Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών

Περίληψη

Αυτό το μάθημα αποδεικνύει το πρώτο μεγάλο θεώρημα για τις συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα: μια συνεχής συνάρτηση δεν μπορεί να περάσει από μια τιμή σε μια άλλη χωρίς να πάρει όλες τις ενδιάμεσες τιμές. Αποδεικνύεται πρώτα, με το αξίωμα πληρότητας, το θεώρημα του Μπολτσάνο, που εξασφαλίζει μια ρίζα όταν η συνάρτηση αλλάζει πρόσημο· από αυτό έπονται το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το ότι η εικόνα ενός διαστήματος είναι διάστημα και το ότι η αντίστροφη μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι συνεχής, αποτέλεσμα που χρειάζεται η παράγωγος της αντίστροφης. Το θεώρημα δεν λέει πού βρίσκεται η ρίζα, αλλά η μέθοδος της διχοτόμησης την εντοπίζει με όση ακρίβεια θέλουμε. Το μάθημα το εφαρμόζει στην ύπαρξη ριζών εξισώσεων, στα πολυώνυμα περιττού βαθμού και στα σταθερά σημεία.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύεται το θεώρημα του Μπολτσάνο με το αξίωμα πληρότητας και να συνάγεται από αυτό το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.
  2. Να αποδεικνύεται ότι η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης είναι διάστημα, και να συνάγεται η συνέχεια της αντίστροφης μιας συνεχούς και γνησίως μονότονης συνάρτησης.
  3. Να χρησιμοποιείται το θεώρημα για να αποδεικνύεται η ύπαρξη ριζών εξισώσεων, και να εντοπίζονται αυτές με τη μέθοδο της διχοτόμησης.

Το θεώρημα του Μπολτσάνο

Η γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα σχεδιάζεται, κατά τη διαισθητική αναπαράσταση, χωρίς να σηκώσουμε το μολύβι· αν αρχίζει κάτω από τον άξονα και τελειώνει πάνω από αυτόν, πρέπει να τον διασχίσει. Αυτή η διαίσθηση χρειάζεται απόδειξη, γιατί εξαρτάται από τους πραγματικούς αριθμούς: η συνάρτηση x2−2x^2 - 2 είναι αρνητική στο 00 και θετική στο 22, αλλά αν θεωρούσαμε μόνο τους ρητούς αριθμούς δεν θα μηδενιζόταν ποτέ, γιατί ο 2\sqrt{2} δεν είναι ρητός. Η απόδειξη χρησιμοποιεί λοιπόν το αξίωμα πληρότητας, μέσω του supremum.

ΘεώρημαΘεώρημα του Μπολτσάνο

Έστω ff συνεχής στο [a,b]\icc{a}{b}, με f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b). Τότε υπάρχει cc στο (a,b)\ioo{a}{b} τέτοιο ώστε f(c)=0f(c) = 0. Το ίδιο ισχύει αν f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b). Παίρνουμε το supremum των σημείων όπου η συνάρτηση είναι αρνητική· η διατήρηση του προσήμου από το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια αποκλείει να είναι η συνάρτηση αρνητική ή θετική σε αυτό. Το σχήμα δείχνει το σύνολο αυτών των σημείων και το supremum του, και έπειτα τις δύο αδύνατες περιπτώσεις.

Απόδειξη

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    Έστω SS το σύνολο των xx του [a,b]\icc{a}{b} για τα οποία f(x)<0f(x) < 0. Δεν είναι κενό, γιατί περιέχει το aa, και το bb είναι άνω φράγμα· από το αξίωμα πληρότητας έχει supremum cc, με a≤c≤ba \leq c \leq b.

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    Αν f(c)<0f(c) < 0, τότε c≠bc \neq b, γιατί f(b)>0f(b) > 0. Από τη διατήρηση του προσήμου, η ff είναι αρνητική στο [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta} για κάποιο δ>0\delta > 0, που μπορεί να ληφθεί με c+δ≤bc + \delta \leq b· τότε το SS περιέχει σημεία μεγαλύτερα από το cc, και το cc δεν θα ήταν άνω φράγμα.

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    Αν f(c)>0f(c) > 0, τότε c≠ac \neq a. Από τη διατήρηση του προσήμου, η ff είναι θετική στο (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c} για κάποιο δ>0\delta > 0, που μπορεί να ληφθεί με c−δ≥ac - \delta \geq a, ώστε κανένα σημείο αυτού του διαστήματος να μην ανήκει στο SS· αφού ούτε σημεία μεγαλύτερα από το cc ανήκουν σε αυτό, ο αριθμός c−δc - \delta θα ήταν ένα άνω φράγμα μικρότερο από το supremum. Επομένως f(c)=0f(c) = 0, και το cc δεν είναι ούτε το aa ούτε το bb. Η δεύτερη περίπτωση ανάγεται στην πρώτη με την −f-f.