Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Производная обратной функции и дифференцирование неявной функции

Краткое содержание

На этом занятии доказывается, что функция, обратная к непрерывной и строго монотонной на промежутке функции, дифференцируема в каждой точке, в которой функция имеет ненулевую производную, и что её производная есть величина, обратная производной функции, взятой в соответствующей точке: при отражении графика относительно прямой y=xy = x касательная с угловым коэффициентом mm переходит в касательную с угловым коэффициентом 1m\frac{1}{m}. Доказательство использует непрерывность обратной функции, из занятия о теореме о промежуточном значении, и критерий Каратеодори; там, где производная функции обращается в нуль, обратная функция не дифференцируема. С помощью теоремы дифференцируются арксинус, арккосинус, арктангенс, обратные гиперболические функции, корни и степени с рациональным показателем. Вторая часть занятия дифференцирует функции, заданные уравнением, такие как ветви окружности или декартова листа, в предположении, что функция существует и дифференцируема, и показывает, что происходит, когда это предположение не выполняется.

Цели обучения

  1. Доказать теорему о производной обратной функции и объяснить, почему обратная функция не дифференцируема там, где производная функции обращается в нуль.
  2. Дифференцировать обратные тригонометрические функции, обратные гиперболические функции, корни и степени с рациональным показателем, указывая множество, на котором существует каждая производная.
  3. Дифференцировать функцию, неявно заданную уравнением, в предположении, что она существует и дифференцируема, и находить таким образом касательные к кривым, которые не являются графиками функций.
  4. Распознавать, когда дифференцирование неявной функции ничего не решает: уравнения, которые не задают ни одной дифференцируемой функции, и точки, в которых коэффициент при производной обращается в нуль.

Производная обратной функции

График функции, обратной к инъективной функции, есть отражение графика функции относительно прямой y=xy = x: точка (a,b)(a, b) первого переходит в точку (b,a)(b, a) второго. Отражение меняет местами горизонтальное и вертикальное приращения, так что секущая с угловым коэффициентом mm переходит в секущую с угловым коэффициентом 1m\frac{1}{m}, и естественно ожидать того же от касательных. Занятие о производных элементарных функций отметило это в одном случае: касательные к графикам exe^x и ln⁡x\ln x в точках, симметричных относительно прямой y=xy = x, имеют взаимно обратные угловые коэффициенты eae^a и 1ea\frac{1}{e^a}.

Быстрое вычисление наводит на общую формулу. Если бы f−1f^{-1} была дифференцируема, то, продифференцировав равенство f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y по правилу дифференцирования сложной функции, мы получили бы f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, и оставалось бы только разделить. Но это вычисление предполагает то, что нужно доказать, а именно дифференцируемость обратной функции, и ничего не говорит о том, что происходит, если f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. Такой случай существует: функция x3x^3 дифференцируема в точке 00, с нулевой производной, а обратная к ней функция, кубический корень, не дифференцируема в точке 00, по утверждению о непрерывности без дифференцируемости из занятия о производной как пределе. Следующая теорема доказывает дифференцируемость, не предполагая её, с помощью критерия Каратеодори, который позволяет выразить приращение обратной функции, не деля ни на какое приращение.

ТеоремаПроизводная обратной функции

Пусть ff есть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке II, содержащем более одной точки, и пусть J=f(I)J = f(I). Если ff дифференцируема в точке aa промежутка II и f′(a)≠0f'(a) \neq 0, то обратная функция f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I дифференцируема в точке b=f(a)b = f(a), и

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

Представление Каратеодори функции ff в точке aa читается в обратную сторону: функция φ\varphi не обращается в нуль, и обратная к ней величина, взятая в точке f−1(y)f^{-1}(y), раскладывает на множители приращение обратной функции. Рисунок показывает при f(x)=x3f(x) = x^3 и a=0,8a = 0{,}8 секущую и касательную к графику ff, а затем их отражения, которые являются секущей и касательной к графику кубического корня.

Доказательство

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Так как II есть промежуток, содержащий более одной точки, все его точки являются предельными точками множества II. По теореме о критериях дифференцируемости из занятия о производной как пределе существует функция φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, непрерывная в точке aa, с φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), такая что:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    Функция φ\varphi не обращается в нуль ни в одной точке множества II. В точке aa она равна f′(a)f'(a), что не равно нулю; если x≠ax \neq a, то строгая монотонность даёт f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), и φ(x)\varphi(x) есть разностное отношение, которое тоже не равно нулю.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Пусть yy из JJ, и пусть x=f−1(y)x = f^{-1}(y), так что f(x)=yf(x) = y и x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Разделим представление на φ(x)\varphi(x), что не равно нулю: приращение обратной функции оказывается разложенным на множители, и ни на какое приращение мы не делили.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    По следствиям об образе промежутка и о непрерывности обратной функции из занятия, где доказана теорема о промежуточном значении, JJ есть промежуток, содержащий более одной точки, поскольку ff инъективна, и f−1f^{-1} непрерывна в точке bb. Так как φ\varphi непрерывна в точке a=f−1(b)a = f^{-1}(b), по теоремам о композиции непрерывных функций и об операциях над непрерывными функциями из занятия о пределе и непрерывности множитель ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} непрерывен в точке bb. Так как bb есть предельная точка множества JJ, критерий Каратеодори даёт производную.

Непрерывность ff на всём II требуется для того, чтобы обратная функция была непрерывна в точке bb, что и позволяет перейти к пределу на последнем этапе доказательства. Если ff дифференцируема на всём II и её производная не обращается в нуль, то обратная функция дифференцируема на всём JJ, и равенство записывается как равенство функций: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. Производная функции ff берётся в точке f−1(y)f^{-1}(y), а не в точке yy. В обозначениях Лейбница, если y=f(x)y = f(x) и x=f−1(y)x = f^{-1}(y), теорема утверждает, что dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, где производная в знаменателе берётся при x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Как и в правиле дифференцирования сложной функции, формула выглядит как правило действий с дробями, но таковым не является. После того как дифференцируемость доказана, быстрое вычисление из начала, которое дифференцирует равенство f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y по правилу дифференцирования сложной функции, есть законный способ запомнить формулу.

УтверждениеОбратная функция там, где производная обращается в нуль

Пусть ff есть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке II, содержащем более одной точки. Если ff дифференцируема в точке aa промежутка II и f′(a)=0f'(a) = 0, то f−1f^{-1} не дифференцируема в точке b=f(a)b = f(a). Если бы она была дифференцируема, правило дифференцирования сложной функции, применённое к тождеству f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, дало бы 1=01 = 0.

Доказательство

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Предположим, что f−1f^{-1} дифференцируема в точке bb. Функция ff определена на II и дифференцируема в точке aa, которая является предельной точкой множества II, а её значения лежат в J=f(I)J = f(I), где определена f−1f^{-1}. По правилу дифференцирования сложной функции из занятия о правиле дифференцирования сложной функции:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Но f−1∘ff^{-1} \circ f есть тождественная функция на II, производная которой в каждой точке равна 11, как было показано на занятии о производной как пределе. Противоречие показывает, что f−1f^{-1} не дифференцируема в точке bb.

Можно сказать больше. Если y≠by \neq b, то третий этап доказательства теоремы использует лишь то, что φ\varphi не обращается в нуль вне точки aa, и остаётся верным, даже если f′(a)=0f'(a) = 0: разностное отношение обратной функции равно 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, а знаменатель стремится к φ(a)=0\varphi(a) = 0 в силу непрерывности композиции. Если ff возрастает, знаменатель положителен, и отношение стремится к ∞\infty; если убывает, оно стремится к −∞-\infty. График обратной функции имеет в точке (b,a)(b, a) вертикальную касательную, отражение горизонтальной касательной к графику ff в точке (a,b)(a, b), как кубический корень в начале координат.