Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Уравнение эллипса и окружности

Краткое содержание

В этом уроке эллипс определяется как множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, фокусов, постоянна, и из этого определения выводится его приведённое уравнение, причём устанавливается, что при выводе точки не добавляются и не теряются. Находятся полуоси и фокусное расстояние и пифагорово соотношение между ними; уравнение переносится, чтобы получить эллипсы с центром в любой точке и горизонтальной или вертикальной большой осью, а окружность получается как случай, когда два фокуса совпадают. В завершение рассматривается развёрнутое уравнение, по которому, выделяя полные квадраты, решают, описывает ли оно эллипс, окружность, единственную точку или ни одной точки.

Цели обучения

  1. Формулировать определение эллипса через его фокусы, обосновывать условие, которому должна удовлетворять сумма расстояний, и выводить из него приведённое уравнение.
  2. Находить центр, полуоси, вершины и фокусы эллипса с осями, параллельными осям координат.
  3. Распознавать эллипсы и окружности в развёрнутом уравнении, выделяя полные квадраты, и распознавать случаи, когда уравнение описывает одну точку или ни одной точки.
  4. Решать задачи на пересечение, на касание и на геометрические места точек, приводящие к эллипсам.

Определение эллипса

Как и в уроке об уравнении параболы, отправной точкой служит геометрическое свойство, выраженное через расстояния, которые вычисляются по формуле из урока об уравнении прямой.

Пусть F1F_1 и F2F_2 являются двумя точками плоскости, а aa есть число, большее половины расстояния между ними. Эллипсом с фокусами F1F_1 и F2F_2 называется множество точек PP плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов равна 2a2a.

Условие, наложенное на aa, не является мелочью. По неравенству треугольника, доказанному вместе со случаем равенства в уроке о векторах на плоскости, сумма расстояний от любой точки PP до фокусов больше расстояния между ними или равна ему, и равенство достигается только в точках отрезка, соединяющего фокусы. Отсюда следует, что если бы 2a2a было равно расстоянию между фокусами, то множество было бы этим отрезком, а если бы оно было меньше, то не содержало бы ни одной точки; кривая получается, только когда 2a2a превосходит расстояние между фокусами.

Середина отрезка, соединяющего фокусы, является центром эллипса, а прямая, проходящая через оба фокуса, его фокальной осью. Если 2c2c есть расстояние между фокусами, то число cc называется фокусным расстоянием, и приведённое выше условие записывается как a>c≥0a > c \geq 0.