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Topos Uranos
中文 (中国)

借助复数的几何

摘要

本课把复数用作平面的坐标，并把初等几何的概念转化为代数运算：距离是差的模，中点与重心是平均值，平面的运动是简短的公式。本课证明 R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c) 是旋转（中心为 cc，角为 φ\varphi），关于过原点的直线（倾角为 α\alpha）的反射是 S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha}\conj{z}，并且两个反射的复合是旋转。本课借助一个商刻画共线与垂直，用这个商的虚部的符号定义三角形的定向，证明三点构成等边三角形当且仅当 z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0（其中 ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}），并证明到两个定点的距离保持常数比的点构成一个圆，即阿波罗尼奥斯圆。问题最后以拿破仑定理收尾。

学习目标

  1. 用复数表示点、距离、中点与重心，并把平移、旋转、位似与反射表示为一个复变量的函数。
  2. 证明绕一点旋转的公式与关于直线的反射的公式，并研究反射的复合与旋转的复合。
  3. 借助两个差的商判定两条线段的共线、垂直与夹角，借助这个商的虚部的符号确定三角形的定向，并用 1 的立方根 ω\omega 刻画等边三角形。
  4. 用模描述圆，证明阿波罗尼奥斯圆定理，并把这些工具用于经典问题，例如拿破仑的问题与范·奥贝尔的问题。

点、距离与中心

自课程 代数与几何 I 中关于复数的课起，每个复数 z=a+biz = a + bi 都与平面上的点 (a,b)(a, b) 等同，而差 z−wz - w 是从点 ww 指向点 zz 的向量；由勾股定理，这两点之间的距离是 ∣z−w∣\abs{z - w}。在本课中观点反了过来：不是通过平面研究数，而是通过数研究平面。一个图形由其各点对应的复数描述，一个几何性质则由它们之间的一个等式描述。

主要工具是关于复指数函数与欧拉公式的课中的复指数函数。对任意实数 φ\varphi，数 eiφe^{i\varphi} 是半径为 11 的圆上辐角为 φ\varphi 的点，并满足下列性质；最后一条成立是因为 cos⁡(−φ)=cos⁡φ\cos(-\varphi) = \cos \varphi 且 sin⁡(−φ)=−sin⁡φ\sin(-\varphi) = -\sin \varphi：

eiφ=cos⁡φ+isin⁡φ,∣eiφ∣=1,eiαeiβ=ei(α+β),eiφ‾=e−iφe^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi, \qquad \abs{e^{i\varphi}} = 1, \qquad e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, \qquad \conj{e^{i\varphi}} = e^{-i\varphi}

根据关于复数的极坐标形式的课，每个非零复数都写成 z=reiθz = re^{i\theta}，其中 r=∣z∣r = \abs{z}，θ\theta 是 zz 的一个辐角；两个复数相乘时模相乘、辐角相加，相除时模相除、辐角相减。特别地，把 zz 乘以 eiφe^{i\varphi}，保持它的模不变，并使它的辐角增加 φ\varphi：它把点 zz 绕原点旋转角 φ\varphi，当 φ>0\varphi > 0 时沿逆时针方向。乘以 i=eiπ2i = e^{\frac{i\pi}{2}}，即在课程 I 中关于复数的课里作为旋转四分之一周来研究的运算，就是 φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2} 的情形。

线段上的点也可以用复数描述。根据课程 I 中关于平面向量的课，过 z1z_1 与 z2z_2 的直线上的点是形如 z1+t(z2−z1)z_1 + t(z_2 - z_1) 的点（tt 为实数），而连接它们的线段上的点对应于 0≤t≤10 \leq t \leq 1。

引理复数中的中点与重心

端点为 z1z_1 与 z2z_2 的线段的中点是半和 m=z1+z22m = \frac{z_1 + z_2}{2}。三角形（顶点为 z1z_1、z2z_2 与 z3z_3）的三条中线都经过点 g=z1+z2+z33g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}，它称为重心，位于每条中线上从顶点到对边中点的路程的三分之二处。 这条引理在课程 I 中关于平面向量的课里，已在关于中线的例题中用向量证明；下面的证明把它翻译成复数的语言。图形以顶点 z1=−2−iz_1 = -2 - i、z2=3−iz_2 = 3 - i 与 z3=2iz_3 = 2i 跟随证明。

证明

  1. m=z1+12(z2−z1)=z1+z22\dato{m}{m = z_1 + \resaltar{\frac{1}{2}}(z_2 - z_1) = \resaltar{\frac{z_1 + z_2}{2}}}

    线段上对应于 t=12t = \frac{1}{2} 的点是两端点的半和。

  2. m−z1=z2−z12=z2−m→∣m−z1∣=∣z2−m∣m - z_1 = \resaltar{\frac{z_2 - z_1}{2}} = z_2 - m \rightarrow \resaltar{\abs{m - z_1} = \abs{z_2 - m}}

    它到两个端点的距离相等，因为把它与两端点相连的两个向量相等：它是中点。

  3. z3+23(z1+z22−z3)=z1+z2+z33z_3 + \resaltar{\frac{2}{3}} \left( \frac{z_1 + z_2}{2} - z_3 \right) = \dato{g}{\resaltar{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}}}

    在连接 z3z_3 与对边中点的中线上，对应于 t=23t = \frac{2}{3} 的点如下。

  4. z1+23(z2+z32−z1)=g=z2+23(z1+z32−z2)z_1 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_2 + z_3}{2} - z_1 \right) = \resaltar{g} = z_2 + \frac{2}{3} \left( \frac{z_1 + z_3}{2} - z_2 \right)

    所得的表达式关于三个顶点对称；若如此，则对另外两条中线中的任意一条作同样的计算都得到同一个点，三条中线都经过 gg。对图中的顶点，g=13g = \frac{1}{3}。

因此，中点是两个复数的平均值，重心是三个复数的平均值。