Introducción

En clases anteriores estudiamos el movimiento rectilineo uniformemente acelerado y vimos qué ocurría cuando una aceleración constante se aplica en la misma dirección del movimiento. Cuando quitamos la restricción sobre la dirección, obtenemos un movimiento uniformemente acelerado, pero ya no rectilíneo. En este escenario, el movimiento se desarrolla sobre el brazo de una parábola, y es aquí donde nace el estudio del lanzamiento de proyectil.

En un lanzamiento de proyectil, la velocidad inicial se da en cualquier dirección, mientras que la aceleración sigue la orientación típica de la gravedad. Cuando el lanzamiento de proyectil se realiza de directo hacia arriba, se obtiene un lanzamiento vertical, que es un caso de MRUA.

Desarrollo del lanzamiento de proyectil

Supongamos que tenemos un proyectil lanzado al aire desde el suelo por un cañón con una rapidez inicial v_0 y un ángulo de inclinación \theta. El movimiento de éste proyectil se puede modelar sin problemas extrayendo sus ecuaciones de itinerario a partir de la información que se acaba de entregar. Estas quedan de la siguiente forma:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =\displaystyle \int (0,-g) dt = (v_{0x}, -gt+v_{0y})\\ \\ \vec{r}(t) & =\displaystyle \int (v_{0x}, -gt+v_{0y}) dt = \left(v_{0x}t + x_0, -\frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t + y_0\right) \end{array}

Donde \vec{v}_{0} = (v_{0x},v_{0y}) es la velocidad inicial, \vec{r}_0=(x_0,y_0) es la posición inicial y g=9,81[m/s^2] es la magnitud de la aceleración de la gravedad. Ahora, si observamos el párrafo anterior, notaremos que no se nos indica directamente la velocidad del proyectil, sino que su rapidez y ángulo de disparo. A partir de esta información y un poco de trigonometría es posible determinar la velocidad inicial porque:

\begin{array}{rl} v_{0x} &= v_0 \cos(\theta) \\ v_{0y} &= v_0 \sin(\theta) \end{array}

Donde v_0 = \|\vec{v}_0\| es la magnitud de la velocidad inicial. Si agregamos además la posición inicial (x_0,y_0)=(0,0), las ecuaciones de itinerario quedan expresadas de la siguiente manera:

\begin{array}{rl} \vec{a}(t) & = (0,-g) \\ \\ \vec{v}(t) & =(v_{0}\cos(\theta), -gt+v_{0}\sin(\theta)\\ \\ \vec{r}(t) & \displaystyle =\left(v_{0}\cos(\theta)t , -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t \right) \end{array}

Con esto a mano ya podemos responder algunas preguntas relativas al lanzamiento de los proyectiles: ¿Qué tan lejos llegará?; ¿Qué altura alcanzará?; ¿Cuánto tardará en caer?; etc.

¿Cómo determinar la altura máxima lograda por un proyectil?

Para responder a esta pregunta debemos preguntarnos: ¿Qué ocurre cuando el proyectil alcanza su altura máxima? Lo que ocurre es que la componente vertical de su velocidad se anula y por lo tanto:

-gt+v_{0}\sin(\theta) = 0

Esto es equivalente a decir que:

t = \displaystyle \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}

Es decir, el proyectil alcanza la altura máxima cuando ha pasado un tiempo t=v_0\sin(\theta)/g despues del lanzamiento. Llamamos a esto «tiempo de altura máxima» y escribimos:

\color{blue}{t_{alt.max} = \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g}}

Luego, la altura máxima que puede alcanzar el proyectil se puede obtener remplazando t=t_{alt.max} en la componente vertical de la posición del proyectil, obteniendo:

\begin{array}{rl} y_{alt.max} & = \displaystyle -\frac{1}{2}gt_{alt.max}^2+v_{0}\sin(\theta)t_{alt.max}\\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2}g \left(\frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \right)^2 + v_{0}\sin(\theta) \frac{v_{0}\sin(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle-\frac{1}{2} \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} + \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{g} \\ \\ & =\displaystyle \frac{v_{0}^2\sin^2(\theta)}{2g} \end{array}

¿Cómo determinar el alcance del lanzamiento de los proyectiles?

Si quieres conocer la distancia que recorre el proyectil hasta el momento en que toca el suelo, lo único que tienes que hacer es preguntárselo a las ecuaciones de itinerario asociadas al lanzamiento de los proyectiles. Pero ¿cómo hacemos eso? Simple: ¿Qué ocurre cuando el proyectil toca el suelo? lo que ocurre es que la coordenada de la posición asociada a la altura se hace cero, es decir:

\displaystyle -\frac{1}{2}gt^2+v_{0}\sin(\theta)t = 0

Aquí podemos despejar el tiempo en que el proyectil toca el suelo, que resulta ser en dos ocasiones: en el momento en que es lanzado y cuando cae porque las soluciones posibles de ésta ecuación son:

\begin{array}{rl} t & = 0\\ \\ t & = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \end{array}

Al resultado no nulo lo llamamos «tiempo de caída» y escribimos:

\color{blue}{t_{caida} = \displaystyle \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}}

Si revisas más arriba te darás cuenta de que t_{caida} = 2t_{alt.max} porque el tiempo que el proyectil tarda en alcanzar su altura máxima es el mismo que tarda en caer desde su punto más alto. Esto es indicio de una cierta simetría en el movimiento del proyectil. En realidad esta simetría ya se observa cuando notas que la coordenada asociada a la altura tiene forma de parábola.

Conociendo el tiempo de caída, ahora es posible calcular la distancia que ha recorrido el proyectil al momento de tocar el suelo simplemente emplazándola en la primera coordenada de la posición:

\begin{array}{rl} x_{caida} &= v_{0}\cos(\theta)t_{caida} \\ \\ & = \displaystyle v_{0}\cos(\theta)\frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} \\ \\ & = \displaystyle \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \\ \\ \end{array}

¿Qué angulo de lanzamiento maximiza el alcance del proyectil?

Si quieres saber cuál el ángulo de disparo con el que el lanzamiento de proyectil el máximo alcance, o deseas demostrar que eso que sabes es en efecto correcto, lo único que tienes que hacer es tomar de entre las expresiones que hemos demostrado la que te permita formular la pregunta de modo matemático. Ya hemos calculado la distancia de caída justo en la sección anterior, y esta resulta que es una función del ángulo de disparo:

\displaystyle x_{caida} = x_{caida}(\theta) = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

La función seno tiene dos resultados extremos posibles: +1 y -1, pero nos interesa el primero. Para que \sin(2\theta)=+1 es necesario que 2\theta = 90^o (+2k\pi, pero omitiremos esa parte porque no la necesitamos) y por lo tanto \theta=45^o es el ángulo de disparo que maximiza el alcance. Este problema también se puede resolver si lo planteamos como un problema de optimización (utilizando las herramientas de ésta clase de cálculo) pero he optado por este camino que es más rápido y es igual de ilustrativo.

Ejercicios Propuestos

1. Un proyectil es lanzado desde el suelo, con un ángulo de elevación de \theta=30^o y rapidez inicial v_0=70[km/h]. a) Cuál es la altura máxima alcanzada por el proyectil? b) Qué distancia recorre el proyectil hasta el momento de tocar el suelo? c) Cuánto tarda el proyectil en caer?
2. Un cañón puesto en el suelo dispara una bala con una rapidez de 90[km/h] ¿Con qué ángulo de elevación se debe ajustar el cañón para que la bala caiga a una distancia horizontal de 20[m]?
3. El mismo cañón del ejercicio anterior es ahora puesto a una altura de 5[m] ¿Con qué ángulo de elevación se debe ajustar para que la bala siga cayendo a una distancia horizontal de 20[m]?
4. Un bombardero vuela a una altura de 3 000[m] sobre el suelo con una rapidez de 1500[km/h]. Si este deja caer un proyectil por su propio peso ¿Qué distancia recorrerá el proyectil desde el momento en que es soltado hasta que toca el suelo?.