यह इकाई का निर्णायक मोड़ है: यह एक ज्यामितीय अनुपात को किसी भी कोण के लिए परिभाषित राशि में बदल देता है।
पाठ त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या का फलनों के रूप में अध्ययन करता है, उनके न्यूनतम आवर्तकाल सिद्ध करता है, उनके आलेख बनाता है और क्षेत्रफलों की तुलना करके असमिका $\sin x < x < \tan x$ सिद्ध करता है। ज्यावक्रों के साथ यह सभी आवर्ती परिघटनाओं का मॉडल प्रदान करता है।
पाठ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन गमन के अभिगृहीत से निकालता है कि कोज्या और ज्या कुछ अंतरालों पर दृढ़तः एकदिष्ट हैं, फलनों को उन पर प्रतिबंधित करता है, प्रतिलोम ज्या, प्रतिलोम कोज्या और प्रतिलोम स्पर्शज्या को परिभाषित करता है, और एक चक्कर में प्रारंभिक त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करता है। यह उलटा रास्ता तय करने देता है: ज्ञात अनुपात से उस कोण तक जो उसे उत्पन्न करता है।
पाठ त्रिभुजों का हल दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के पदों में क्षेत्रफल, ज्या नियम, कोज्या नियम और हीरोन का सूत्र सिद्ध करता है, और संदिग्ध स्थिति की विवेचना करता है। यह समकोण त्रिभुज की त्रिकोणमिति को सभी त्रिभुजों तक बढ़ाता है और अदिश गुणनफल से दो सदिशों के बीच का कोण मापता है।
पाठ ध्रुवीय निर्देशांक और ध्रुवीय वक्र प्रत्येक बिंदु को ध्रुव से उसकी दूरी और एक कोण द्वारा नाम देता है, कार्तीय निर्देशांकों में रूपांतरण के सूत्र निकालता है, हृदयाभ, गुलाब वक्र, सर्पिल और लिमासों खींचता है, और ध्रुव पर नाभि वाले शांकवों का ध्रुवीय समीकरण प्राप्त करता है। यह सम्मिश्र संख्याओं के ध्रुवीय रूप और कक्षाओं के वर्णन की तैयारी करता है।

इकाई सारांश और चुनौतियाँ वाले पाठ के साथ समाप्त होती है, जो सिद्ध की गई बातों को एकत्र करता है, समापन मूल्यांकन द्वारा इस पाठ के प्रवेश मूल्यांकन की तुलना में प्राप्त प्रगति को मापता है और अधिक कठिनाई वाली दस समस्याएँ प्रस्तावित करता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

त्रिकोणमिति का जन्म बीजगणित के एक अध्याय के रूप में नहीं, बल्कि खगोलविज्ञान की एक तकनीक के रूप में हुआ। आकाशीय पिंडों की स्थिति का पूर्वानुमान करने और उन दूरियों को मापने के लिए जिन्हें तय नहीं किया जा सकता, खगोलविदों को कोणों से, जिनका प्रेक्षण होता है, लंबाइयों तक पहुँचना था, जिनकी गणना होती है; और यूनानी ज्यामिति, जो पटरी और परकार से आकृतियाँ रचना जानती थी, किसी स्वेच्छ कोण के दिए होने पर त्रिभुज की दो भुजाओं का अनुपात निकालने का कोई साधन नहीं देती थी।

जीवाओं की सारणी

यूनानी खगोलविज्ञान ने बेबीलोनी खगोलविज्ञान से वृत्त का $360$ अंशों में विभाजन और षाष्टिक पद्धति में गणना विरासत में पाई। ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी के आसपास सामोस के अरिस्टार्कस ने ज्यामितीय युक्तियों से सूर्य और चंद्रमा की दूरियों के अनुपात का अनुमान लगाया, और एरैटोस्थनीज़ ने एक कोण से पृथ्वी की परिधि मापी, जैसा कि कोण और उनकी माप वाले पाठ में देखा जाएगा। ईसा पूर्व दूसरी शताब्दी में निकिया के हिप्पार्कस को जीवाओं की पहली सारणी का श्रेय दिया जाता है: प्रत्येक केंद्रीय कोण के लिए, नियत त्रिज्या वाले वृत्त में उसके द्वारा अंतरित जीवा की लंबाई। जो सारणी बची है वह क्लॉडियस टॉलेमी की है, जिन्होंने ईसवी दूसरी शताब्दी में “अल्मागेस्ट” में त्रिज्या $60$ वाले वृत्त में आधे-आधे अंश के अंतर पर चापों की जीवाएँ दीं। अलेक्ज़ान्ड्रिया के मेनेलॉस ने लगभग वर्ष 100 में ही गणना को खगोलीय गोले पर खींचे गए त्रिभुजों तक विस्तारित कर दिया था।

जीवा और ज्या एक ही सूचना हैं जो दो प्रकार से लिखी गई है। नीचे का परिणाम इसे सटीक बनाता है, और दिखाता है कि एक से दूसरे तक जाना केवल नाम बदलने से कुछ अधिक क्यों था: ज्या दोगुने चाप की जीवा का आधा है, और वह एक समकोण त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजा है।

साध्यजीवा और ज्या

त्रिज्या $1$ और केंद्र $O$ वाले वृत्त में, मान लीजिए $C(\theta)$ उस जीवा की लंबाई है जो एक चाप के सिरों $A$ और $B$ को जोड़ती है, जिसका केंद्रीय कोण $\theta$ है, जहाँ $0 < \theta < \pi$ । तब $C(\theta) = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ ।

प्रमाण

$C(\theta) = \operatorname{d}(A, B), \quad \operatorname{d}(O, A) = \operatorname{d}(O, B) = 1$
जीवा कोण $\theta$ की सम्मुख भुजा है उस त्रिभुज में जिसके शीर्ष $O$ , $A$ और $B$ हैं, जिसकी अन्य दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं।
$\operatorname{d}(A, M) = \operatorname{d}(M, B), \quad \angle AOM = \angle MOB = \dato{m}{\frac{\theta}{2}}$
त्रिभुज समद्विबाहु है; $O$ से जीवा पर डाला गया लंब उसे उसके मध्य-बिंदु $M$ पर काटता है और केंद्रीय कोण को दो बराबर कोणों में बाँटता है, क्योंकि वे त्रिभुज जिनके शीर्ष $O$ , $M$ , $A$ और $O$ , $M$ , $B$ हैं, $M$ पर समकोण हैं, उनके $A$ और $B$ पर के कोण बराबर हैं, क्योंकि त्रिभुज समद्विबाहु है, और उनकी भुजा $OM$ उभयनिष्ठ है: दो कोणों वाली समरूपता की कसौटी से वे अनुपात $1$ के साथ समरूप हैं।
$\operatorname{d}(M, B) = \resaltar{\sin \frac{\theta}{2}} \rightarrow \dato{c}{C(\theta) = \resaltar{2 \sin \frac{\theta}{2}}}$
शीर्षों $O$ , $M$ और $B$ वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण $1$ है और कोण $\frac{\theta}{2}$ की सम्मुख भुजा जीवा का आधा है; ज्या की परिभाषा से वह भुजा $\sin \frac{\theta}{2}$ है।
$\sin \alpha = \frac{1}{2} C(2\alpha), \qquad 60 C(\theta) = 120 \sin \frac{\theta}{2}$
उलटा पढ़ने पर, $\theta = 2\alpha$ के साथ, यह समता कहती है कि किसी कोण की ज्या दोगुने कोण की जीवा का आधा है; टॉलेमी के त्रिज्या $60$ वाले वृत्त में सभी लंबाइयाँ $60$ से गुणा हो जाती हैं।

अर्ध-चाप से ज्या तक

भारत के खगोलविदों ने, जैसे लगभग वर्ष 500 में आर्यभट ने, सीधे दोगुने चाप की जीवा के आधे की सारणी बनाई, जिसे उन्होंने ज्या कहा, और इस प्रकार गणना के केंद्र में जीवा के बजाय समकोण त्रिभुज की एक भुजा रखी। यह शब्द अरबी में jiba के रूप में गया, जिसे स्वरों के बिना लिखने में jaib से भ्रमित कर दिया गया, जिसका अर्थ है वस्त्र की “तह” या “गोद”, और बारहवीं शताब्दी के लैटिन अनुवादकों ने इसे sinus कर दिया, जिससे वर्तमान नाम आया है। नौवीं से ग्यारहवीं शताब्दी के बीच इस्लामी जगत के खगोलविदों ने, जिनमें अल-बत्तानी और अबुल-वफ़ा थे, स्पर्शज्या और कोस्पर्शज्या की सारणियाँ जोड़ीं, जो धूपघड़ियों की छायाओं के अध्ययन से आई थीं; तेरहवीं शताब्दी में नसीरुद्दीन तूसी ने त्रिकोणमिति को खगोलविज्ञान से स्वतंत्र विद्या के रूप में प्रस्तुत किया।

विद्या के रूप में त्रिकोणमिति

यूरोप में रेजियोमोंटानस ने लगभग 1464 में हर प्रकार के त्रिभुजों पर एक ग्रंथ लिखा, जो 1533 में छपा और जिसमें समतल और गोलीय त्रिभुजों का हल एकत्र था; trigonometria शब्द, “त्रिभुजों की माप”, 1595 की बार्थोलोमियस पिटिस्कस की एक कृति के शीर्षक में आता है। कोज्या नियम का इतिहास अधिक लंबा है: यूक्लिड ने “एलिमेंट्स” की दूसरी पुस्तक में न्यूनकोण और अधिककोण त्रिभुजों के लिए पाइथागोरस प्रमेय को एक आयत के दोगुने द्वारा पहले ही सुधार दिया था, जो एक भुजा और उस पर दूसरी भुजा के प्रक्षेप से बनता है, और जिसे आज चिह्न को छोड़कर $2bc \cos A$ लिखा जाता है, और पंद्रहवीं शताब्दी में अल-काशी ने उसे गणना के योग्य रूप दिया। हीरोन का सूत्र, अपनी ओर से, पहली शताब्दी में अलेक्ज़ान्ड्रिया के हीरोन की “मेट्रिका” में मिलता है।

अनुपातों से फलनों तक

सदियों तक किसी कोण की ज्या एक परंपरागत त्रिज्या वाले वृत्त में एक लंबाई थी, जो त्रिज्या सारणी के अनुसार साठ या कई मिलियन होती थी। सत्रहवीं शताब्दी के कलन ने दिखाया कि सूत्र सरल हो जाते हैं यदि त्रिज्या $1$ हो और कोणों को उनके चाप की लंबाई से मापा जाए, और लियोनहार्ड ऑयलर ने 1748 की अपनी Introductio in analysin infinitorum में ज्या और कोज्या को वास्तविक चर के फलनों के रूप में लिया, जो मात्रक वृत्त पर परिभाषित हैं, और यही इस इकाई का दृष्टिकोण है; संगत मापन-मात्रक के लिए रेडियन नाम उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गढ़ा गया। उन्नीसवीं शताब्दी के आरंभ में जोसेफ़ फ़ूरिये ने 1822 में प्रकाशित ऊष्मा के अपने वैश्लेषिक सिद्धांत में प्रतिपादित किया कि एक बहुत व्यापक आवर्ती फलन को ज्याओं और कोज्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है, और त्रिकोणमितीय फलन सभी आवर्ती परिघटनाओं की भाषा बन गए।

ध्रुवीय निर्देशांक

किसी बिंदु का वर्णन किसी केंद्र से उसकी दूरी और एक कोण द्वारा करने का विचार उतना ही पुराना है जितना खगोलविज्ञान, और आर्किमिडीज़ ने ईसा पूर्व तीसरी शताब्दी में अपना सर्पिल ठीक इसी प्रकार परिभाषित किया: एक बिंदु जो स्थिर वेग से एक केंद्र से दूर जाता है जबकि उसे वहन करने वाली किरण स्थिर वेग से घूमती है। निर्देशांक पद्धति के रूप में, तथापि, ये सत्रहवीं शताब्दी में प्रकट होते हैं: बोनावेंतूरा कावालिएरी और ग्रेगोआर द सें-वैंसां ने सर्पिलों के अध्ययन के लिए इनका उपयोग किया, आइज़क न्यूटन ने इन्हें उन पद्धतियों में शामिल किया जिनसे वे वक्रों का वर्णन करते थे, और याकोब बरनौली ने उस शताब्दी के अंत के अपने कार्यों में इनका प्रयोग किया; ऑयलर ने अठारहवीं शताब्दी में इन्हें व्यवस्थित किया। इस बीच योहानेस केप्लर ने 1609 में प्रकाशित किया था कि मंगल की कक्षा एक दीर्घवृत्त है जिसकी एक नाभि पर सूर्य है, और ध्रुव पर नाभि वाले शांकवों का ध्रुवीय समीकरण, जो इस इकाई को समाप्त करता है, उस नियम का स्वाभाविक रूप है।

वह समस्या जिससे इनका जन्म हुआ

इन सभी विकासों की साझा समस्या इस प्रकार कही जा सकती है: किसी आकृति के कुछ कोण और कुछ लंबाइयाँ ज्ञात हों, तो शेष की गणना करनी है। इसका सबसे सरल रूप समकोण त्रिभुज है। समरूपता से, दो भुजाओं का अनुपात केवल न्यून कोण $\alpha$ पर निर्भर करता है, और इसलिए $\alpha$ का फलन है; परंतु यह फलन बीजीय नहीं है, यह $\alpha$ से योगों, गुणनफलों या मूलों द्वारा प्राप्त नहीं होता, और इसीलिए इसकी सारणी बनानी पड़ी। नीचे दिया गया उदाहरण, जो सौर मंडल को मापने का पहला ज्ञात प्रयास है, समस्या को उसके शुद्ध रूप में दिखाता है।

उदाहरणअरिस्टार्कस का त्रिभुज

जब चंद्रमा ठीक अर्धचंद्र के रूप में दिखता है, तो उसकी चकती का प्रकाशित आधा भाग किनारे से दिखता है, और सूर्य, चंद्रमा और पृथ्वी एक त्रिभुज बनाते हैं जो चंद्रमा पर समकोण है। अरिस्टार्कस ने पृथ्वी से चंद्रमा और सूर्य की दिशाओं के बीच का कोण $\alpha$ मापा, और $87^\circ$ पाया। मान लीजिए $T$ , $L$ और $S$ क्रमशः पृथ्वी, चंद्रमा और सूर्य हैं।

प्रमाण

${\operatorname{d}(T, S)}^2 = {\operatorname{d}(T, L)}^2 + {\operatorname{d}(L, S)}^2$
शीर्षों $T$ , $L$ और $S$ वाला त्रिभुज $L$ पर समकोण है: पृथ्वी से सूर्य की दूरी कर्ण है।
$\frac{\operatorname{d}(T, S)}{\operatorname{d}(T, L)} = \resaltar{\frac{1}{\cos \alpha}} = \dato{s}{\resaltar{\sec \alpha}}$
कोण $\alpha$ की संलग्न भुजा चंद्रमा की दूरी है; कोज्या की परिभाषा से, सूर्य की दूरी और चंद्रमा की दूरी का अनुपात केवल $\alpha$ पर निर्भर करता है।
$\alpha = 87^\circ \rightarrow 18 < \sec 87^\circ < 20$
कोज्याओं की सारणियों के बिना अरिस्टार्कस ने ज्यामितीय युक्तियों से अनुपात को दोनों ओर से परिबद्ध किया और निष्कर्ष निकाला कि सूर्य चंद्रमा से $18$ से $20$ गुना दूर है। कोण $87^\circ$ का छेदक लगभग 19.1 है, जो उनकी सीमाओं के भीतर है।
$\alpha \to 90^\circ \rightarrow \sec \alpha \to \infty$
विधि सही थी, पर आँकड़ा नहीं: वास्तविक कोण और समकोण का अंतर एक अंश के छठे भाग से भी कम है, और वास्तविक अनुपात लगभग $390$ है। जब $\alpha$ समकोण के निकट पहुँचता है, तो सूर्य चंद्रमा से होकर जाने वाली रेखा के अनुदिश असीमित रूप से दूर होता जाता है, और कोण में एक अत्यंत छोटी त्रुटि दूरी में भारी त्रुटि पैदा करती है।

चूँकि सूर्य और चंद्रमा का आभासी आकार लगभग समान है, जैसा कि पूर्ण सूर्यग्रहण दिखाते हैं, अरिस्टार्कस का विवेचन उनके व्यासों का अनुपात भी देता था, और उसके साथ यह निष्कर्ष भी कि सूर्य पृथ्वी से बहुत बड़ा है। यह उदाहरण बीज रूप में पूरी इकाई को समाहित करता है: एक कोण पर निर्भर भुजाओं का अनुपात, इस निर्भरता को सटीकता से जानने की आवश्यकता, और यह प्रेक्षण कि कुछ फलन कोण के पृथक मानों के निकट असीमित रूप से बढ़ते हैं, जो छेदक की वह ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है जिसका अध्ययन त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख वाले पाठ में होता है।

यही समस्या दो अन्य रूपों में भी सामने आती है, जिनसे इकाई के शेष पाठ उत्पन्न होते हैं। पहला उलटा है: अनुपात ज्ञात है और कोण खोजा जाता है, जैसे जब किसी सड़क की ढलान मापी जाती है और उसका झुकाव-कोण जानना होता है; इसका उत्तर देने के लिए उन फलनों का प्रतिलोम लेना पड़ता है जो एकैकी नहीं हैं, और यही प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का कार्य है। दूसरा उन चीज़ों का वर्णन है जो घूमती हैं: सूर्य के चारों ओर एक ग्रह, एक पहिया, बार-बार आने वाली एक तरंग। इसके लिए बिंदुओं को दो अक्षों से उनकी दूरियों के बजाय किसी केंद्र से उनकी दूरी और उनकी दिशा द्वारा नाम देना और आवर्ती गति को दोहराने वाले फलनों से व्यक्त करना उपयुक्त है; इसी प्रकार ध्रुवीय निर्देशांक और ज्यावक्र जन्म लेते हैं।

महत्त्व

इस पाठ्यक्रम के शेष भाग में, इकाई 2, जो आधारभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ वाले पाठ से आरंभ होती है, योग की ज्या और कोज्या के सूत्र सिद्ध करती है, त्रिकोणमितीय समीकरणों को व्यापक रूप में हल करती है और अक्षों के घूर्णन द्वारा दो चरों वाले सभी द्वितीय घात के समीकरणों का वर्गीकरण करती है। इकाई 3, जो ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को समर्पित है, प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को उसके मापांक और कोण के साथ लिखती है, जैसा कि सम्मिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप वाले पाठ में, और घातों और मूलों को मापांकों के गुणन और कोणों के योग में बदल देती है; इकाई 4 समतल के घूर्णनों को उन आव्यूहों द्वारा निरूपित करती है जिनके अवयव ज्याएँ और कोज्याएँ हैं, समतल के रूपांतरणों के रूप में आव्यूह वाले पाठ में; और इकाई 5, जो समष्टि की वैश्लेषिक ज्यामिति पर है, समष्टि के दो सदिशों के बीच के कोण को उसकी कोज्या द्वारा मापती है, समष्टि में सदिश और अदिश गुणनफल वाले पाठ में, और उसका उपयोग रेखाओं और समतलों के बीच के कोणों की गणना में करती है।

साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में, असमिका $\sin x < x < \tan x$ , कलन I पाठ्यक्रम में ज्या के अवकलज की गणना का आरंभ-बिंदु है, और चापों की लंबाइयाँ, ध्रुवीय वक्रों से घिरे क्षेत्रफल और त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन कलन II पाठ्यक्रम में पढ़े जाते हैं। यांत्रिकी के मूल सिद्धांत पाठ्यक्रम ज्या और कोज्या की सहायता से बलों और वेगों को घटकों में वियोजित करता है, और कोणीय और रैखिक वेग के संबंध द्वारा वृत्तीय गति का अध्ययन करता है। C++ में प्रोग्रामिंग I पाठ्यक्रम में, भाषा की गणितीय लाइब्रेरियाँ ज्या, कोज्या और प्रतिलोम स्पर्शज्या के अतिरिक्त दो प्राचलों वाला एक फलन भी देती हैं जो किसी बिंदु का ध्रुवीय कोण $-\pi$ और $\pi$ के बीच लौटाता है, चतुर्थांश के अनुसार उसी सुधार के साथ जो इस इकाई में सिद्ध किया जाता है।

गणित के बाहर, त्रिकोणमिति स्थलाकृति-सर्वेक्षण, नौवहन और भूगणित का उपकरण है, जो त्रिकोणन द्वारा भूमि को मापते हैं; ध्रुवीय निर्देशांक रडारों के और उन प्रणालियों के निर्देशांक हैं जो किसी वस्तु की स्थिति उसकी दूरी और दिशा-कोण से निर्धारित करती हैं; और ज्यावक्र ध्वनिकी, प्रत्यावर्ती विद्युत धारा, दूरसंचार और संकेतों और छवियों के प्रसंस्करण की भाषा हैं, जो फ़ूरिये के विचार का अनुसरण करते हुए हर संकेत को सरल दोलनों में वियोजित करते हैं।

त्रिकोणमितीय फलन और ध्रुवीय निर्देशांक: परिचय

सारांश

अधिगम उद्देश्य

प्रवेश मूल्यांकन

इकाई की विषय-वस्तु

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि

जीवाओं की सारणी

अर्ध-चाप से ज्या तक

विद्या के रूप में त्रिकोणमिति

अनुपातों से फलनों तक

ध्रुवीय निर्देशांक

वह समस्या जिससे इनका जन्म हुआ

महत्त्व

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