Κανόνας της αλυσίδας για την παράγωγο της σύνθεσης συναρτήσεων

Περίληψη

Αυτό το μάθημα αποδεικνύει τον κανόνα της αλυσίδας: αν η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $a$ και η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $g(a)$ , η σύνθεση $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $a$ , και η παράγωγός της είναι το γινόμενο $f'(g(a)) \, g'(a)$ . Η απόδειξη χρησιμοποιεί τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή, που δεν διαιρεί με τίποτα· το μάθημα εξηγεί γιατί το επιχείρημα που διαιρεί με $g(x) - g(a)$ δεν αρκεί και σε ποια περίπτωση λειτουργεί. Με τον κανόνα παραγωγίζονται σε λίγες γραμμές οι συνθέσεις δυνάμεων, ριζών, ρητών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων, που με τους κανόνες που προηγήθηκαν απαιτούσαν μακροσκελείς πράξεις ή δεν ήταν εφικτές. Το μάθημα φροντίζει επίσης για το πεδίο ορισμού της σύνθεσης, που ο τύπος της παραγώγου δεν δείχνει, και παρουσιάζει τον κανόνα στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς, όπου μοιάζει με απλοποίηση κλασμάτων χωρίς να είναι.

Μαθησιακοί στόχοι

Να αποδεικνύεται ο κανόνας της αλυσίδας με τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή, και να εξηγείται γιατί η απόδειξη που διαιρεί με $g(x) - g(a)$ αποτυγχάνει όταν $g'(a) = 0$ .
Να παραγωγίζονται συνθέσεις δύο ή περισσότερων γνωστών συναρτήσεων, υπολογίζοντας κάθε παράγωγο στο σημείο που της αντιστοιχεί.
Να προσδιορίζεται το πεδίο ορισμού μιας σύνθεσης πριν από την παραγώγισή της, και να αναγνωρίζεται ότι οι παραδοχές του κανόνα είναι ικανές, αλλά όχι αναγκαίες.
Να γράφεται και να διαβάζεται ο κανόνας της αλυσίδας στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς.

Η παράγωγος μιας σύνθεσης

Με τους κανόνες του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης και τους τύπους του μαθήματος για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων μπορεί να παραγωγιστεί η $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ , αλλά μόνο αναπτύσσοντας τη δύναμη σε πολυώνυμο βαθμού $24$ ή εφαρμόζοντας ξανά και ξανά τον κανόνα του γινομένου. Και δεν μπορεί ακόμη να παραγωγιστεί ούτε η $\sin(\cos x)$ ούτε η $\sqrt{1 + x^2}$ : κανένας κανόνας δεν λέει τι γίνεται με μια συνάρτηση εφαρμοσμένη σε μια άλλη. Και οι δύο εκφράσεις είναι συνθέσεις: η $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ είναι η δύναμη $t^{12}$ υπολογισμένη στο $t = 2x^2 + 1$ , και η $\sin(\cos x)$ είναι το ημίτονο υπολογισμένο στο $t = \cos x$ .

Δύο ειδικές περιπτώσεις είναι ήδη γνωστές. Το λυμένο πρόβλημα 2 του μαθήματος για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις απέδειξε ότι η $f(cx + b)$ έχει στο $a$ παράγωγο $c f'(ca + b)$ : η εσωτερική συνάρτηση είναι γραμμική, με κλίση $c$ , και η παράγωγος της εξωτερικής υπολογίζεται στο σημείο $ca + b$ , όχι στο $a$ . Και το προτεινόμενο πρόβλημα 4 του μαθήματος για τους κανόνες παραγώγισης έδειξε, με επαγωγή, ότι η $\left(f(x)\right)^n$ έχει στο $a$ παράγωγο $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ . Και στις δύο περιπτώσεις η παράγωγος είναι γινόμενο: η παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης, υπολογισμένη στην τιμή της εσωτερικής, επί την παράγωγο της εσωτερικής. Η ιδέα είναι εκείνη των ρυθμών μεταβολής: αν το $t = g(x)$ μεταβάλλεται $g'(a)$ φορές πιο γρήγορα από το $x$ , και η $f(t)$ μεταβάλλεται $f'(g(a))$ φορές πιο γρήγορα από το $t$ , τότε η $f(g(x))$ μεταβάλλεται $f'(g(a)) \, g'(a)$ φορές πιο γρήγορα από το $x$ .

ΘεώρημαΚανόνας της αλυσίδας

Έστω $g$ μια συνάρτηση ορισμένη στο $A$ , παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $a$ του $A$ που είναι σημείο συσσώρευσης του $A$ , και $f$ μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα σύνολο $B$ που περιέχει τις τιμές της $g$ , παραγωγίσιμη στο $b = g(a)$ . Τότε η $f \circ g$ είναι παραγωγίσιμη στο $a$ , και

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Οι δύο προσαυξήσεις παραγοντοποιούνται με τον χαρακτηρισμό του Καραθεοδωρή και συνδέονται διαδοχικά: η προσαύξηση της $f$ υπολογίζεται στο $t = g(x)$ , και εκείνη της $g$ μπαίνει στη θέση του $t - b$ . Το σχήμα δείχνει, με $g(x) = x^2$ , $f(t) = \sin t$ και $a = 1$ , την τέμνουσα ευθεία και την εφαπτομένη ευθεία της $g$ , εκείνες της $f$ στο $b = 1$ και, στο τέλος, εκείνες της $\sin\left(x^2\right)$ , της οποίας η κλίση στο $1$ είναι το γινόμενο $\cos 1 \cdot 2$ .

Απόδειξη

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
Από το θεώρημα των χαρακτηρισμών της παραγώγου, του μαθήματος για την παράγωγο ως όριο, υπάρχουν $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ , συνεχής στο $a$ με $\psi(a) = g'(a)$ , και $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ , συνεχής στο $b$ με $\varphi(b) = f'(b)$ , τέτοιες ώστε:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
Έστω $x$ του $A$ . Ο αριθμός $t = g(x)$ ανήκει στο $B$ , και η δεύτερη ισότητα ισχύει γι’ αυτόν, είτε είναι ίσος με $b$ είτε όχι· έπειτα, στη θέση του $t - b = g(x) - g(a)$ μπαίνει η πρώτη παραγοντοποίηση.
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
Αφού η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο $a$ , είναι συνεχής στο $a$ , από το θεώρημα ότι η παραγωγισιμότητα συνεπάγεται συνέχεια· και η $\varphi$ είναι συνεχής στο $b = g(a)$ . Από το θεώρημα της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων, του μαθήματος για το όριο και τη συνέχεια, η $\varphi \circ g$ είναι συνεχής στο $a$ , και ο παράγοντας $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ είναι επίσης συνεχής από τον κανόνα του γινομένου των πράξεων με συνεχείς συναρτήσεις. Αφού το $a$ είναι σημείο συσσώρευσης του $A$ , που είναι το πεδίο ορισμού της $f \circ g$ , ο χαρακτηρισμός του Καραθεοδωρή δίνει την παράγωγο.

Αν η $g$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το $A$ και η $f$ σε όλο το $B$ , ο κανόνας ισχύει σε κάθε σημείο συσσώρευσης του $A$ , και γράφεται ως ισότητα συναρτήσεων: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ . Η παράγωγος της εξωτερικής συνάρτησης υπολογίζεται στο $g(x)$ , όχι στο $x$ · είναι το συχνότερο λάθος κατά την εφαρμογή του κανόνα. Το πλεονέκτημα της απόδειξης βρίσκεται στο δεύτερο σκέλος της: η παραγοντοποίηση της $f$ ισχύει και στο $t = b$ , όπου και τα δύο μέλη της είναι μηδενικά, ώστε δεν έχει σημασία αν η $g$ επαναλαμβάνει την τιμή της $g(a)$ κοντά στο $a$ .

Στο υπόλοιπο αυτής της διάλεξης

Το πεδίο ορισμού μιας σύνθεσης
Γιατί δεν αρκεί η διαίρεση
Συνθέσεις γνωστών συναρτήσεων
Ο κανόνας της αλυσίδας στον συμβολισμό του Λάιμπνιτς
Λυμένα προβλήματα
Οριζόντιες εφαπτόμενες μιας τριπλής σύνθεσης
Παραγώγιση με έναν πίνακα τιμών
Ικανές, όχι αναγκαίες παραδοχές
Μια φραγμένη συνάρτηση με μη φραγμένη παράγωγο
Μια συνάρτηση συντεθειμένη με τον εαυτό της
Προτεινόμενα προβλήματα
Η παράγωγος μιας άρτιας συνάρτησης
Παραγώγιση μιας ταυτότητας
Η απόλυτη τιμή έξω από τις ρίζες
Μια συναρμογή με τον κανόνα της αλυσίδας
Μια εξωτερική συνάρτηση που δεν είναι παραγωγίσιμη

Συνεχίστε την ανάγνωση με δωρεάν λογαριασμό

Δημιουργήστε τον δωρεάν λογαριασμό σας για να διαβάσετε ολόκληρη αυτή τη διάλεξη και τις πρώτες διαλέξεις κάθε μαθήματος, και για να αποθηκεύετε την πρόοδό σας.

Δημιουργία λογαριασμού Σύνδεση

Αποκτήστε πρόσβαση στο πλήρες μάθημα

Το υπόλοιπο αυτής της διάλεξης περιλαμβάνεται στη συνδρομή. Με τη συνδρομή αποκτάτε πρόσβαση σε όλες τις διαλέξεις κάθε μαθήματος, με τα προβλήματα και τις αποδείξεις τους.