极限与连续：总结与挑战

摘要

本课结束关于极限与连续性的单元。它把本单元十节课所证明的内容汇成一条演绎链：用 ε 与 δ 给出的极限定义及其局部性质，归结为三个引理的极限运算法则，夹逼定理和三角函数的极限；单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限，它们通过限制、反演和倒数继承这些法则，以及渐近线；还有连续性、初等函数的连续性、重要极限，以及借助等价无穷小对函数所作的比较。它说明本单元如何依托代数与几何 I 和 II，把那两门课程中关于渐近线和连续性而承认的事实变成定理，又如何为导数及其应用的研究作准备。最后给出一份与入门测评平行的结业测评，以及十道挑战题，难度高于各课的习题，每一道都要把其中好几节课的结果结合起来。

学习目标

按逻辑顺序陈述本单元的定义和主要定理，指出每一个依赖于前面的哪些结果，以及哪些用 ε 与 δ 的论证被重复使用。
区分本单元承认的内容与证明的内容，并认清每个结果的假设，例如复合函数极限的假设或等价代换的假设。
把本单元的结果与代数与几何 I 和 II 以及导数及其应用的研究联系起来。
解决综合运用极限运算法则、单侧极限、无穷远处的极限、无穷极限、渐近线、连续性、重要极限和等价无穷小的非常规问题。

本单元的收获

本单元从一个问题和一项要求出发。问题是：当自变量趋近于一点时，函数值趋近于一个数，这是什么意思。要求是：答复必须不仅能用来计算，还能用来证明，并且每个用 ε 与 δ 的论证只做一次，然后反复使用。答复是唯一的一个定义，在关于实变量函数的极限的课中给出：若 $a$ 是定义域 $A$ （ $f$ 的定义域）的聚点，则“ $f$ 在 $a$ 处的极限是 $L$ ”的意思如下。

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

其余的一切都由它通过归结得到：运算法则归结为一个不等式；单侧极限归结为限制的极限；无穷远处的极限归结为零处的单侧极限；无穷极限归结为倒数的零极限；连续性归结为极限等于函数值。

极限的定义与运算法则

第一节课把定义读作一场挑战与回应的游戏，把它写成带量词的陈述，并逐个量词地得到它的否定。利用 $a$ 是定义域的聚点这一要求，它证明了极限的唯一性；又借助预先选定的挑战，证明了极限只依赖于该点附近的值，迫使函数在该点附近有界，并且在极限不为零时把自己的符号赋予函数。关于极限的运算法则的课整理了这些证明，以便重复使用：三个用 ε 与 δ 证明的引理表明，任何函数 $F$ ，只要在 $a$ 附近满足形如 $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ 的上界，就趋于 $K$ ；于是每条法则都归结为找出这样的上界：线性组合的法则来自三角不等式，乘积的法则来自局部有界性，倒数的法则来自保号性，另有一个引理保证限制定义域不会失去极限。由此推出多项式和有理函数的直接代入、根式和有理数指数幂的极限，以及复合函数极限定理；这个定理为变量代换提供依据，但需要一个假设，一个反例表明它不可缺少：内层函数在该点附近不取其极限值。关于夹逼定理的课证明了极限保持非严格不等式，夹在两个趋于同一个数的函数之间的函数也趋于这个数，以及有界函数与趋于零的函数之积趋于零；利用上界 $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ 和正弦、弧与正切之间的不等式，它得到了第一重要极限 $\frac{\sin x}{x} \to 1$ 及其推论。

单侧、无穷与渐近线

关于单侧极限的课把它们定义为函数在点的一侧的限制的极限。这一决定省去了其余全部工作：前面的定理无需新的证明就对它们成立，并且极限存在当且仅当两个单侧极限都存在且相等。同一节课第一次在不计算其值的情况下证明了一个极限存在：在区间上递增且有上界的函数，在区间的右端点处趋于其函数值的上确界，这由完备性保证。关于自变量趋于无穷大时的极限的课借助反演引理把每个这样的极限归结为零处的单侧极限，从而得到有理函数在远离原点处的性态。关于无穷极限的课用函数值无限增大的情形补全了这一框架：倒数引理把它们转化为零极限，因此概括为“ $\infty + c = \infty$ ”或“ $c \cdot \infty = \infty$ ”的法则是带假设的定理，而四种不定式是警示，而不是结果。最后，关于渐近线的课用极限定义了渐近线，把非垂直渐近线的斜率和截距求为两个极限，由此每一端至多有一条，证明了有理函数的垂直渐近线，并安排了不用导数作草图的流程；它还表明曲线可以与其渐近线相交。

连续性与函数的比较

关于极限与连续性的课定义了函数在定义域中一点处的连续性，证明了在聚点处它等价于极限等于函数值，并把间断分为可去间断、跳跃间断和本性间断。极限运算法则给出了运算的连续性，而连续函数的复合不需要复合函数极限定理所要求的那个假设就是连续的；由此推出极限符号与连续函数可交换。关于初等函数的连续性的课用同一个论证，即像为区间的单调函数的论证，证明了指数函数、对数函数、实数指数幂和反三角函数的连续性；利用它和不等式 $e^x \geq 1 + x$ ，得到了重要极限、作为极限的数 $e$ 和 $1^\infty$ 型，并在无穷远处比较了指数函数、幂和对数。关于等价无穷小与等价无穷大的课把所有这些极限读作函数之间的比较：定义了小 $\operatorname{o}$ 、大 $\operatorname{O}$ 和等价，证明了在乘积或商中每个因子都可以换成与之等价的另一个因子，并把前面的极限汇成一张零处的等价无穷小表。

承认的、证明的与留待以后的内容

可以这样总结本单元：

只承认一条公理：完备性公理，连同域公理和序公理；按照它，实数的每个非空且有上界的集合都有上确界。此外还使用在代数与几何中证明过的结果：正弦、弧与正切之间的不等式，和差化积公式，不等式 $e^x \geq 1 + x$ ，指数函数的单调性，以及因式定理。
证明代数与几何曾经承认的事实：有理函数的垂直渐近线和无穷远处的渐近线，以及有理函数、三角函数和反三角函数的连续性。
重复使用五个工具，而不重复论证：三个上界引理、保号性、定义域的限制（特别是限制到点的一侧）、反演和倒数。
需要比极限更多东西的内容留待以后：介值定理和导数在接下来的单元；魏尔斯特拉斯定理和洛必达法则在第三单元；泰勒多项式在微积分 II。

下图把三段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，并用虚线连到确立它的那个环节，只有来自代数与几何的支柱例外，它们画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

A实数公理. 从代数与几何 I 起就承认：实数构成一个完备的有序域，即加法和乘法满足域公理，序满足三歧性并与运算相容，并且实数的每个非空且有上界的集合都有上确界。本单元中不加证明而采用。
B代数与几何的遗产. 在代数与几何 I 和 II 中证明的结果： $u^n - v^n$ 的因式分解和有理数指数幂， $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ ，以及 $\sin x < x < \tan x$ （当 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ 时），和差化积公式与降幂公式，不等式 $e^x \geq 1 + x$ ，指数函数的单调性和值域，反三角函数，因式定理和符号表。本单元中不加证明而采用。
C上界判别法. 若在 $a$ 附近成立 $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ ，其中 $C > 0$ 、 $f \to L$ 且 $g \to M$ ，则 $F \to K$ ；每条法则都归结为找出这样一个上界。确立于: 4. 三个引理.
D局部有界性与保号性. 若 $f$ 趋于 $L$ （在 $a$ 处），则在 $a$ 附近成立 $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ；若 $L \neq 0$ ，则在 $a$ 附近函数与 $L$ 同号，并且 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ 。确立于: 3. 局部性质.
E变量代换. 若 $g(x) \to b$ ， $f(t) \to L$ （当 $t \to b$ 时），并且 $g(x) \neq b$ 在 $a$ 附近成立，则 $f(g(x)) \to L$ 。确立于: 8. 复合函数的极限.
F限制. 若 $f$ 趋于 $L$ （在 $a$ 处），且 $a$ 是定义域的一个子集 $B$ 的聚点，则 $f$ 在 $B$ 上的限制也趋于 $L$ ；单侧极限就是一个限制的极限，因此关于极限的所有定理对单侧极限都成立。确立于: 5. 限制的极限.
G反演. $f$ 在 $\infty$ 处的极限，就是 $f\left(\frac{1}{t}\right)$ 当 $t$ 从右侧趋于 $0$ 时的极限，而在 $-\infty$ 处的极限则是从左侧趋近时的极限；因此关于极限的所有定理在无穷远处都成立。确立于: 15. 反演引理.
H倒数. 一个函数趋于 $\infty$ ，当且仅当它在趋向目标附近为正且其倒数趋于 $0$ ；因此有限极限的法则决定了无穷极限。确立于: 17. 倒数引理.

第 1 段极限的定义与运算法则
- 用 ε 与 δ 定义聚点处的极限，把它写成带量词的陈述并加以否定，证明它的唯一性和局部性质。
- 借助三个引理把极限运算法则中的每条法则归结为一个上界，并得到有理函数、根式和幂的极限。
- 用复合函数极限定理进行变量代换，并认清它的假设。
- 证明夹逼定理，并由它得到第一重要极限及其推论。
1. 极限的定义. 若 $a$ 是定义域 $A$ （ $f$ 的定义域）的聚点，则说 $f$ 在 $a$ 处的极限是 $L$ ，意思是 $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ；说不是，意思是 $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ 。
  证明于: 实变量函数的极限.
2. 极限的唯一性. 若 $a$ 是 $f$ 的定义域的聚点， $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ ，则 $L = L'$ 。
  使用: 1. 极限的定义. 依据: A (实数公理). 证明于: 实变量函数的极限.
3. 局部性质. 在 $a$ 处的极限只依赖于函数在以 $a$ 为中心的去心邻域中的值；若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ，则在 $a$ 附近成立 $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ；若此外 $L \neq 0$ ，则 $f(x)$ 与 $L$ 同号，并且 $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ 。
  使用: 1. 极限的定义. 依据: A (实数公理). 证明于: 实变量函数的极限.
4. 三个引理. $f$ 在 $a$ 处的极限是 $L$ ，当且仅当 $\abs{f(x) - L}$ 的极限是 $0$ ；若 $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ 在 $a$ 附近成立，其中 $C > 0$ 且 $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ ，则 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ；并且两个趋于零的距离之和趋于零。
  使用: 1. 极限的定义. 证明于: 极限的运算法则.
5. 限制的极限. 若 $B$ 是定义域 $A$ （ $f$ 的定义域）的子集， $a$ 是 $B$ 的聚点且 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ，则 $f$ 在 $B$ 上的限制也趋于 $L$ （在 $a$ 处）：在 $A$ 中管用的回应在 $B$ 中也管用。
  使用: 1. 极限的定义. 证明于: 极限的运算法则.
6. 极限的运算法则. 若 $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ，则 $\alpha f + \beta g$ 趋于 $\alpha L + \beta M$ ， $fg$ 趋于 $LM$ ；若 $M \neq 0$ ，则 $\frac{1}{g}$ 趋于 $\frac{1}{M}$ ， $\frac{f}{g}$ 趋于 $\frac{L}{M}$ 。
  使用: 3. 局部性质, 4. 三个引理. 依据: C (上界判别法), D (局部有界性与保号性), F (限制). 证明于: 极限的运算法则.
7. 多项式、根式与幂. 多项式，以及分母在 $a$ 处不为零的有理函数，在 $a$ 处的极限等于其函数值； $\sqrt[n]{f(x)}$ 趋于 $\sqrt[n]{L}$ ，其中 $f \geq 0$ （若 $n$ 为偶数）；若 $L > 0$ ，则 $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ 趋于 $L^{\frac{p}{q}}$ 。
  使用: 1. 极限的定义, 6. 极限的运算法则. 依据: B (代数与几何的遗产), C (上界判别法), D (局部有界性与保号性). 证明于: 极限的运算法则.
8. 复合函数的极限. 若 $\lim_{x \to a} g(x) = b$ ， $\lim_{t \to b} f(t) = L$ ，并且 $g(x) \neq b$ 在 $a$ 附近成立，则 $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ；没有假设 $g(x) \neq b$ ，结论可能不成立。
  使用: 1. 极限的定义. 证明于: 极限的运算法则.
9. 极限的保序性. 若 $f(x) \leq g(x)$ 在 $a$ 附近成立， $\lim_{x \to a} f(x) = L$ 且 $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ，则 $L \leq M$ ；严格不等式不能保持。
  使用: 6. 极限的运算法则. 依据: D (局部有界性与保号性). 证明于: 夹逼定理与三角函数的极限.
10. 夹逼定理. 若 $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ 在 $a$ 附近成立，且 $h$ 与 $g$ 都趋于 $L$ ，则 $f$ 也趋于 $L$ ；在 $a$ 附近有界的函数与趋于 $0$ 的函数之积趋于 $0$ 。
  使用: 4. 三个引理. 依据: C (上界判别法). 证明于: 夹逼定理与三角函数的极限.
11. 正弦与余弦. 对一切实数 $x$ 和 $a$ ， $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ 且 $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ；因此 $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ 且 $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ 。
  使用: 4. 三个引理. 依据: B (代数与几何的遗产), C (上界判别法). 证明于: 夹逼定理与三角函数的极限.
12. 第一重要极限. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ；当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{\tan x}{x}$ 趋于 $1$ ， $\frac{\sin kx}{x}$ 趋于 $k$ ， $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 。
  使用: 6. 极限的运算法则, 10. 夹逼定理, 11. 正弦与余弦. 依据: B (代数与几何的遗产), E (变量代换). 证明于: 夹逼定理与三角函数的极限.
第 2 段单侧、无穷与渐近线
- 把单侧极限定义为限制的极限，使之继承所有定理，并用两侧刻画极限。
- 由完备性得到单调有界函数的极限，它是一个上确界。
- 把无穷远处的极限归结为零处的单侧极限，把无穷极限归结为零极限，并给出相应的法则和不定式。
- 用两个极限计算函数的渐近线，证明有理函数的垂直渐近线，并不用导数作出图像的草图。
1. 单侧极限. $f$ 在 $a$ 处的右极限，就是在 $a$ 处取它的一个限制的极限，这个限制是限制到定义域中大于 $a$ 的点上；左极限则限制到小于它的点上；若 $a$ 是两侧的聚点，则 $f$ 以 $L$ 为极限（在 $a$ 处），当且仅当两个单侧极限都存在且都等于 $L$ 。
  使用: 1. 极限的定义, 5. 限制的极限, 2. 极限的唯一性. 证明于: 单侧极限.
2. 单调函数. 若 $f$ 在 $\ioo{c}{b}$ 上递增且有上界，则 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ；若它递增且有下界，则它在 $c$ 处的右极限是其函数值的下确界。
  使用: 6. 极限的运算法则, 13. 单侧极限. 依据: A (实数公理), E (变量代换), F (限制). 证明于: 单侧极限.
3. 反演引理. $f$ 在 $\infty$ 处的极限是 $L$ ，是指对任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $M$ ，使得 $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ 在 $x > M$ 时成立；并且 $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ ，在 $-\infty$ 处用左极限同样成立。
  使用: 13. 单侧极限. 证明于: 自变量趋于无穷大时的极限.
4. 无穷远处的有理函数. 对任意有理数 $r > 0$ ， $\frac{1}{x^r}$ 趋于 $0$ （在 $\infty$ 处）；次数为 $n$ 和 $m$ 的两个多项式之商，在 $\pm\infty$ 处趋于 $0$ （若 $n < m$ ），趋于首项系数之商（若 $n = m$ ），没有有限极限（若 $n > m$ ）。
  使用: 2. 极限的唯一性, 6. 极限的运算法则, 7. 多项式、根式与幂. 依据: D (局部有界性与保号性), F (限制), G (反演). 证明于: 自变量趋于无穷大时的极限.
5. 倒数引理. $f$ 趋于 $\infty$ （在趋向目标 $P$ 处，它是一个点、一点的一侧或 $\pm\infty$ ），是指对任意实数 $N$ ，都有 $f(x) > N$ 在 $P$ 附近成立；这当且仅当 $f$ 在 $P$ 附近为正且 $\frac{1}{f}$ 趋于 $0$ ； $f$ 趋于 $-\infty$ 当且仅当 $-f$ 趋于 $\infty$ 。
  使用: 1. 极限的定义. 证明于: 无穷极限.
6. 无穷极限的运算法则. 若 $f \leq g$ 在 $P$ 附近成立且 $f$ 趋于 $\infty$ ，则 $g$ 也是如此；若 $f$ 趋于 $\infty$ ，则 $f + g$ 也是如此（若 $g$ 有下界）， $fg$ 也是如此（若 $g$ 趋于正数或 $\infty$ ）；分子趋于正数、分母取正值趋于 $0$ 的商趋于 $\infty$ 。
  使用: 6. 极限的运算法则. 依据: D (局部有界性与保号性), F (限制), G (反演), H (倒数). 证明于: 无穷极限.
7. 无界单调函数. 若 $f$ 在 $\ioo{c}{b}$ 上递增（其中 $b$ 为实数或 $b = \infty$ ）且没有上界，则 $f$ 趋于 $\infty$ ，在 $b$ 处从左侧趋近，或者在 $\infty$ 处趋近（若 $b = \infty$ ）。
  使用: 17. 倒数引理. 证明于: 无穷极限.
8. 与无穷极限的复合. 若 $g$ 趋于 $\infty$ （在 $P$ 处），且 $f(u)$ 趋于 $L$ （当 $u$ 趋于 $\infty$ 时），则 $f(g(x))$ 趋于 $L$ （在 $P$ 处），不需要对 $g$ 的取值作任何假设；若 $f(u)$ 趋于 $\infty$ 或 $-\infty$ ，结论同样成立。
  使用: 15. 反演引理, 17. 倒数引理. 证明于: 无穷极限.
9. 渐近线的计算. 直线 $y = mx + b$ 是 $f$ 的图像在 $\infty$ 处的渐近线，即 $f(x) - (mx + b)$ 趋于 $0$ ，当且仅当 $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ 且 $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ；因此每一端至多有一条非垂直渐近线。
  使用: 2. 极限的唯一性, 6. 极限的运算法则, 16. 无穷远处的有理函数. 依据: G (反演). 证明于: 渐近线与函数作图技巧.
10. 垂直渐近线. 若 $r$ 是多项式 $B$ 的根且 $A(r) \neq 0$ ，则直线 $x = r$ 是 $\frac{A}{B}$ 的图像的垂直渐近线，并且在 $r$ 的每一侧，函数按符号表在相邻区间中给出的符号趋于 $\infty$ 或 $-\infty$ 。
  使用: 7. 多项式、根式与幂, 18. 无穷极限的运算法则. 依据: B (代数与几何的遗产), D (局部有界性与保号性), F (限制). 证明于: 渐近线与函数作图技巧.
第 3 段连续性与函数的比较
- 定义连续性，把它与极限联系起来，并把间断分为可去间断、跳跃间断和本性间断。
- 证明运算和复合保持连续性，以及极限符号与连续函数可交换。
- 用单调函数的论证证明初等函数的连续性，并由此得到重要极限和 $1^\infty$ 型。
- 用小 $\operatorname{o}$ 和等价比较函数，在乘积和商中代换等价量，但不在和中代换。
1. 连续性与极限. $f$ 在一点 $a$ （属于其定义域 $A$ ）处连续，是指 $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ；若 $a$ 是 $A$ 的聚点，这等价于 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ；若它是孤立点，则总是成立。
  使用: 1. 极限的定义. 证明于: 极限与连续性.
2. 连续函数的运算. 在 $a$ 处连续的函数的线性组合、乘积、分母不为零的商和根式在 $a$ 处连续；因此多项式、有理函数、根式、绝对值、正弦、余弦和正切在其定义域上连续。
  使用: 6. 极限的运算法则, 7. 多项式、根式与幂, 11. 正弦与余弦, 23. 连续性与极限. 依据: C (上界判别法). 证明于: 极限与连续性.
3. 连续函数的复合. 若 $g$ 在 $a$ 处连续且 $f$ 在 $g(a)$ 处连续，则 $f \circ g$ 在 $a$ 处连续；若 $g(x)$ 趋于 $b$ 且 $f$ 在 $b$ 处连续，则 $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ ，单侧或在 $\pm\infty$ 处也是如此。
  使用: 3. 局部性质, 23. 连续性与极限. 依据: F (限制), G (反演). 证明于: 极限与连续性.
4. 连续的初等函数. 定义在一个区间上、在其上单调且像为区间的函数是连续的，具有这些性质的严格单调函数的反函数也是连续的；因此指数函数、对数函数、实数指数幂、反三角函数和双曲函数在其定义域上连续。
  使用: 13. 单侧极限, 14. 单调函数, 23. 连续性与极限, 24. 连续函数的运算, 25. 连续函数的复合. 依据: B (代数与几何的遗产). 证明于: 初等函数的连续性与重要极限.
5. 重要极限. 当 $x$ 趋于 $0$ 时， $\frac{e^x - 1}{x}$ 和 $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ 趋于 $1$ ， $\frac{a^x - 1}{x}$ 趋于 $\ln a$ ， $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ 趋于 $r$ ；此外， $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ 趋于 $e$ （在 $0$ 处）， $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 也是如此（在 $\pm\infty$ 处）。
  使用: 6. 极限的运算法则, 10. 夹逼定理, 13. 单侧极限, 26. 连续的初等函数, 25. 连续函数的复合. 依据: B (代数与几何的遗产), E (变量代换), G (反演). 证明于: 初等函数的连续性与重要极限.
6. 1 的无穷次幂型. 若 $f > 0$ 在 $P$ 附近成立， $f(x)$ 趋于 $1$ ，且 $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ 趋于实数 $\lambda$ ，则 $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ 趋于 $e^{\lambda}$ 。
  使用: 6. 极限的运算法则, 26. 连续的初等函数, 25. 连续函数的复合, 27. 重要极限. 证明于: 初等函数的连续性与重要极限.
7. 指数函数、幂与对数. 若 $r > 0$ 且 $a > 1$ ，则 $\frac{x^r}{a^x}$ 和 $\frac{\ln x}{x^r}$ 趋于 $0$ （在 $\infty$ 处），并且 $x^r \ln x$ 趋于 $0$ （当 $x$ 从右侧趋于 $0$ 时）。
  使用: 10. 夹逼定理, 16. 无穷远处的有理函数, 19. 无界单调函数, 20. 与无穷极限的复合. 依据: B (代数与几何的遗产), G (反演). 证明于: 初等函数的连续性与重要极限.
8. 函数的比较. $f = \operatorname{o}(g)$ （在 $P$ 处）是指 $\frac{f}{g}$ 趋于 $0$ ； $f \sim g$ 是指它趋于 $1$ ；等价关系是自反的、对称的和传递的，并且 $f \sim g$ 当且仅当 $f - g = \operatorname{o}(g)$ 。
  使用: 6. 极限的运算法则. 证明于: 等价无穷小与等价无穷大.
9. 等价代换. 若 $f \sim f_1$ 且 $g \sim g_1$ （在 $P$ 处），则 $\frac{f h}{g}$ 有极限（有限或无穷）当且仅当 $\frac{f_1 h}{g_1}$ 有极限，并且两者相等；该定理适用于因子，不适用于加项。
  使用: 6. 极限的运算法则, 18. 无穷极限的运算法则, 30. 函数的比较. 证明于: 等价无穷小与等价无穷大.
10. 同号等价量之和. 若 $f_1 \sim g_1$ 且 $f_2 \sim g_2$ （在 $P$ 处），并且 $g_1$ 和 $g_2$ 在 $P$ 附近同为正或同为负，则 $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ 。
  使用: 4. 三个引理, 10. 夹逼定理, 30. 函数的比较. 依据: C (上界判别法). 证明于: 等价无穷小与等价无穷大.
11. 等价无穷小表. 在 $0$ 处， $\sin x$ 、 $\tan x$ 、 $\arctan x$ 、 $e^x - 1$ 和 $\ln(1 + x)$ 都与 $x$ 等价， $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ ， $a^x - 1 \sim x \ln a$ ， $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ ，并且每个多项式都与其最低次项等价；这些等价关系在用任意一个趋于 $0$ 而不取零值的函数代替 $x$ 时仍然成立。
  使用: 7. 多项式、根式与幂, 12. 第一重要极限, 27. 重要极限. 依据: E (变量代换). 证明于: 等价无穷小与等价无穷大.

走向导数. 链在极限不再是研究对象、而成为工具的地方停止：接下来的单元把导数定义为差商的极限，由极限运算法则和复合得到求导法则，由重要极限得到初等函数的导数，由保号性和完备性得到介值定理。