Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Правило дифференцирования сложной функции

Краткое содержание

На этом занятии доказывается правило дифференцирования сложной функции: если gg дифференцируема в aa, а ff дифференцируема в g(a)g(a), то композиция f∘gf \circ g дифференцируема в aa, и её производная равна произведению f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a). Доказательство использует критерий Каратеодори, в котором ни на что не делят; занятие объясняет, почему рассуждения с делением на g(x)−g(a)g(x) - g(a) недостаточно и в каком случае оно всё же проходит. С помощью этого правила за несколько строк дифференцируются композиции степеней, корней, рациональных и тригонометрических функций, которые с уже известными правилами требовали длинных выкладок или были недоступны. Занятие уделяет внимание и области определения композиции, которую формула производной не показывает, и излагает правило в обозначениях Лейбница, где оно выглядит как сокращение дробей, не являясь им.

Цели обучения

  1. Доказать правило дифференцирования сложной функции с помощью критерия Каратеодори и объяснить, почему доказательство с делением на g(x)−g(a)g(x) - g(a) не проходит, когда g′(a)=0g'(a) = 0.
  2. Дифференцировать композиции двух и более известных функций, беря каждую производную в той точке, которая ей отвечает.
  3. Находить область определения композиции до её дифференцирования и понимать, что условия правила достаточны, но не необходимы.
  4. Записывать и читать правило дифференцирования сложной функции в обозначениях Лейбница.

Производная композиции

С правилами из занятия о правилах дифференцирования и формулами из занятия о производных элементарных функций можно продифференцировать (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12}, но лишь раскрыв степень в многочлен степени 2424 или применяя раз за разом правило дифференцирования произведения. А sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) и 1+x2\sqrt{1 + x^2} продифференцировать пока нельзя: ни одно правило не говорит, что делать с функцией, применённой к другой функции. Оба выражения являются композициями: (2x2+1)12\left(2x^2 + 1\right)^{12} есть степень t12t^{12}, взятая при t=2x2+1t = 2x^2 + 1, а sin⁡(cos⁡x)\sin(\cos x) есть синус, взятый при t=cos⁡xt = \cos x.

Два частных случая уже известны. В решённой задаче 2 из занятия об элементарных функциях было доказано, что f(cx+b)f(cx + b) имеет в aa производную cf′(ca+b)c f'(ca + b): внутренняя функция линейна, с угловым коэффициентом cc, и производная внешней функции берётся в точке ca+bca + b, а не в aa. А в задаче 4 для самостоятельного решения из занятия о правилах дифференцирования было получено по индукции, что (f(x))n\left(f(x)\right)^n имеет в aa производную n(f(a))n−1f′(a)n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a). В обоих случаях производная есть произведение: производная внешней функции, взятая при значении внутренней, умноженная на производную внутренней. Идея та же, что у скоростей изменения: если t=g(x)t = g(x) изменяется в g′(a)g'(a) раз быстрее, чем xx, а f(t)f(t) изменяется в f′(g(a))f'(g(a)) раз быстрее, чем tt, то f(g(x))f(g(x)) изменяется в f′(g(a)) g′(a)f'(g(a)) \, g'(a) раз быстрее, чем xx.

ТеоремаПравило дифференцирования сложной функции

Пусть gg есть функция, определённая на AA и дифференцируемая в точке aa множества AA, являющейся предельной точкой множества AA, и ff есть функция, определённая на множестве BB, содержащем значения функции gg, и дифференцируемая в b=g(a)b = g(a). Тогда f∘gf \circ g дифференцируема в aa, и

(f∘g)′(a)=f′(g(a)) g′(a)(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Оба приращения раскладываются с помощью критерия Каратеодори, и эти разложения последовательно соединяются: приращение функции ff берётся при t=g(x)t = g(x), а приращение функции gg подставляется вместо t−bt - b. На рисунке при g(x)=x2g(x) = x^2, f(t)=sin⁡tf(t) = \sin t и a=1a = 1 показаны секущая и касательная к графику gg, секущая и касательная к графику ff в точке b=1b = 1 и, в конце, секущая и касательная к графику sin⁡(x2)\sin\left(x^2\right), угловой коэффициент которой в 11 равен произведению cos⁡1⋅2\cos 1 \cdot 2.

Доказательство

  1. g(x)−g(a)=ψ(x)(x−a),x∈A,f(t)−f(b)=φ(t)(t−b),t∈Bg(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B

    По теореме о критериях дифференцируемости из занятия о производной как пределе существуют ψ ⁣:A→R\psi \colon A \to \mathbb{R}, непрерывная в aa, причём ψ(a)=g′(a)\psi(a) = g'(a), и φ ⁣:B→R\varphi \colon B \to \mathbb{R}, непрерывная в bb, причём φ(b)=f′(b)\varphi(b) = f'(b), такие что:

  2. f(g(x))−f(g(a))=φ(g(x))(g(x)−g(a))=φ(g(x)) ψ(x)(x−a)f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)

    Пусть xx принадлежит AA. Число t=g(x)t = g(x) принадлежит BB, и второе равенство для него выполняется, равно оно bb или нет; затем t−b=g(x)−g(a)t - b = g(x) - g(a) заменяется первым разложением.

  3. γ(a)=φ(g(a)) ψ(a)=φ(b) ψ(a)=f′(g(a)) g′(a)\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}

    Поскольку gg дифференцируема в aa, она непрерывна в aa по теореме о том, что из дифференцируемости следует непрерывность; и φ\varphi непрерывна в b=g(a)b = g(a). По теореме о композиции непрерывных функций из занятия о пределе и непрерывности φ∘g\varphi \circ g непрерывна в aa, а множитель γ=(φ∘g) ψ\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi непрерывен по правилу для произведения из операций над непрерывными функциями. Так как aa есть предельная точка множества AA, которое является областью определения f∘gf \circ g, критерий Каратеодори даёт производную.

Если gg дифференцируема во всём AA, а ff во всём BB, правило выполняется в каждой предельной точке множества AA и записывается как равенство функций: (f∘g)′=(f′∘g) g′(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'. Производная внешней функции берётся в точке g(x)g(x), а не в xx; это самая частая ошибка при применении правила. Преимущество доказательства проявляется на его втором этапе: разложение функции ff справедливо и при t=bt = b, где обе его части равны нулю, так что неважно, повторяет ли gg своё значение g(a)g(a) вблизи aa.