Αναλυτική γεωμετρία του χώρου: εισαγωγή

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

1. Ερώτηση 1Να υπολογιστεί η απόσταση των σημείων $P = (1, -2, 3)$ και $Q = (3, 1, 9)$.

2. Ερώτηση 2Ποια γωνία σχηματίζουν τα διανύσματα $\vec{u} = \left( 1, 1, 0 \right)$ και $\vec{v} = \left( 1, 0, 1 \right)$;

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $\frac{\pi}{6}$

3. Ερώτηση 3Να υπολογιστεί το $\left( 1, 2, 0 \right) \times \left( 0, 1, 3 \right)$.

   $\left( 6, -3, 1 \right)$

   $\left( 6, 3, 1 \right)$

   $\left( -6, 3, -1 \right)$

   $\left( 0, 2, 0 \right)$

4. Ερώτηση 4Να υπολογιστεί ο όγκος του τετραέδρου με κορυφές $O = (0, 0, 0)$, $A = (1, 2, 0)$, $B = (0, 1, 3)$ και $C = (2, 0, 1)$.

5. Ερώτηση 5Ποια είναι η εξίσωση του επιπέδου που διέρχεται από τα $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$ και $C = (0, 0, 2)$;

   $2x + y + z = 2$

   $x + 2y + 2z = 1$

   $2x + y + z = 0$

   $\left( x, y, z \right) = \left( 1, 0, 0 \right) + t \left( -1, 2, 0 \right)$

6. Ερώτηση 6Ποια είναι η σχετική θέση των ευθειών $\left( 1, 0, 0 \right) + t \left( 1, 1, 0 \right)$ και $\left( 0, 1, 1 \right) + s \left( 1, -1, 0 \right)$;

   Είναι ασύμβατες.

   Τέμνονται σε ένα σημείο.

   Είναι παράλληλες.

7. Ερώτηση 7Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου $P = (1, 2, 3)$ από το επίπεδο $2x - y + 2z = 1$.

8. Ερώτηση 8Ποια γωνία σχηματίζει η ευθεία με διάνυσμα κατεύθυνσης $\left( 1, 0, 1 \right)$ με το επίπεδο $x + y = 0$;

   $\frac{\pi}{6}$

   $\frac{\pi}{3}$

   $\frac{\pi}{4}$

   $0$

9. Ερώτηση 9Ένα drone απογειώνεται από το σημείο $O = (0, 0, 0)$ ενός πάρκου και ανεβαίνει σε ευθεία γραμμή κατά τη διεύθυνση του διανύσματος $\left( 2, 2, 1 \right)$, με τις αποστάσεις σε μέτρα. Στο σημείο $P = (12, 6, 0)$ του εδάφους κάθεται ένα άτομο. Σε ποια ελάχιστη απόσταση από αυτό περνά το drone, σε μέτρα;

10. Ερώτηση 10Από προηγούμενες ενότητεςΝα υπολογιστεί η ορίζουσα του πίνακα με γραμμές $\left( 1, 2, 0 \right)$, $\left( 3, 1, 2 \right)$ και $\left( 0, 1, 1 \right)$.

11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΈνα σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους έχει πίνακα των συντελεστών βαθμίδας $2$ και επαυξημένο πίνακα βαθμίδας $3$. Πόσες λύσεις έχει;

    Καμία.

    Μία μόνο.

    Άπειρες.

12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΓια ποια τιμή του $k$ είναι κάθετα τα διανύσματα $\left( 3, -1 \right)$ και $\left( 2, k \right)$ του επιπέδου;