复数域上的多项式方程：卡尔达诺公式与费拉里公式

证明

1. 1
   $$\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}$$

   起始情形：次数为 $1$ 的多项式等于它的首项系数乘以唯一一个一次因式，该因式的根是 $-\frac{a_0}{a_1}$。

2. 2
   $$P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)$$

   假设定理对次数为 $n$ 的多项式成立，设 $P$ 的次数为 $n + 1$。由代数基本定理，$P$ 有一个根 $z_1$；由因式定理，$P$ 是 $z - z_1$ 与一个商 $C$ 的乘积，商的次数为 $n$，首项系数与 $P$ 的相同，比较最高次项即可看出。在例子中，$z_1 = 1$，综合除法给出式中的商。

3. 3
   $$P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}$$

   由归纳假设，$C$ 等于它的首项系数 $a_{n + 1}$ 乘以 $n$ 个一次因式；代入后，$P$ 就写成了所要的形式。由数学归纳原理，对每个次数 $n \geq 1$ 分解都存在。

4. 4
   $$P(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}$$

   复数的乘积只有当某个因式为零时才为零，而 $a_n \neq 0$：数 $w$ 是 $P$ 的根，当且仅当它与某个 $z_k$ 相等。除列表中的根外没有别的根。

5. 5
   $$P(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}$$

   把相同的因式合并：若 $r_1, \ldots, r_s$ 是互不相同的根，且 $r_j$ 出现 $k_j$ 次，则 $P$ 除以 $(z - r_1)^{k_1}$ 的商在 $r_1$ 处不为零，因为它是非零因式的乘积；所以 $k_1$ 是 $r_1$ 的重数，其余各根也是如此。重数之和为 $n$；在例子中，$2 + 1 + 1 + 1 = 5$。