Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Производные элементарных функций

Краткое содержание

На этом занятии дифференцируются элементарные функции, до которых не дошло предыдущее занятие: синус и косинус, исходя из тригонометрических пределов раздела 1; тангенс, котангенс, секанс и косеканс, с помощью правил дифференцирования частного и обратной величины; экспонента и натуральный логарифм, исходя из их замечательных пределов; и гиперболические функции, исходя из экспоненты. Ни одно доказательство не использует ни правило дифференцирования сложной функции, ни правило дифференцирования обратной функции, которые появятся позже: в каждом случае формула сложения или свойство экспоненты или логарифма разделяет разностное отношение на множитель, зависящий только от точки, и другой множитель, являющийся уже известным пределом. С этими производными и правилами занятие вычисляет касательные и углы между трансцендентными кривыми и выполняет обещанное на предыдущем занятии: функция x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, дифференцируемая в 00, имеет производную, не имеющую предела в 00.

Цели обучения

  1. Доказать, что производная синуса есть косинус, а производная косинуса есть синус с противоположным знаком, и объяснить, почему переменная измеряется в радианах.
  2. Продифференцировать тангенс, котангенс, секанс и косеканс по правилам предыдущего занятия и указать область определения каждой производной.
  3. Доказать, что экспонента является своей собственной производной и что производная ln⁡∣x∣\ln \abs{x} равна 1x\frac{1}{x}, и вывести отсюда производные гиперболических функций.
  4. Сочетать производные элементарных функций с правилами, чтобы находить касательные и углы между кривыми, и понимать, что производная может не иметь предела в точке, где функция дифференцируема.

Синус и косинус

Занятие о правилах дифференцирования продифференцировало все функции, которые получаются из тождественной функции и постоянных с помощью четырёх арифметических действий: многочлены и рациональные функции. Синус к ним не относится, и его производную нужно получить из его разностного отношения. В 00 это отношение равно sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, и первый замечательный предел, из занятия о теореме о двух милиционерах, даёт производную 11. Для произвольной точки aa формула синуса суммы разделяет sin⁡(a+h)\sin(a + h) на слагаемое, зависящее только от aa, и слагаемое, зависящее только от hh; оставшиеся отношения представляют собой два предела из следствия для тригонометрических пределов, из того же занятия: sin⁡hh\frac{\sin h}{h} стремится к 11, а 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} стремится к 00.

ТеоремаПроизводные синуса и косинуса

Синус и косинус дифференцируемы на всём R\mathbb{R}, и для всякого действительного xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Используются производная через приращение аргумента, из занятия о производной как пределе, и формулы сложения из занятия о формулах сложения. Рисунок следит за касательной к графику синуса: её угловой коэффициент в каждой точке равен ординате косинуса в той же точке; в конце касательная к графику косинуса имеет угловой коэффициент, равный синусу с противоположным знаком.

Доказательство

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Пусть aa есть действительное число и h≠0h \neq 0. По формуле синуса суммы приращение синуса разделяется на два слагаемых: одно с множителем cos⁡h−1\cos h - 1, другое с множителем sin⁡h\sin h; множители sin⁡a\sin a и cos⁡a\cos a не зависят от hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    Делим на hh. По следствию для тригонометрических пределов оба отношения стремятся к 00 и к 11; по теореме о пределе линейной комбинации из арифметических свойств пределов разностное отношение имеет предел, и производная через приращение аргумента даёт производную синуса в aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    По формуле косинуса суммы, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, то же рассуждение даёт производную косинуса.

Доказательство использует то, что переменная измеряется в радианах: первый замечательный предел сравнивает синус с длиной дуги. Если бы угол измерялся в градусах, синус xx градусов был бы равен sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, и его производная содержала бы множитель π180\frac{\pi}{180} (задача для самостоятельного решения 1). Поэтому радианы и есть та единица, в которой производная синуса равна косинусу, без множителей. Геометрический смысл теоремы показан на рисунке: синус возрастает там, где косинус положителен, и имеет горизонтальную касательную там, где косинус обращается в нуль; касательная к синусу в начале координат есть прямая y=xy = x, и поэтому вблизи 00 функция sin⁡x\sin x похожа на xx, как уже показывала эквивалентность sin⁡x∼x\sin x \sim x из занятия об эквивалентных бесконечно малых.