Производные: введение

Перед началом раздела оцени свою отправную точку. Это короткая самопроверка: она не оценивается, а результат хранится только в твоём браузере.

1. Вопрос 1Функция $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ определена в точке $0$. Какова, согласно определению производной, касательная к её графику в точке $(0, 1)$?

   $y = 1 - 2x$

   $y = 1 + \frac{x}{2}$

   $y = -2x$

   $y = 1 + 2x$

2. Вопрос 2Вычислить производную функции $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1}$ в точке $3$.

   $-\frac{1}{2}$

   $6$

   $\frac{1}{2}$

   $-1$

3. Вопрос 3Вычислить производную функции $f(x) = e^x \cos x$ в точке $\frac{\pi}{4}$.

   $0$

   $\sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}}$

   $-\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

   $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

4. Вопрос 4Вычислить производную функции $f(x) = \cos^2(2x)$ в точке $\frac{\pi}{8}$.

   $-2$

   $-1$

   $2$

   $\sqrt{2}$

5. Вопрос 5На каком из этих отрезков теорема Больцано гарантирует, что уравнение $x^3 + 2x = 5$ имеет корень?

   $\icc{1}{2}$

   $\icc{0}{1}$

   $\icc{2}{3}$

   Ни на одном, потому что теорема рассматривает только уравнения вида $F(x) = 0$.

6. Вопрос 6Функция $f(x) = x^5 + x$ непрерывна и строго возрастает на $\mathbb{R}$. Чему равна $\left(f^{-1}\right)'(2)$?

   $\frac{1}{6}$

   $\frac{1}{81}$

   $6$

   $81$

7. Вопрос 7Вычислить производную функции $F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x$ в точке $1$.

   $2 + 2\ln 2$

   $2$

   $2\ln 2$

   $1 + \ln 2$

8. Вопрос 8Вычислить производную порядка $5$ функции $f(x) = x e^{2x}$ в точке $0$.

   $80$

   $16$

   $0$

   $160$

9. Вопрос 9Прямоугольник сохраняет площадь, равную $6$ квадратным сантиметрам, тогда как его основание растёт со скоростью $3$ сантиметра в секунду. С какой скоростью меняется его высота в тот момент, когда основание равно $2$ сантиметрам?

   Уменьшается со скоростью $\frac{9}{2}$ сантиметра в секунду.

   Не меняется: высота равна $3$, и её производная равна $0$.

   Увеличивается со скоростью $\frac{9}{2}$ сантиметра в секунду.

   Уменьшается со скоростью $\frac{3}{2}$ сантиметра в секунду.

10. Вопрос 10Из предыдущих разделовВычислить $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$.

    $0$

    $1$

    $-\frac{1}{2}$

    Не существует, потому что отношение имеет вид $\frac{0}{0}$.

11. Вопрос 11Из предыдущих разделовВычислить $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h}$.

    $-2$

    $1$

    $2$

    $0$

12. Вопрос 12Из предыдущих разделовКакая из этих функций есть $\operatorname{o}(h)$ при $h \to 0$?

    $h \sin h$

    $\sin h$

    $\sqrt{\abs{h}}$

    $2h + h^2$

13. Вопрос 13Из предыдущих разделовЕсли $f(x) = 2x^3 + 3$, то чему равно $f^{-1}(19)$?

    $2$

    $8$

    $\frac{1}{13721}$

    $13721$

14. Вопрос 14Из предыдущих разделовЧему равно $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$?

    $\frac{4}{5}$

    $-\frac{4}{5}$

    $\frac{16}{25}$

    $-\frac{3}{5}$