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Topos Uranos
中文 (中国)

复指数函数与欧拉公式

摘要

本课定义复数的指数函数。出发点是两个观察：复数 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta 把角的和变为乘积，正如幂把指数的和变为乘积；指数函数的级数在虚数处取值时，分成余弦的级数与正弦的级数。两者都通向欧拉公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta，以及定义 ea+bi=ea(cos⁡b+isin⁡b)e^{a + bi} = e^a \left( \cos b + i \sin b \right)。本课证明复指数函数把和变为乘积，它的模为 eae^a，辐角为 bb，它从不为零，并且是以 2πi2\pi i 为周期的周期函数；把每个复数写成指数形式 reiθr e^{i\theta}；用指数函数表示余弦与正弦，把它们推广到整个平面，并在其中发现双曲函数。最后讨论有无穷多个值的复对数，以及复数次幂，其中 iii^i 竟是一个实数。

学习目标

  1. 解释为什么指数运算法则和指数函数的级数通向欧拉公式，区分这一启发式计算与证明，并把指数函数的定义推广到任意复数指数。
  2. 证明复指数函数的性质（和的指数、模、辐角与周期性），并运用复数的指数形式进行运算。
  3. 用指数函数表示余弦与正弦，把它们推广到复数，判断哪些三角恒等式在 C\mathbb{C} 中仍然成立，并把它们与双曲函数联系起来。
  4. 解方程 ew=ze^w = z，定义对数主值，计算复数次幂，并解释为什么它们一般有无穷多个值。

欧拉公式

在关于复数的极坐标形式的课中证明了：两个复数相乘时，模相乘，辐角相加。对于模为 11 的复数，该定理说的是

(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right) = \cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)

若用 E(θ)E(\theta) 记复数 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta，则上面的等式写成 E(α)E(β)=E(α+β)E(\alpha) E(\beta) = E(\alpha + \beta)，此外还有 E(0)=1E(0) = 1。而把和变为乘积正是幂的特征性质 ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y，这在课程 代数与几何 I 中关于指数函数的课里研究过；棣莫弗公式 E(θ)n=E(nθ)E(\theta)^n = E(n\theta) 在关于棣莫弗公式的课中已经证明，它就是法则 (ax)n=anx\left( a^x \right)^n = a^{nx}。因此，一切都提示 E(θ)E(\theta) 是一个指数与 θ\theta 成正比的幂。至于是哪一个幂，指数函数的级数给出了答案。

虚指数的指数函数级数

在课程 I 中关于数 e的课里证明了 ee 是由阶乘的倒数构成的级数的和。更一般地，对任意实数 xx，下面三个等式成立，其中无穷多项之和的意义与那里相同，指部分和所趋近的值：

ex=∑k=0∞xkk!,cos⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!,sin⁡x=∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}, \qquad \cos x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}, \qquad \sin x = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m x^{2m + 1}}{(2m + 1)!}

这三个级数在此不加证明而采用：它们借助泰勒定理得到，该定理在课程 微积分 II 中学习，那里还证明它们对任意实数 xx 都收敛；第一个级数对任意复数 xx 的收敛性则属于级数理论与复变函数论。指数函数的级数只用到加法、乘法和除法，这些运算在 C\mathbb{C} 中都有意义，因此可以在 x=iθx = i\theta 处取值。然而，符号 eiθe^{i\theta} 目前还没有任何意义：虚数次幂既不是相同因子的乘积，也不是实指数函数的值。因此，下面例子中的计算并不是证明 eiθe^{i\theta} 等于什么，而只是一种动机：它说明级数在 iθi\theta 处的和是 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta，所以，如果级数要继续为虚数指数定义指数函数，就别无选择。

例题指数函数的级数在虚数处的值

设 θ\theta 为实数。把 x=iθx = i\theta 代入指数函数的级数，并借助 ii 的幂的循环（见课程 I 中关于复数的课），把偶数下标的项与奇数下标的项分开。图形对 θ=π\theta = \pi 把部分和 SnS_n 画成折线：每一项都是下标小一的那一项旋转四分之一圈再乘以 θk\frac{\theta}{k}。

解答

  1. ∑k=0∞(iθ)kk!=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+⋯\dato{s}{\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!}} = 1 + i\theta + \frac{(i\theta)^2}{2!} + \frac{(i\theta)^3}{3!} + \cdots

    把级数中的 xx 换成 iθi\theta，暂不给它的和取任何名称。最初两个部分和是 S0=1S_0 = 1 与 S1=1+iθS_1 = 1 + i\theta。

  2. (iθ)2m=(−1)mθ2m,(iθ)2m+1=(−1)miθ2m+1\resaltar{(i\theta)^{2m}} = \dato{p}{\resaltar{(-1)^m \theta^{2m}}}, \qquad \resaltar{(i\theta)^{2m + 1}} = \dato{q}{\resaltar{(-1)^m i \theta^{2m + 1}}}

    ii 的偶次幂是 (−1)m(-1)^m，因为 i2m=(i2)mi^{2m} = \left( i^2 \right)^m；奇次幂由乘以 ii 得到。偶数下标的项是实数，奇数下标的项是纯虚数。

  3. S2N+1=∑m=0N(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0N(−1)mθ2m+1(2m+1)!\resaltar{S_{2N + 1}} = \dato{r}{\resaltar{\sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!} + i \sum_{m=0}^{N} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}}}

    在部分和 S2N+1S_{2N + 1}（项数有限）中，一方面把偶数下标的项合在一起，另一方面把奇数下标的项合在一起，并从后者中提出因子 ii：得到余弦级数与正弦级数的部分和。

  4. ∑k=0∞(iθ)kk!=∑m=0∞(−1)mθ2m(2m)!+i∑m=0∞(−1)mθ2m+1(2m+1)!=cos⁡θ+isin⁡θ\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^k}{k!} = \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m}}{(2m)!}} + i \resaltar{\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m \theta^{2m + 1}}{(2m + 1)!}} = \resaltar{\cos \theta} + i \resaltar{\sin \theta}

    由所采用的级数，两个实数和分别趋近于 θ\theta 的余弦与正弦；而 S2NS_{2N} 与 S2N+1S_{2N + 1} 相差一项，该项趋近于 00。级数的和是模为 11、辐角为 θ\theta 的复数。

  5. Sn=∑k=0n(iπ)kk!→cos⁡π+isin⁡π=−1\resaltar{S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(i\pi)^k}{k!}} \rightarrow \resaltar{\cos \pi + i \sin \pi = -1}

    当 θ=π\theta = \pi 时，部分和的折线呈螺线状旋转并趋近于 −1-1：和 S12S_{12} 与 −1-1 的距离小于千分之一。

上面的计算依赖于所采用的级数，确定了级数的和；它不能证明的是这个和就是“ee 的 iθi\theta 次幂”，因为这个式子事先并没有意义。因此，把它作为定义。

虚指数

对任意实数 θ\theta，虚指数 eiθe^{i\theta} 是由欧拉公式给出的模为 11、辐角为 θ\theta 的复数，该公式由莱昂哈德·欧拉于 1748 年发表。
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta

当 θ=0\theta = 0 时得到 ei0=1e^{i0} = 1，这正是指数运算法则所要求的。现在，极坐标形式的性质和棣莫弗公式都转化为幂的运算法则，不必再作为关于角的规则来记忆。

定理虚指数

对任意实数 θ\theta、α\alpha、β\beta 和任意整数 nn，复数 eiθe^{i\theta} 的模为 11；eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)} 与 (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta} 成立；eiθe^{i\theta} 的倒数是它的共轭复数 e−iθe^{-i\theta}；并且 eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta} 当且仅当 α−β\alpha - \beta 是 2π2\pi 的整数倍。 每一条结论都是前面各课中某个结果的改写。图形显示点 eiθe^{i\theta}：它沿逆时针方向绕半径为 11 的圆运动，随 θ\theta 的增大而前进。

证明

  1. ∣eiθ∣=cos⁡2θ+sin⁡2θ=1=1\abs{e^{i\theta}} = \sqrt{\resaltar{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \sqrt{\resaltar{1}} = 1

    模为 11，这由关于基本三角恒等式的课中的基本恒等式得出：点 eiθe^{i\theta} 就是半径为 11 的圆上对应于角 θ\theta 的点。

  2. eiαeiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = \resaltar{\left( \cos \alpha + i \sin \alpha \right) \left( \cos \beta + i \sin \beta \right)} = \resaltar{\cos(\alpha + \beta) + i \sin(\alpha + \beta)} = \dato{p}{e^{i(\alpha + \beta)}}

    乘积法则就是模都等于 11 时的极坐标形式下的乘积定理：辐角相加。

  3. (eiθ)n=(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = \resaltar{\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n} = \resaltar{\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)} = e^{in\theta}

    幂就是棣莫弗公式，它对任意整数 nn 成立。

  4. e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θ=eiθ‾,eiθe−iθ=ei0=1e^{-i\theta} = \resaltar{\cos \theta - i \sin \theta} = \conj{e^{i\theta}}, \qquad e^{i\theta} e^{-i\theta} = \resaltar{e^{i0}} = 1

    由于余弦是偶函数、正弦是奇函数，e−iθe^{-i\theta} 是 eiθe^{i\theta} 的共轭复数，即它关于实轴的对称点；又由乘积法则，取 β=−α\beta = -\alpha，它也是后者的倒数。

  5. eiα=eiβ↔α−β=2kπ,k∈Ze^{i\alpha} = e^{i\beta} \leftrightarrow \resaltar{\alpha - \beta = 2k\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}

    由极坐标形式下复数的相等，模为 11 的两个复数相等当且仅当它们的辐角相差 2π2\pi 的整数倍：转过一整圈之后，点又回到同一位置。

欧拉恒等式

当 θ=π\theta = \pi 时，欧拉公式给出 eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1，即：

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

这个等式称为欧拉恒等式，它在一个关系式中汇集了数 00 与 11（加法与乘法的单位元）、虚数单位 ii 以及分析中的两个基本常数 ee 与 π\pi。同样，eiπ2=ie^{i\frac{\pi}{2}} = i，e−iπ2=−ie^{-i\frac{\pi}{2}} = -i，e2πi=1e^{2\pi i} = 1。特别地，由于 i=eiπ2i = e^{i\frac{\pi}{2}}，ii 的幂为 in=einπ2i^n = e^{in\frac{\pi}{2}}：课程 I 中关于复数的课里周期为 44 的循环，正是虚指数的周期性，因为四个四分之一圈合起来是 2π2\pi。